Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.10.2024

Просмотров: 157

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

К аналогичному выводу приводит оценка Рдоп вероят­ ности попадания фс и фазы опорного колебания в область значений, где увеличение ве­ роятности ошибки не превосхо­ дит некоторой допустимой ве­ личины (см. § 1.6). Если обе фазы распределены нормально и области допустимых значе­ ний составляют ф!= Дф<ф< <ф2 = —Л<р и Дф<ф—ф„< < —Дф, то

( * ) ' ( ! ? ■ ) • <642)

Рис. 6.4. Вероятность ошибки при ко­

герентном приеме:

------ Оф =0; ------ (Тф =0,08я

Так, при h = 3 и Дф=Аф = 0,1я вероятность ошибки находится в пределах от 10~ 5 до 6 -4 -10~5. При сг^ =стч, = 0,02л вероятность попадания в область —Дф<ф<-|-Дф, —Дф<ф—ф0<Дф составля­ ет РЯоп=( 14-1,2) 10 -е.

При ограниченной полосе канала связи (п0= 3, 2</Т <2,67) при /г = 3 и Дф= 0,2я, Дф= 0,1л вероятность ошибки изменяется от 8-10~ 5 до 3,3-10-4. Поэтому вследствие (6.42) та же вероятность Рдоп получается при = 0,02л, аф = 0,04л.

Примерно такие же соотношения справедливы и при однократ­

ной ФРМ.

Вероятность ошибки при частотной модуляции. Сигналы од­ нократной ЧМ имеют вид

Si (*, Фю) = а cos (®ю * + Фю). s2 (t, ф20) = a cos (шм t -}- ф20). (6.43

Для канала с неограниченной полосой пропускания при вычис­ лении условной вероятности ошибки достаточно учесть две сосед­ ние посылки. Тогда по аналогии со случаем ФМ, полагая, что

^ 1 ~ © 1 о/© 7’ ^ 1 ,

z= Ю20/(Ог

1 ,

 

можно 'получить условную

вероятность ошибки

подстановкой в

(6.41) формул:

 

 

 

 

М ф . 4»i.

1) =

Лсоз(ф1 — фю);

(6.44а)

Л2 1(ф- “Фа.

2) =

Л cos (ф2 — ф20);

(6.446)

h n (ф . Ф к Фа. 2 ) = h (cos (фг — ф10) — —

cos (ф2 — ф20) +

V

 

л

 

 

6 - 6 5

161

 

 

2

ф

~

 

 

 

 

 

sin 2

 

~ ^20 + Ф1 ~ Фю)

 

 

H--------------------------- cos

—

X

 

 

Я

k2— k-L

 

 

 

 

 

X cos - y - (fe2 — 6l) + Y

(Фа +

Ф20~ Ф1 ~ Фю)

(6.44в)

 

Л21 (ф. Фт. Ф2.

1) = л [ cos (ф2 — ф20) — Li-Lcos (фх —ф10) +

2

Sm

Ф I

 

1

 

 

 

2

 

+

Ф1 — ^io)cos ^ 4 * 2 - * l ) +

+ —

—

I—

i----- cos^ - ( ^ —

Я

 

г?о

rtj

2

 

 

 

 

 

 

 

(Ф2 + Ф20— Фх“ Фю)]} •

(6.44г)

В частности, при равных начальных фазах обоих сигналов и

опорных

колебаний, т. е. при ф!—ф10= ф 2—фго=Ф—фо, условная

вероятность ошибки

 

 

 

 

^чм(ф’

Ф)

l ~

- j F [hcos ^

—

~~ Y F h cos (ф

ф0) X

 

X

 

 

sin (k.

 

 

(6.45)

 

 

 

k% ki

 

 

 

 

 

 

 

где (/г2—ki)/T — девиация частоты в герцах.

При (kz—ki)>3 выражение (6.45) можно заменить на

рчм(ф, ф)=г 1 — 0,5/^ [Лсоэ (ф — фо)] — О.б/ 7 [/icos (ф— ф0) (1 — |ф|/я)]. (6.46)

которое отличается от (6.36) только отсутствием множителя Y 2 перед h.

Таким образом, все соотношения для ЧМ легко получить из соответствующих соотношений для ФМ, заменив в последних h на

h / V 2 .

Графики функции рчм (<р, ф) приведены на рис. 6.1в.

6.3.Вероятность ошибки при некогерентном приеме сигналов

соднократной ФРМ и ЧМ

Вероятность ошибки при фазоразностной модуляции. При однократной ФРМ элементарным сигналом является совокупность двух посылок (56, 132, 137] и ва­ рианты сигнала равны

si (/, Фо) = acos(eM + Фо). 0 < 1 < 2 Т

a cos (ш0 1

+

фо),

0 < t < T

(6.47)

— a cos (со01

+

фо),

Т < t <

2Г .

При известных в месте приема параметрах a, too, Т условная вероятность ошибки является функцией только положения начала интегрирования б. Для

162

канала с неограниченной полосой пропускания, как и при когерентном приеме,

достаточно учесть влияние только

одного соседнего

сигнала.

Подставив

(6.47)

в (6.15) и выполнив интегрирование, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^i(<P.

1,

1) =

агТ cos ф0,

 

 

 

 

 

 

 

 

^ 1 (ф.

1>

1) =

— а%Т sin ф„,

 

 

 

 

 

Х,(«р, 2,

1) = а2Г

 

ф

\

 

 

1

 

 

 

Ч'о)

 

1 — ^~ J cos

-----— sin k ф cos (k ф +

 

Yi (Ф, 2, 1 )1=—а?Т

 

 

sin 4>o +

sin

sin (Аф +

ф0)^ .

 

Л2(ф, 2,

2) =

a2T

^ l —

 

j cos ф0 -----— sin k qtcos (k ф +

ф0)| .

 

^г(Ф> 2.

2) =

— агТ j^l —

 

sin ф0 -f- ■— sin k ф sin {k ф + ф0)| ,

 

Х2(ф, 1,

2) =

А:1(ф,

2,

1), Y.2(ф,

1, 2) = (ф,

2,

 

1),

 

ХИф, 2, 2) = Yi (ф, 2,

2) = Хг (ф, 1, 1) =

У^2 (ф, 1,

1) = 0 ,

 

A'j (ф,

1, 2) = — аЧ | ^ -

cos фо +

sin k ф cos (k ф +

ф0)^ ,

 

^i(<P.

1.

2) =

аЧ j j ^ s i n

ф„-----sin k ф sin (6 ф + \|)0)j

,

 

Х*(ф. 2,

1 )= А ,(ф ,

1,

2), К2(ф,

2, 1)= У ,1(Ф,

1,

 

2),

(6.48)

где k — ti)0 Т /2п .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда с помощью (6.21) находим величины Z2

 

 

 

 

 

Z\(Ф.

1. 1) =

а.Чг,

 

 

2 ; „ . * •

 

 

' • 2 ) “

[

(

' -

+

( i j r ) " i l n ’ * ч>—

 

 

 

— —т (1 —

sin k ф cos (k ф + 2ф0)

 

 

 

 

7i

к \

2 j i J

 

 

 

 

 

Z%(Ф,

2,

2) — a*T2[(1 — -5-V -j- ( - ~ V

sin2 At ф — ——

X

 

 

 

L\

 

я /

\я kj

 

 

 

л k

 

 

 

 

 

X sin k ф cos (k ф f 2ф0) j

 

 

 

Z](Ф,

2,

2) == Zf (ф,

1,

1) = 0

 

 

 

 

 

(6.49)

z\(y,

l,

2) = z2(?, 2 ,

\) = ач*- [(i^)i + (^ )* sin2*<pН-

 

 

1

ф

 

 

 

 

1

0 <

ф <

я

 

 

+ —

—

sin k Ф cos (k ф + 2ф0) .

 

 

л k 2я

 

 

 

 

J

 

 

 

Дисперсии величин Ni(<p) и МДф)

вычисляются,

как

и при когерентном приеме,

и равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о1 = 0,5a^ а?Т.

 

 

(6.50)

Условная вероятность

ошибки

при независимых равновероятных сигналах

 

 

 

 

 

 

163

 

 

 

 

 

в данном случае определяется выражением (6.24). Учитывая (6.49) и (6.23), можем записать

1

Рфрм (ф) — - ехр

1 1

+— езср

4

еР -~м< N

4о2

(Ч>. 2. О ’ ф

4о2

----г

 

Z\{ф, 2,

2)

“ Р

 

 

+ Т

4а2

 

*!(Ф. 2. 0

Z \(Ф. 2,

1) ‘

а2

’

а2

(6.51)

 

При 3, в выражениях (6.49) можно пренебречь членами, обратно пропорцио­ нальными к. Тогда после преобразований получим

 

— ехр (— Л2) + — ехр - f t 2 (l

 

 

1

 

- f t 2 X

 

РфРМ (ф ):

1ф 1 )2 + — ехр

 

 

L

\

я

) J

4

 

L

 

 

 

 

 

 

 

Ф|

< я.

(6.52)

Условная вероятность ошибки для ФРМ вычислялась в (64,

145]. В частности,

в [64] получена приближенная формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- J - е—ft2 + —— ео

 

МЛ*

,

- W

i - J 2 L\

 

Рфрм (Ф) =

'

п

+ — е

 

'

•

(6.53)

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

Из графиков рис. 6.5, построенных по

ф-лам

(6.51) — (6.53),

видно,

что при

малых к условная вероятность ошибки при некогерентном

приеме ФРМ,

так же

Рис. 6.5. Зависимость условной

ве­

Рис. 6.6. Зависимость условной вероят­

роятности ошибки от фс

 

ности ошибки при некогерентном прие­

--------- по ф-ле

(6.52),--------------- по

 

ме от ft:

 

 

ф-ле (6.53)

 

--------- неограниченная

п о л о с а ;-------- огра­

 

 

 

ниченная полоса |(«о-3);

/ — ф - 0 ;

2 — ф-0,1я;

 

 

 

3 — <р-0,2л

 

 

как и при когерентном приеме, зависит

от формы сигнала.

Графики

для

ft> 3,

рассчитанные

по ф-лам (6.52) и

(6.53), практически совпадают, поэтому

при

расчетах можно пользоваться более удобной ф-лой (6.53).

Зависимость условной вероятности ошибки от Л представлена для несколь­ ких значений фс на рис. 6.6.

Найдем среднюю вероятность ошибки, считая распределение фс нормальным со средним значением <ро и дисперсией <x£. Подставка (6.53) ® (1.6) ‘и выполнив интегрирование, получим

164

 

 

exp (— A2)

f

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ri

x

 

 

Рош = " ' г \

8

'

+

8

exP f —

h i

—

 

 

\

^

~

o

e x P

К

R l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

J

I

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ё

г

ехм

—

;— г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

o

 

2Vo

’ R l

 

 

 

 

X j F

 

*0

 

,

^2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2 exp

S32

X

 

 

 

4ло„

 

аф^о

 

 

%Ro

 

 

 

 

2 a t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

s3\

 

 

F

 

 

1

+

 

2 exp

 

 

 

R \

 

 

—— + *±)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2at

 

 

 

4™Ф

 

) +

 

 

■1

 

 

 

 

 

4яаФ

%)

 

 

 

 

 

 

 

 

+ S [ ^ r ) - i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.54)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 0 =

1 + 32я2 А2 аф ; R i = 8л А2 аф +

 

(p0;

R 2 — 8л А2 оф — ф0;

 

 

 

 

 

R3 = 4л А2 аф + ф0; «4 = 4я Л2 аф — ф0.

 

 

 

 

График средней вероятности ошибки, рассчитанной по ф-ле

(6.54)

при фо=0

Для разных сф , приведен на рис. 6.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

канале

с ограниченной

полосой

 

число

0аш

 

t

 

7

3

п

учитываемых при расчетах помехоустойчивости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

посылок должно быть равно 4, так как здесь,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кроме

двух посылок,

 

определяющих

данный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

информационный символ, влияют еще две со- /д->

 

 

 

 

 

 

 

седние посылки. Выражение условной вероят­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ности ошибки при этом описывается 8 слагае­

 

 

 

 

 

 

 

А

 

мыми

вида (6.24). Из-за

громоздкости

 

этого /ri

 

 

 

 

 

 

выражения расчеты

по

нему

очень сложны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому ниже представлено приближенное вы­

 

}

 

 

о,оех'

 

о.и

ражение,

основанное

 

на

формуле,

подобной

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.53), и на учете четырех вариантов сигнала, w

 

 

 

 

 

 

 

 

которым соответствуют ф-лы

(6.40),

а именно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w*

 

 

 

 

 

\

4

Puc.

6.7.

Вероятность

ошибки

при ФРМ

 

 

iQ-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

-л? .

1

 

-Л , (ф)

 

J _ —h3 (ф)

 

 

(6.55)

 

 

 

Рф р м (ч>) = у

е

+ y

 

е

 

 

 

+ 4 е

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где п0 =

Е (ЗД FT/2)\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

6

r i

1

 

.

 

 

 

- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„я л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—Л2

—

-f —

Е

 

 

sin2

 

 

 

 

(6.56а)

 

 

 

 

 

 

 

у1—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

л 2

Z j л 2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

 

 

и/1—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

12

 

VI

1

1

 

.

„

п я

п ф

 

 

 

 

 

 

 

(ф) = А?

 

1

12

 

ЧЙ

 

 

 

(6.56б>

 

 

 

 

•--- +'

---

 

V. ---•!sin2 — cos —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

л2

 

Ц_

п*

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

165

Смотрите также файлы