Файл: Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования.pdf

П Р Е Д И С Л О В И Е

Настоящее пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания’ теории вероятностей в Ленинградском ордена Лени­ на и ордена Трудового Красного Знамени горном институте име­ ни Г.В.Плеханова и Норильском вечернем индустриальном инсти­ туте.

За последние годы теория вероятностей введена в общий курс высшей математики большинства вузов страны.. По этому предмету издано значительное количество учебных пособий. Од­ нако, учитывая большое разнообразие программ по теории веро­ ятностей различных вузов, осооонность изложения этого предме­ та для каждой специальности, следует отметить, что нет учеб­ ных пособий по теории вероятностей для студентов горно-метал­ лургических специальностей.

Настоящая работа предлагается в качестве пособия д^ студентов технических вузов горно-металлургического про., Ввиду того, что в настоящее время теория соединений

изъята из программ'средней школы, учебное пособив с первого параграфа знакомит читателя с основами теории соединений.

терминология и обозначения, в начале каждого параграфа приведен необходимый теоретический материал, формулировки теорем (ино­ гда с оказательствами). Такое построение пособия облегчит усвоение материала.

Подобие может быть полезным для студентов вечерней и

приводятся! решения зрдач и ответы. Задачи частично заимствованы из существующих задачников и учебных пособий. Многие задачи составлены авторами. Авторы приносят благодарность профессору, доктору физико-математических наук Сарманову О.В., доценту кафедры алгебры.Томского университета Романовичу В.А., прос - мотревшим рукопись и сделавшим ряд существенных замечаний.

3

§ X. Основные понятия. определение вероятности.

I . Случайным сооытиег навивается такое явление,которое

при данных условиях может произойти иди не произойти.

о

& дальнейшем*змее то термина, "случайное событие" будем

говорить кратко:"событие“.Для событий обычно используютцр оиозначения

й» ® ^

с. Испытанием называется соблюдение определенных усло­

вий, при которых может произойти денное событие.

’ 3 . События называются несовместными. еели они не могут произойти совместно,т.е» появление одного из них исключа­ ет появление других,

■4 . Событие называется достоверным .если при данных усло­

виях оно обязательно осуществляется,

5 . Событие называется невозможным.если при данных услови­

ях оно произойти не может.

6 . Говорят,что данные события образуют полную группу со­

бытий, асли эти события несовместны и в данных условиях обя­

зательно осуществляйся одно из этих событий.

7 . Классическое определенно вероятности.Пусть известно,

Яназывается яел'ичияз

Р(Ю

5

Для подсчета числа случаев,связанных с данный случайный собы­

тием часто используют теорию соединений.

Соединениями наэываются^руппы элементов,отличающихся

друг от друга самими элементами иди их поряг.ком расположе­

0го___ nj___:-

~(n -m )}

.Оерестановки - это такие соединения,которые отличаются друг от друга только порядком расположения входящих в них элементов.

Число всевозможных перестановок из а различных эле­ ментов определяется по формуле

Pn=

Если среди элементов имеются одинаковые,например,элемент

Ссчетания - это такие соединении,которые отличаются

друг от друга только самими элементами (расположение зле-

4

ментов в пределах каждого соединения безразлично).

ной порядке.Чему равна вероятность того,что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо ?

7

1 .6 . Из ящика,содержащего жетоны о номерами от I до 40

участники жеребьевка вытягиваю® кетоны,Определить вероят­

1 .7 . Жюри конкурса определило 10 претендентов,одинаково достойных первой премии.Среди* них оказалось 5 научных со­ трудников,2 студента,3 рабочих.лакова вероятность того,что в результате жеребьевки премия будет выдана или ученому или рабочему?

1 .8 . В кармане лежат 4 монеты по 10 копеек и 5 монет по

15 копеек.Наудачу берется одна монета,а затем извлекается вторая.оказавшаяся монетой в 10 копеек.Найти вероятность того,что и первая извлеченная нонета имеет достоинство

■'орманьше размеры, 5 - завышенные, I - заниженные.Какова вероятность,что сборочный узел окожехся пониженного качества?

. L i . Какова вероятность,что наудачу взятый високосный год содержит 53 воскресенья?

р

1,12 . Куб.вбе грани которого окоатены,распилен на Т25 кубп-

кол одинаковогоразмера.Яолучешшб кубики переметянц.Опреде-

лпть вероятЕЮсгь того,что наудачу йзалеченныл кубнк имеет две окрыленные грани.

1 .15 . Абонент,набирая номер телефона,забыл последние 3 цифры;

помня лишь,что они различны,набрал их наудачу,Наяти вероят­ ность того,что номер набран верно.

1.16. Числа 3,5,6,?,I I ,I7,IE ЕЕпшсаягРна •? одинаковых кар»

точках.Две карточки берутся наугад,Какова вероятность того,

что образованная пз двух полу^ен:!1^ § ю ^ ^ о к р а т ;ш а ?

1.17. Из 30 карточек с буквами русского алфавита наудачу выбираются 5. Какова вероятность,что пз них могло состг • вить слово "ТЛруА"?

1.18. Дшнеы пятя отрезков par.tr соответственно 2,3,4,6,8.

Найти вероятность того,что о помощью взятых из .них трех отрезков .мокло построить тр?.угольник.