Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.10.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

циентов ряда (4.8). Однако влияние других коэффициентов значительно слабее

влияния

коэффициентов при

первой

гармонике и при тк >

Т/2 им можно пре­

небречь.

С учетом сказанного выражение для интеграла / г принимает вид

 

/ш

= 0,5

/П[,

^агг = 0,5 тк77j,

/axi = /*ц =

Тк 7" mi к

(4.17)

и на основании

(4.11), (4.14)

и (4.17)

получаем:

 

 

 

Вц =

2/я0 -f та

 

 

2/п0 — т а

2

 

 

4Г

 

2Т

 

4Г

1•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вц

 

I*. Щ к-

 

(4.18)

 

 

 

 

4Т

2Т

 

 

Итак,

соотношения

(4.9)

и (4.18)

позволяют свести задачу исследования УС

к нахождению постоянной составляющей и коэффициентов при первых двух гар­ мониках ряда Фурье (4.8) функции однократной плотности p i(i).

Приближенное исследование УС при однократной модуляции. Функцию плот­ ности Hi(0 можно найти путем усреднения условных функций плотности, соот­ ветствующих передаче определенной последовательности информационных сим­ волов, по всем возможным последовательностям, число которых бесконечно при бесконечной длительности сеанса связи. Учитывая, однако, что для нахождения

коэффициентов ряда (4.8) можно отразить поведение функции Hi(t)

лишь в ин­

тервале (0, Т), влиянием «далеких» во времени посылок можно пренебречь,

при­

дав

сигналу на этих посылках произвольный удобный для расчета

вид.

Если,

в частности, переходные процессы практически заканчиваются за время

посылки,

то

все варианты последовательностей информационных символов,

у

которых

сигналы на предшествующей (—Т, 0) и текущей (0, Т) посылках совпадают, можно отождествить с любым из этих вариантов так, что различных вариантов

будет г2,

где г — число

вариантов сигнала

на

посылке. При однократной мо­

дуляции

 

 

 

 

 

 

 

P i( 0 = P(0, 0) Ц! (/ 10, 0) +

р(0,

1)|Хх(/|0,

1) +

 

+ Р(1. 0)рх«|1. 0)+р(1.

1)р,(<|1,1),

где p(i, j)

— вероятность

передачи /-го варианта сигнала

на предшествующей

посылке и /-го — на текущей;

p i ( t \ i , j ) — соответствующая

условная плотность

потока пересечений.

(4.8)

выражаются

на

основании

этой формулы через

Коэффициенты ряда

аналогичные коэффициенты рядов Фурье условных функций плотности. Послед­ ние можно найти одним из известных приближенных методов гармонического анализа [53].

Больший интерес, однако, могут представить приближенные выражения для этих коэффициентов через какую-нибудь достаточно общую характеристику дли­ тельности переходных процессов на выходе детектора. Получим эти выражения,

предположив,

что

сигнал на выходе детектора при передаче пары символов

Рис.

4.6.

Аппроксимация пере­

ходного

процесса на выходе

 

 

детектора

(i,j) является суммой стационарной нормальной помехи и детерминированного сигнала c(t\i,j), причем сигнал c(t\i,j) хорошо аппроксимируется кусочно-линей­ ной функцией (рис. 4.6). Согласно принятому ранее допущению наклонный учас­ ток кривой рис. 4.6 укладывается « интервале (0,7"). Ограничимся для простоты изучением случая, когда постоянные участки кривой одинаковы по абсолютной

95

величине (это условие можно считать выполненным, если линейные цепи канала связи и модема точно настроены на несущую частоту сигнала), и для удобства выкладок перенесем начало координат в точку, где c(t) = 0.

Так как функция плотности |Xi(/|*, j) на основании (П1.9) не зависит от знаков функции c(t) и ее производной c'(t), то следует различать два варианта переходного процесса, показанные на рис. 4.7а и б. Если оба эти варианта равно,

вероятны, т. е. р(0,0) +р(1,

1) = р ( 0, 1) + р (1 ,0) =0,5,

то

 

 

 

 

 

 

н ( 0

=

0 ,5

И! (* I 1)

+ 0 ,5 р ,

(f I 2),

 

(4.19)

где p .i(/|l)

и p i(^ |2)— условные

функции

плотности,

соответствующие первому

и второму вариантам переходных процессов на рис. 4.7.

 

 

 

 

 

а)

с,(0

 

 

 

ю

сг (/)

 

 

 

 

 

 

 

Со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

/

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ci(i)\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___ 1____ ____ 1______ -t

 

 

 

 

Рис. 4.7. Варианты переходного процесса

 

 

 

Функция С г ( 1 )

не зависит

от

времени,

поэтому

ее

производная

равна

нулю

н плотность pit 12) содержит

только постоянную

составляющую,

которая,

как

следует из

(П 1.9),

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И (* I 2) = - 21ехр

 

 

 

(4.20)

 

 

 

 

 

а л

 

 

 

 

 

 

где Со — установившееся значение сигнала; а2 и a2i — дисперсии помехи и ее производной.

Как видно из рис. 4.7а, функция

 

 

— с0 sign t ,

(| f | > Д t/2);

 

 

Cl (t)

2 c, t

(\t\<

Л//2),

 

 

 

 

A t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где A* — длительность переходного процесса, откуда

 

 

л Ох

 

А t

< | / | <

L

 

 

 

а

 

(

 

 

2 )'

 

ЯOi — 2<?2f*/a* д t*

V 2л с0 /

/

2 сЛ \

(4.21)

9i (t I О =

е

 

 

A t ох \

\А / О! I

 

а

-2с2/с2д(г

 

 

 

 

т <

A t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

ряда

Фурье

периодической

функции p i(< |l)

выражаются

в соответствии с

(4.21)

через суммы тазех

интегралов, взятых по

интервалам

(—0,57, —0,5Д/),

(—0,5Д/, 0,5At)

и (0,5Д<,

0,5Т). Трудности возникают только

при вычислении второго интеграла. Эти трудности можно обойти следующим образом.

96

Если с0/ст<1, то на интервале (—0,5Af, 0,5А/) зависящий от времени экспо­ ненциальный сомножитель в (4.21) можно разложить в ряд Тейлора по степеням показателя и ограничиться первыми членами ряда, после чего интеграл легко вычисляется.

Ограничимся далее более интересным случаем, когда Со/<т>1, так что вероят­

ность ошибки не больше

« 10-1 (ниже для конкретных случаев это условие вы­

ражено через

отношение

сигнал/помеха). Обозначим z — 2co/Atoi

и рассмотрим

выражение

в

квадратных скобках в (4.21) К = Y n /2 z (2 F (z )— 1)+ехр(—гг/2).

Для оценки

порядка значений величины г заметим, что величины

и а связы­

вает соотношение, довольно слабо зависящее от формы частотной характеристики

фильтра

и определяемое

в основном шириной его полосы

пропускания A F

 

 

а ^ п А Т о / З .

(4 .2 2 )

Так,

для фильтра с

прямоугольной характеристикой

ф-ла (4.22) является

точной, а для фильтра с гауссовой характеристикой, ширина полосы пропускания которого определена на уровне 0,7, ф-ла (4.22) дает погрешность меньше 2%.

Учитывая, что длительность переходных процессов A t & l/A F , видим

2 с0

с0 2 / 3

с0

г ~~ Д f Oi ~

а я

~ а

Таким образом, величины z и cola примерно одинаковы, поэтому можно счи­ тать, что z > 1, и заменить в К функцию Лапласа ее асимптотическим представ­ лением. Тогда К ~ V 0,5я2 и

(Tl

# 2а*

A t

 

Т

 

Hi (< I 1) =

 

т <

| ' |

< т

 

л / _2_ -2 с2(«/о*Д t1

 

 

 

Со

 

\ t \ <

A t

Д t а У я *

 

’ l U ‘ - 2 )

Примерный вид периодической функции (Ai (/[ 1)

(1)

показан на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Условная функция плотности

М<1'1)

Везде в дальнейшем функция p i(0 входит в окончательные выражения в ви­ де одного из сомножителей в подынтегральных выражениях, так что величины

интегралов в значительной степени зависят от поведения функции

в окрест­

ности ее максимума. При с0/о > 1 почти вся площадь под кривой

p i(f|l) сосре­

доточена над интервалом (—0,5Д/, 0,5Д?). Поэтому при вычислении интегралов,

определяющих коэффициенты ряда (4.8),

можно считать, что

 

 

 

— 2 & <*/о* д <»

/

L2 )■

Hi (*|1) =

л

A t а е

0

• (!*,' <

Сопоставим, далее, полученное выражение с

(4.20). В окрестности точки

<=0, где |i,( f|l) максимальна,

функция pi(*|2) при с о / а > 2 не превосходит 10%

от |ii(£ |l). Более тщательный

расчет, проделанный

применительно к рассмотрен­

ному в § 4.4 резонансному УС при фазовой модуляции, показывает, что если пренебречь вторым слагаемым в (4.19), то даже при Со/а=1 ошибка в опреде­

лении дисперсии фс не превосходит 30%. Можно поэтому при последующих расчетах принять

1П(0 =

— Л°----- е—2<с, (/яД()‘

(4.23)

Y i n A t а

 

4--65

97

 

Функция т ( / ) — четная, поэтому коэффициенты U при

нечетных членах ее

ряда Фурье равны нулю. Для нахождения коэффициентов т i

при четных членах

необходимо вычислить интегралы от произведений p i(i) и гармонических функций

в пределах (—0,5 7", 0,5 7").

Учитывая, что гауссова кривая (4.23)

при |/|> 0 ,5 Т

быстро убывает

с ростом

|f|, заменим

пределы

интегрирования

(—0,5 7', 0,5 7")

на бесконечные

(—°°,

оо). Вычислив интеграл [41]

 

 

 

 

 

 

— ^i Wj, Д t 0/2

'<=л7V

/ 4 -

j

—2 (с0</аД<)* cos i coj. t dt

 

 

 

 

 

найдем выражения для коэффициентов ряда (4.8):

 

 

 

1

1

— / а

Д < о/2 с0\* / 2

 

 

m° = 7 f > « i = - 7 e

 

 

h = О,

которые после подстановки в (4.18) и (4.9) дают следующие выражения для ис­ комых коэффициентов At, Вц:

А\ — 2у- ехр

(4.24)

д _ _ J _ [

 

Dll —

4

 

—

T

(4.251

 

 

l

(4.26)

В12 — 4y2

 

Bl2 —в п —0.

(4.27)

При исследовании статистических характеристик фс

вместо коэффициентов

А\ и Вц удобнее пользоваться величинами а и Ьц, определяемыми ф-лами (2.10) и (2.23). Величина а «несет ответственность» за смещения математического ожи­ дания фс, обусловленные сигналом на входе ВИРУ. В данном случае

а = arc tg (А2/А г) = 0 .

(4.28)

Заметим, однако, что равенство нулю имеет место лишь при условии, что изменения параметров аппаратуры и канала связи не нарушают симметрии кривой рис. 4.6 и не изменяют временного положения момента пересечения. При такой идеализации изменения математического ожидания фс вызываются только расстройкой частотной характеристики ВИРУ относительно тактовой частоты шт-

Величины Ьij

несут информацию об отношении помеха/сигнал на входе ВИРУ.

В соответствии с

(2.30),

(2.31) и (4.24)— (4.27) эти величины равны:

 

 

 

= 2 ch (ла р2) — 2 Тц/Т';

 

(4.29'

 

 

Ь22 = 2 sh (ла р2);

 

(4.30)

 

 

Ь12 — &21 =

0>

 

(4.31)

где р—|ia/Co — обобщенный параметр, учитывающий свойства сигнала и

канала

связи; р=Д//7' — нормированная длительность переходного процесса.

Коэф­

При Co/о—»-оо не все

коэффициенты Ьц

бесконечно

уменьшаются.

фициент b,;j стремится

к конечному 'пределу, равному

2—2хк/Т. «Физически»

это очевидно — даже при отсутствии помех

последовательность моментов пере­

сечений случайна, поскольку случайна передаваемая информация. Существенно, однако, что коэффициенты Ьц и Ьг2 далеко не одинаково влияют на дисперсию фс.

98

Как видно из (2.43), (2.47), при точной настройке ВИРУ и <х=0 дисперсия за­ висит только от Ьгг, так как

 

bo = 6„ =

2sh(n*p*).

(4.32)

Таким образом, при C o / o - *

- o o ( q - * 0 )

величина Ь0-+0.

Вместе с тем, флуктуации

амплитуды выходного напряжения ВИРУ при этом остаются конечными.

В § 4.4 на основе

(4.32)

выполнено исследование

характеристик УС коге­

рентного демодулятора

сигналов с однократной и двукратной модуляцией.

4.3. Замкнутые УС по пересечениям

Точные выражения для коэффициентов а>о(ф) и Ь ( ф ) . Характе­ ристики фс в замкнутом УС определяются видом функций Л(<р) и В (ф) или функций Оо(ф) и Ь(ф), представляющих собой, как видно из (3.7), (3.8) или (3.7а), (3.8а), статистические характе­ ристики случайного процесса £ф (t). Установим связь между про­

цессом | ф(7), который можно рассматривать как производную от

процесса изменения фс, и процессом t,(t), т. е. импульсами потока пересечений. Обратимся для этого к временной диаграмме рис.

4.9а, где на оси времени отмечены границы посылок IT, моменты

Л

появления синхроимпульсов U и момент пересечения t.

ф

h л

-*1 V

snfup-r)

 

1

 

1 1-

 

\*

(1+1)т

 

гг

t

ю

- ж

-1

г )

К

-7 - 2

- к

Рис. 4.9.

* ( х )

 

в )

в МУ х )

1

 

 

- - - - -

1

Ж

 

 

 

Л

 

f - i t

- ж

 

х =

 

 

 

- 1

 

 

 

 

i k ( x )

 

 

 

 

■к

 

д>

 

?

*

 

г 1 - "

*

N«

■ $ * «

 

*

 

Характеристики измерителей пересечений замкну­ тых УС

В УС с двухпозиционпым управлением правило изменения фс следующее: если импульс пересечения попал в интервал (U—0,5 Т, U), то фс уменьшается на 2n/N; если импульс попал в интервал (ti, (;+0,5 Г), то фс увеличивается на 2л/N. Этому правилу соот­ ветствует показанная на рис. 4.96 характеристика ИП, называе­

4*

99

Смотрите также файлы