Файл: Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
2 6 0
б 2 = сЦ - I * = о, 72 |
; |
6 = 0 , 8 4 8 5 |
|
||||||
Л 5 |
= |
1 - 0 , 2 8 8 |
+ 8 |
0 ,4 5 2 +- 27 - 0,216 |
= 3 ,5 7 6 |
||||
Тогда |
|
- о , . - и |
; |
* 6 |
- |
|
|
- О , » а |
|
24.383. |
Так плотность |
- функция четная (распределение симметрия |
|||||||
но),то |
|
Ад, = о . |
|
M(x) |
= f |
х е 1 *d х |
= |
0 |
, т . к . подынтег |
|
|
|
|
|
~оо |
|
|
|
|
ральная функция нечетная.Тогда |
|
|
|
|
|||||
м» - т Г х< е W dx ' J ' ’x ' e ' “d * ■ - j / d е * - |
|||||||||
|
|
- о о |
|
® |
|
|
|
|
|
Применим метод интегрирования но частям |
|
|
|
||||||
|
|
. | Q & |
г СО |
|
г |
|
|
|
|
Мд = - x V * L + |
* о |
4 x V xd x = - 4 |
o |
x s d e |
|||||
|
|
*a |
|
|
' |
' |
|
||
= - |
4 |
х 5е ' х Г |
+ 4 |
[ э |
x 2 e ’ x olx = |
- |
12 Г |
x «d e - x |
|
= - 12 x 2 e . ~ x | “ + 12 Г 2 x e ~ xd x = - 2 4 f ° ° x d e - x = |
|||||||||
|
|
|
|
Jo |
|
|
|
' о |
|
= - 2 4 xe - 4 ° ° + 2 4 |
f “V xd x = - 2 4 e ~ x | ° ° = 24 . |
||||||||
|
|
I 0 |
|
J o |
|
|
|
Iо |
|
О
фПри вычислении интеграла мы воспользовались тем,что
^ £un х к t |
х |
= 0 ( |
К - |
целое число),что можно доказать по |
||
^ -*со |
|
|
|
■■ |
|
- • -- |
цравилу Лопиталя. |
|
0 |
|
|
||
Аналогично найдем |
Д(Х) = ^ |
f |
х*€. **' 4* = 2 |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
а( |
б |
, |
_ |
24 |
- |
5 = |
|
|
а * |
|
4 |
|
|
-m -
24.384. Коэффициент асимметрии определяем по формуле
Д = |
|
|
Третий центральный момент |
И 5 |
выразим через начальные |
моменты |
|
|
=■5 </. 21/^ + i
Находим начальные моменты |
|
|
|
|
|||
i t = М(Х) = | ' 2 X2 dx = | X5 |
= -| |
|
|
||||
1г 3 |
|
J о |
|
= { |
1О |
|
|
М(х2) =• |
('2 |
х 3dx |
|
|
|
||
- |
М (х *) ~ j*2 х 4dx |
- | - |
|
|
|
||
А ( Х ) * б г - 1 г ~ л \ = А • |
|
|
|
||||
Мз = | - - <з |
т |
4- +2^ |
- 2—7 |
1 5 5 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||
б |
I |
|
Тогда |
А 6 |
1 |
•54 V T = - |
2VF |
|
|
||||||
|
|
|
1 5 5 |
5 |
|||
24.385. Для-определения искомых величин воспользуемся формулами
где Мь , |
|
- центральные моменты.Найдем математическое |
|
ожидание и дисперсию случайной величины X |
|||
М ( Х ) , |
1 |
а+в |
|
6 - а |
2 |
||
|
|||
aw = м ( * Ч - ( м х ) 2 . ^
^5
^з =» — J (x-'^)dx;Сделаем замену переменно:! в
■о— Q J a
|
|
|
|
|
|
262 |
|
|
|
|
|
ga |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграле |
t = |
x — |
|
|
, |
Тогда получим M5= |
J ta t^dt =o; |
||||||
t . k . |
подынтегральная функция нечетная.Поэтому |
Л j = 0. |
|||||||||||
м |
= _ L _ |
[ 6 ( х _ S ± § |
\ 4 И х |
___1 _ |
/ х - |
- Й 1 V |
|||||||
м 4 |
fi- a V * |
Я |
|
) |
|
~ (й_а | ь ^ |
- Г ) |
|
|||||
|
i |
Г ( 8-a Xs |
|
( О —В Л5 ] |
" |
i ^ a Y |
|
|
|||||
~5(^а) LI */ \ |
|
2- ) J |
80 |
|
|
||||||||
Подставляя в формулу дан определения |
эксцесса |
полученные |
|||||||||||
значения,найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
_ |
(6-а)^ |
|
144 |
|
|
|
- 1 . 2 . |
||||
|
С Х ' |
30 |
|
' |
(g-fl)« |
~ |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
24.386* Начальный момент |
|
К |
-го |
порядка определим пр формуле |
|||||||||
|
|
|
, |
|
оо |
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X. |
|
|
|
|
|
|||
|
J'« = |
Ж |
\ |
j |
е |
" ! , ± * |
|
|
|
||||
Если к - нечетное число,т.е. к
т.к. подынтегральная функция нечетная.
Если |
к _ четное число,т.е. |
к. |
числяется по частям |
|
|
|
ШL |
,хЭ |
|
J |
|
= 2 т-’«- 1 |
,то |
,= ^ 1 |
= 2 т ,то интеграл вы
Ц . (
Т
1 |
K - t |
|
|
К - £ |
|
* е r ' " * v b j V f ( « - . ) * |
С| * |
||
|
|
|||
|
' С О |
- о О |
|
хг |
|
|
|
|
|
- |
Jjj - Q < K - 3 ) ( lc-5) |
- J. |
|
. i.1 |
|
v/2rT1' |
|
J e •d.-Ugwje'tj, |
|
|
|
|
- OO |
|
|
|
2 6 3 |
|
,€*? _ а |
___ |
.Поэтому при к. |
2 m |
Но J % a dx |
= V z W |
J-2m = (г m - l ) !!
24.387.
|
|
_ А |
СО |
|
чИ |
|
-к |
СО |
Л" |
|
|
И ( х ) = е ’ ^ |
|
|
Л* |
„- А |
|
|
|
||||
|
к A j = е ' А^ |
|
|
|
|||||||
|
|
¥.*0 |
|
|
|
|
r \ |
|
|
|
|
Вынесем |
Л |
за знак суммы.Тогда получим |
|
|
|
||||||
М W ‘ е |
|
Т ^ Г )! - Л ' m ' R Z V l i ! * е |
|
||||||||
(разложение функции |
|
в |
в ряд |
Маклорена).Дисперсию найдем |
|||||||
по формуле |
|
А ( Х ) |
= М ( х 1) —(M X )1 . |
|
|
|
|||||
|
-л ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к.=о |
|
|
|
|
К» 1 |
|
|
|
|
Для наховдения |
суммы воспользуемся разложением функции в |
в |
|||||||||
ряд Маклорена |
еД= оо |
ту k- i |
|
.Умножим обе |
части этого |
ра- |
|||||
|
|
|
к = 1 |
' |
А |
|
|
|
|
|
|
венства на |
А |
,а |
затем продифференцируем по |
А |
|
||||||
A e " = Z l S |
|
|
|
е ^ л м ) - ^ н - о ! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К= 1 |
|
|
Последнее равенство |
умножим на |
Л. . |
|
|
|
|
|||||
у |
v О* |
|
К |
; |
|
|
м(хг) = |
Лг+Д . |
|
||
6. (Л ’-А)-^2 к J^T)\ |
Тогда |
|
|||||||||
Таким образом
М( х ) = Л ; Д ( х ) = Л , 6 - мЧГ
2 6 4
24.388. |
л Л* . д _ Л* . л х |
|
Р к (*У |
|
|
Т Г ’ Л* ~ 6 * ’ ° * 04 |
||
= е |
|
^ - 3 |
Третий и четвертый центральные моменты определяем через началь
ные моменты |
& а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
<14 |
— |
4 (/'з о{1 + |
|
2 |
|
А |
|
|
||
|
6 ^ 2 <^.1 — |
|
|
|
||||||||
Известно,что |
оС4 |
= |
м(х) = Л |
|
, |
М(хг) = Л + Л . |
||||||
(см.задачу |
24 . .587 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
л JE, |
Ks vrV= е"Л- Л-Zi |
.2 |
Л' |
|
|
||||||
< |
(2-1)! |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
К= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- л |
|
а Л' |
|
|
|
|
\L-0 |
|
|
|
|
|
л - Z |
. * |
(2-1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W= 1 |
|
|
|
||
Для нахождения суш |
запишем разложение функции |
Q |
в ряд |
|||||||||
Маклорена |
£ |
= J ? |
|
-А—ту |
.Умножим на |
Л |
и про- |
|||||
|
|
|
|
К = |
1- |
1 ' ' |
|
|
|
|
|
|
дифференцируем по |
Л |
|
: |
Л е Л =. |
|
( t - i ) T |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2-1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
"к й
e 4 * * ‘ ) = Z2=~1. « - o i
Полученную сумму умножим на А
|
|
е я ( л ‘ * л ) - г ‘ |
|
||
|
|
|
ЛЫ |
|
|
Дифференцируем по А |
: |
|
|
||
е |
л |
> |
< х > |
, |
д “ ~1 |
•э |
( л Ч з л +1 ) =2; |
* |
-( 2 - 1 )! |
||
|
|
2=1 |
|
|
|