ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 0
|
ti+T |
|
где |
2<(<р, ij))= j z(t) s( (t, t|i)dt\ |
(6.5) |
U
</+r
N t (<p,$)= J n(f)st (t, ф)Л. (6 .6) U
Если помеха n(t) — нормальный стационарный процесс с ну левым средним, то распределение величины JV,- нормально, имеет нулевое среднее и не зависит от ф. Дисперсию ее обозначим че рез а2,(ф). Тогда дисперсия разности АЛ^(ф) =М,-(ф, t|>)—УДф, ф) равна
о], (ф) = О» (Ф) + |
О* (Ф) - 2К „ (ф), |
(6.7> |
где /Сгj ('ф) — корреляция величин |
и N+ |
причем |
Процесс z(t) определяется передаваемой информацией, |
||
при ограниченной полосе канала связи на текущее значение z(ty влияет не только данная, но и соседние посылки сигнала. В реаль ных условиях можно ограничиться учетом, помимо данной, пред шествующей и последующей посылок. Тогда величины Z* при фик сированных ф и ф являются детерминированными функциями ин формационных символов r/_1, Г[ и гi+i, переданных соответственно*
на |
(/—1)-й, l-й и (7+1)щ |
посылках, т. е. Zf(<p, ф )= 2;(ф , |
ф, гг_,, |
г и |
r l + i ) . |
|
|
|
Обозначим разность в правой части (6.4) через |
|
|
|
А гг/(ф, ф , г , , |
ri+1) = Z ,( ф, ф) — г / (ф, ф). |
(6 .8) |
Решение в пользу г-ro варианта сигнала будет правильным, ес ли /= г/. Вероятность такого события равна
Я ц { Ф. Ф. r i - v П+i) = Р 1А 2 </(Ф’ |
Ф- r i - v *. H+1) > A ^ / W ] |
= |
|
= F[ht,( ф, ф, |
rt_ v |
г|+1)], |
(6.9> |
где F(x) — функция Лапласа, |
|
ф , rt_ v i, r[+1) |
|
д г ,/( ф , |
(6. 10) |
||
М Ф- Ф- ri - 1- ri+0 = |
|
оц (Ф) |
|
|
|
||
Усредняя величину 1—qi, по всем значениям символов г, г;_ц гi+i и предполагая, что символы на соседних посылках независимы, найдем условную вероятность ошибки при заданных ф и ф 1):
м м |
м м |
Р(ф- Ф) = X 2 |
X ^PiPmPnV — Яи (ф, Ф, П_,, Гж )], (6 .1 1 ) |
(=1 /= 1 |
m=l п= 1 |
1*1
•) В дальнейшем обе вероятности р(<р,ф) и р(<р) называются одинаково* «условной вероятностью ошибки», так как они легко отличаются по своим аргу ментам.
151
тде М — число вариантов сигнала на посылке, a qij определяется
(ф-лами (6.9), (6.10) при г/_1 = т , Г(+1 —п.
Заметим, что (6.11) и последующие соотношения определяют вероятность ошибки в М-позиционной системе. Вероятность ошиб ки, приведенная к одному двоичному подканалу [137], вычисляет ся иначе.
Усреднив вероятность р(ф, ф) по всем значениям фазы опор ного колебания, получим выражение для условной вероятности ошибки при условии, что фс равна <р:
Я |
(дс)dx, |
(6.12) |
Р(ф)= JР(ф. х) |
—Л
где w^(х) — плотность вероятности фазы ф.
Для приближенных расчетов ф-лу (6.11) можно упростить, за менив функцию Лапласа в (6.9) ее разложением в ряд Тейлора в окрестности условного математического ожидания
мм
Мф , ф) = 2 X РпРтКЛф- Ф. Ш, п). n=l m==1
Обозначив |
|
м |
м |
н а (ф. Ф) = |
X РпРт [h ‘> (ф’ ф’ т ’ ^ ~ h il (ф> 'М 2 |
п—\ т = 1
и ограничиваясь квадратичным членом указанного разложения, получим после преобразований
м |
м |
|
|
|
|
р (ф, ф) = 2 |
£ |
Pi\ 1 — F [hii ^ ^ |
+ |
— 7 = г #</(ф. Ф) ha(<p, |
Ф )Х |
i=i /=1 |
|
|
2 / 2 я |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X ехр ["-----Ф) ]} • |
|
(6.13) |
|
Расчеты |
по |
ф-ле (6.13) могут |
оказаться проще, чем по |
ф-ле |
|
(6 .1 1 ), особенно при больших М.
Условная вероятность ошибки при оптимальном некогерентном
приеме. В данном случае РУ на |
I-й посылке принимает решение |
в пользу t-го варианта сигнала, |
если при всех i ^ j выполняется |
неравенство |
|
х (t) s, (t) dt |
х (t) Sj (t) dt + |
|
(6.14) |
где S j ( t ) — преобразованный по |
Гильберту j-й вариант сигнала. |
152
Обозначив
U+т
|
Х , - ( ф . |
r t_ v r h rz+I) = |
j |
z(t) s M d t - , |
(6.15a) |
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
у I(ф. г1- 1, ri> rl+i) = |
*‘+т |
Л |
(6.156) |
|||||
|
j |
2 ( 0 |
Sc(t) di- |
||||||
|
TV. = |
U+T |
|
Mi |
= |
U+T |
A |
(6.16) |
|
|
J |
n(0st (t)dty |
J |
n(0s,(0^ ; |
|||||
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
v?(cp, |
|
r /f /-/+1) = 1/2 = |
[Хг(ф, |
r,_„ |
гь гж )+ЛГ(]* + |
||||
|
|
+ |
|
(ф , r f _ l t |
r , , |
r l + l ) + M i f , |
( 6 . 1 7 ) |
||
представим неравенство |
( 6 . 1 4 ) в виде |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I/* > 1 / 2 . |
|
|
( 6 . 1 8 ) |
||
Решение в пользу t-го варианта сигнала будет правильным, |
|||||||||
если i— ri. Вероятность такого события |
|
|
|
||||||
|
|
|
) - |
О*, |
|
|
|
|
|
Ян (ф . |
|
|
оИо |
|
|
|
j, rl+x)dx2dxv (6.19) |
||
i—v r/+i> = |
v r i ’ |
ф . |
/ - |
1’ |
|
||||
где Wv (x1, |
jc2 | qp, |
r*_1, i, |
j, n+i) — условная совместная |
плотность |
|||||
вероятности величин V i |
и Vj. |
|
|
|
|
|
|||
Вычислим условную вероятность ошибки, определяемую вы |
|||||||||
ражением, аналогичным (6 .1 1 ), |
для системы связи с однократной |
||||||||
модуляцией |
с ортогональными |
в усиленном смысле |
сигналами |
||||||
1132], для которых при i=£j |
Л |
|
“ |
|
|
||||
U+T |
|
|
|
и+т |
|
*l+TA |
|
||
U |
si (0 s, (t)dt = |
h |
|
|
I * |
|
|||
|
Г st (t) Sj (t) dt |
|
(t)Sj(t)di = |
||||||
|
|
|
|
Ч+г |
Л |
|
|
|
|
=| Si(t)s{(t)dt = 0 ,
авеличины У, и Vj независимы и, так как TV* и М{ нормальны,, распределены по закону Райса [132].
При фиксированных ф, /7, i, j вероятность ошибки 1—фр (ф,
П- i, n+i) равна
о - |
= |
|
) |
Х |
|
О х, |
|
||
|
|
|
|
|
X ехр |
А + А |
*2 + Zl2 |
dxYdx2, |
(6.20) |
|
2ста |
2аг |
|
|
153
где о2 — дисперсия величин Ni и Л1*, h (x) — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка;
Z? |
■Z?(«P. г/ - р |
ri+1) = |
X?(cpi, |
rt_v rh |
rl+l) + |
|
|
+ YU Ф- 0 -i> О, гWJ |
|
(6.21) |
|||
Проинтегрировав (6.20), |
получаем |
|
|
|
||
•1 Qa (ф. |
ri—v ri+1) = |
ехР |
Z? |
z l ( ф . |
г-p |
'■г-н) |
4 а 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ,-(Ф. гг-1 >'■ |
r/+i) |
|
|
(6.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь г1г(х, у) — специальная функция, вычисленная в приложе нии 3.
Заметим, что при Zj —0 '(например, при точной синхронизации) гиз (6 .2 2 ) получается известное выражение для помехоустойчиво сти [132]
1— <7г/(ф- 'W |
ri+1 |
1 |
£-(ф, r,_lt », rl+l) |
|
= — ехр |
4 а 2 |
(6.23) |
||
|
|
2 |
|
|
Проделав выкладки, |
аналогичные |
проделанным |
при выводе |
|
б(6 .1 1 ), и приняв во |
внимание, что величины Vi при |
некогерент- |
||
яом приеме не зависят от начальной фазы опорного колебания,
найдем с учетом (6 .2 2 ) |
условную вероятность ошибки |
|
||
2 |
2 |
iPmPnехр |
(ф, m, /, n) |
|
1 |
|
|
||
p{(p)==iEi=\£т—1 n=l |
4a2 |
X |
||
|
|
|
|
|
Zy(cp, |
m , i, n) Z? (ф , |
m, i, n) |
(6.24) |
|
X V |
|
|
|
|
О вычислении функций Z;. Условные вероятности ошибки в -ф-лах (6.12) и (6.24) определяются через величины Zit несущие информацию о вариантах принимаемого сигнала с учетом влия ния рассинхронизации. При когерентном приеме и неограниченной полосе пропускания канала связи эти величины отличаются от вариантов переданного на трех соседних посылках сигнала только -сдвигом, определяемым фазой синхросигнала <р. Обозначим эти варианты через 5,(ф , ф, гм, п, П+0- Если соответствующий тако му значению сигнал z(t) в ф-ле (6.5) обозначить через y(t), то для канала с ограниченной полосой пропускания в установившем уся режиме имеем
г (0 = J У (t — td g Vi) dtu |
(6.25) |
о |
|
.где g ( t ) — импульсная реакция канала. Подставив (6.25) |
в (6.5) |
154
и поменяв в полученном выражении порядок интегрирования,, имеем
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
2;(ф> |
Ф> |
rt_ v г,, |
г,+1) = |
j‘ St |
ф, |
r/—I, rh |
г<+1) g (tj div (6.26> |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Аналогичные |
соотношения |
нетрудно |
установить для |
величин |
||||
Xi и |
Уi, |
определяющих |
в соответствии с (6 .2 1 ) |
вариант |
сигнала |
|||
для оптимального цегогерентного приема.
Заметим, что при неограниченной полосе канала величины Z: определяются только двумя посылками сигнала, попадающими в интервал обработки, так как взаимного влияния посылок при этом нет.
6.2.Вероятность ошибки при когерентном приеме сигналов
соднократной ФМ и ЧМ
Вероятность ошибки при фазовой модуляции. Условные веро ятности ошибки р(<р, ф) три ФРМ и ФМ связанны известным со отношением [56, 137]
Р ф р м (Ф . Ф) = 2 Р ф м (Ф . Ф) [ 1 — Р ф м (Ф. Ф)]- |
(6 ' 2 7 > |
которое при малых вероятностях ошибки можно заменить более простым
РфРм(ф> Ф) ~ 2 РФМ(ф| ф)- |
(6-28> |
Для нахождения условной вероятности ошибки при ФМ заме тим, что варианты опорного колебания, отличающиеся только зна
ком, равны (при 0<t<T) |
|
h (t, ф0) = — s2(t, фо) = a cos (и0t + фц), |
(6.29> |
и воспользуемся (6.5) —(6.11)
При неограниченной полосе частот интегралы Zj, которые в. этом случае обозначаются через Si, зависят только от сигнала на (7—1 )-й и /-й посылках, попавших в интервал интегрирования. При этом «условные» отношения сигнал/помеха йц не зависят от
Гi+i, т. е.
|
л</(ф. Ф- ri-v n+i) |
= М ф- |
ri-i)> 1 ф ] - |
|
||
При однократной модуляции h\i{ф, ф, ги ) = /г21 (ф, ф, r;-i), по |
||||||
этому |
|
|
|
|
|
|
|
р(ф, ф) = |
1 — 0,5^[Л1 2 (ф, ф, 1) — 0,5/^ [/г1 2 (ф, ijj, 2)]. |
(6.30)* |
|||
Отношения h:j выражаются через S* и N{. Подставив |
(6.29) в |
|||||
(6.5), |
найдем St: |
|
|
|
|
|
|
ЗДф, |
ф, |
1 , 1 ) = — 52 (ф, |
г|), 1 1) = |
0 ,5a2Tcos(i|5— 1(50), (6.31а> |
|
5Дф, |
i|j, 1 , |
2) = |
— S2(ф, 1(5, 1 , |
2) — 0,5а?Т |^ 1.-----5 -jco s^ — ф0) + |
||
155