Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

стемы, получаемой из уравнения (1.15), если положить dF dQ

dF

dQ*

. Характеристическое уравнение такой линеаризованной

системы, описывающей поведение колебательной системы «в ма­ лом», будет иметь вид

v2 +Y - kCj ra—

Lg^ V + —

) - о .

(1.35)

\

и )

LaCa \

k )

 

Здесь мы обозначили

Г - ( - * * - )

..

\ dQK JQK-QK

Корни характеристического уравнения (1.35) будут

Условие существования комплексных корней имеет вид

(La— kCaF')2— 4CaLa(A2— kF)<. 0.

(1.37)

Последнее неравенство можно записать в виде

(La + kCaF ' f - { 2 k V c X f <

0

 

или

 

 

(La + kCaF' + 2k V C aLa) (La + kCaF— 2k V C aLa) < 0 .

(1.38)

Границе области комплексных корней

соответствуют

два

уравнения 2-й степени:

 

 

La + kCaF' + 2kV cJ7a = 0-

(1.39)

La+ kCaF'— 2 k V c aLa = 0.

 

(1.40)

Каждое из этих уравнений определяет гиперболу, отнесенную

к асимптотам: одной из асимптот для обеих

кривых является

ось F'\ другой асимптотой для первой кривой является прямая

а для второй — прямая

 

 

На рис. 1.2 эти ги­

 

перболы

представле­

 

ны

кривыми 1

и

2,

 

асимптоты — прямыми

 

3

и

4.

Пространство

 

между ними

представ­

 

ляет

собой

область

 

распространения

ком­

 

плексных корней.

 

 

 

Область

динамиче­

 

ской

устойчивости

«в

 

малом»

соответствует

 

положительному

коэф­

 

фициенту

при

 

первой

 

производной, т. е. оп­

 

ределяется

условием

 

F'-----^ - < 0 .

 

(1.43)

 

 

Границей

области

 

динамической

 

устой­

 

чивости

является

ги­

 

пербола

 

 

 

 

 

Рис. 1.2

F' =

С*а

•4 “ >

 

(1-44)

 

 

 

Л

 

 

 

имеющая асимптотами оси F' и А. На рис.

1.2 она показана кри­

вой 5.

 

 

 

 

 

следует,

Из условия динамической устойчивости «в малом»

что в областях распространения узлов и фокусов,

расположен­

ных ниже этой гиперболы,

режим будет устойчивым

и

 

в этих

областях невозможно самовозбуждение. Области распростране­ ния фокусов и узлов, расположенные выше гиперболы 5, будут соответствовать самовозбуждению помпажных колебаний.

Область статической устойчивости соответствует положитель­ ному свободному члену характеристического уравнения, т. е. оп­ ределяется условием (1.17) A > F'. Граница области статичес­ кой устойчивости определяется условием F' — А, представляю­ щим собой уравнение прямой 6. Эта прямая касается гиперболы

(1.39) в точке, где ___

Над прямой 6 расположена область распространения седел. Она соответствует статически неустойчивым точкам пересечения Л и С характеристики вентилятора и сети (см. рис. 0.4).

Таким образом, рис. 1.2 дает полную картину поведения сис­ темы «в малом» в зависимости от изменения параметров F' и А.

38

1.6.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

АМПЛИТУДЫ И ПЕРИОДА ПОМПАЖНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Произведем в уравнении (1.16) замену независимой перемен­ ной.

Пусть

I

 

dF_

 

 

 

Vm ’

 

где kx= k

 

 

 

 

 

 

dQ

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dQ

_ rw

1

d*Q r,„

1

 

 

dt

4

Vm ’

dP

 

m

 

где штрихами обозначено дифференцирование по т.

(1.15),

Подставляя выражения для Q' и Q"

в уравнение

имеем

 

1

 

 

 

 

 

 

Q"

 

dF

L

Q '+Q = 0 .

(1.45)

 

 

 

dQ

 

V'kkfizU

 

 

 

 

Мы получили уравнение вида Ван дер Поля.

Для его исследования применим разработанный нами при­ ближенный метод [21], позволяющий найти ряд величин при лю­ бом значении нелинейности (см. приложение III).

Прецизируем вид функции F. Предположим, что она аппрок­ симируется кубической параболой

F(Q* + Q) = F(Q*) + b Q - c Q \

тогда

+= b -3cQ2.

dQ

Следовательно, уравнение примет вид

« " - / ^ [ ( 6- ^ ) - 3cQ2] Q' + Q - 0' <‘ -46)

Из изложенного в приложении III метода следует, что вели­ чина периода колебания уравнения

х " — р(а + у*2 — Ьх4)х' + х — 0

(1-47)

приближенно может быть представлена выражением

TH = 2 ^ f я2 + -^ -^ 2 а + уа2---- ^-6а4^2,

(1.48)

где а — амплитуда автоколебаний расхода Q.

39

Если р < 1, то Тн « 2я + ... Если же р > 1,то Тн = 2р +....

При промежуточных значениях р период подсчитывается по об­ щей формуле.

Для случая кубической аппроксимации функции F, сравни­ вая уравнения (1.46) и '(1.48), имеем

а = Ь----- — ;

у = — Зс; 6 = 0.

kCa

 

Следовательно, период

,

Тн~ 2| /^ я2 + - ^ - (2 а — уа2)2.

Для численного подсчета необходимо определить амплиту­

ду а.

Для уравнения вида Ван дер Поля приближенно стационар­ ная амплитуда равна удвоенному значению отклонения Q, при котором обращается в нуль круглая скобка, стоящая множите­ лем перед xl.

Следовательно, при кубической аппроксимации получим

 

а— уа2= <0;

 

аст= 2а = 2

а

(1.49)

 

 

Y

 

Подставляя формулу

(1.49) в выражение для периода, по­

лучаем

 

 

 

Тн = 2

л2 + - ^ - ^2а— у у У = 2]/л2 + ^ а 2.

(1.50)

Таким образом, период оказался не зависящим от у. Объяс­ няется это тем, что с изменением у соответственно меняется ам­ плитуда колебаний.

Подставляя вместо а и р их значения, находим

Т„ = 2

kC

и

k\Lt ( ‘

kCa

 

Определив период в приведенном времени, переходим к вре­ мени t.

Тогда

T = THVm

(1.51)

Если р •< 1, то

kC aLa

7 = 2л

~ k T '

40

Смотрите также файлы