ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 0
|
|
_L |
|
•-о |
n Я |
n ф |
|
|
h\ (ф) = |
h\ |
Л |
£ |
(6.56в) |
||||
sin2 — cos — |
||||||||
|
|
3 |
+ л2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
n= 1 |
|
|
|
|
Проверочные расчеты |
показывают, |
что ф-ла |
(6.55) дает |
несколько |
завышенные |
|||
значения вероятности ошибки.
На рис. 6.6 пунктирными линиями показаны кривые условной вероятности
ошибки пои «0=3, AF—3 <кРц, |
1/7='1200 дв.ед./с. |
|
|
Вероятность ошибки при |
частотной модуляции. Сигналы ЧМ описываются |
||
выражениями |
(6.43). Подставив (6.43) в (6.15), |
при ■фю='фго='фо, «Ого—<ою= |
|
= Д<о= 2лА/7, |
u>ioT=2nki, (йюТ=2nk2, где k, klt |
k2— целые числа и Ai,^s» l , |
|
после необходимых вычислений для канала с неограниченной полосой частот получаем:
Хх(Ф, |
1, |
1) = |
Х2 (ф, |
2, |
2) |
= |
— |
а2Т cosф0, |
|
У^Ф, |
1. |
1 ) = У 2 (Ф. |
2, |
2) |
= |
- |
— |
а2Т sin ф0> |
|
^ ( Ф , |
2, |
О = |
а2Г [(l |
— ^ |
) |
C°s |
^ cos (-5 - _ ^,0) 1 , |
||
Уг(Ф, 2, 1 ) = _ ^ - a 2r [ ( l - ^ - ) s i n t 0 - ^ s i n - ^ s i n ( - ^ - ^ 0) ] .
х 2(Ф> 1 , ^ ) - Y a2T[(l ~ i ) ^ ^ ' ^ k sinf cos{ f + %) \ ’
У2 (ф. 1, 2) = - — а2Т
f - ein( f + *)Ь
* i (Ф, 1, |
2) = |
— а2Т |
|
Ф |
|
|
1 |
. |
ф |
|
/ ф |
V |
|
|
- C « S * . - - " „ T C03(T |
+ 4.,)j, |
|
||||||||||||
Ух(Ф. 1. 2) = |
■а2Т |
Ф |
|
|
|
1 |
ф |
|
. / |
ф |
м |
|
||
|sr""’h -^ * " ’T " " lT + N j' |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
* .(Ф . 2, |
1) = |
— — |
|
Ф |
|
|
1 |
ф |
/ |
ф |
\1 |
|
||
а2Т - c o s ^ 0 + - s m T |
|
cos^T - ^ fljj, |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К2 (Ф, 2, |
1) = |
1 |
Г |
Ф |
sin ф., 4- |
1 |
sin - |
|
|
|
|
|
||
- у а » |
— |
— |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2л |
|
Т |
|
я Л |
|
|
|
|
|
|
Хх (Ф, 2, 2) = У1 (ф, 2, |
2) = |
Х2 (ф, |
1, |
1) = У2 (Ф, 1, |
1) = |
0. |
(6.57) |
|||||||
Отсюда с учетом (6.21) находим величины: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
г?(ф, 1, |
1) = |
|
(ф, |
2, |
2) = —-j- а4Т2; |
|
|
(6.58а) |
||||
5 < Ф , 2, |
1) = |
ZUtf, |
1, |
2) = |
— |
а*Т2 |
_ LSJ-У + |
л2 k2 |
-2-+ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
/ |
|
2 |
|
|
|
|
|
2л k (‘ - Ч г Ь Ч ’ |
|
1 |
. „ |
ф |
(6■58,s, |
|||||
2?(ф, |
2) = 25(ф, |
2, 1) = |
— а*Т2 |
Ф' |
|
, |
||||||||
' |
---- sin2 -------1- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4п2 |
л2 k2 |
2 |
|
||
|
|
|
|
2л k |
2л |
sin Ф ]. |
|
|
|
|
(6.58в) |
|||
|
|
Z \( ф, |
1, |
1) = |
Zf (ф, |
2, |
2) = |
0. |
|
|
(6.58г) |
|||
|
|
|
|
|
|
166 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсии величин (-ф) и М{(ф) в данном случае одинаковы и опреде ляются (6.50). Подставляя (6.58) и (6.50) в (6.24), получаем
Рчм (ф) = |
ехр |
1 |
И 2 + Т |
ехР |
|
1 |
(Ф. |
2 . 1 ) |
|||
— — 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
X ф |
2?(Ф. 1 .2 ) |
|
Z\(iр. |
2, |
1) |
|
|
(6.59) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (6.58) и (6.59) |
видно, что при £ » 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
1 |
ехр |
- |
-J- h2 (1 - |
|Ф1 |
)2] |
||
Рчм (Ф) = |
ехр _ |
- — h2 + — |
|||||||||
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
\ |
2л / |
|||
|
X ¥ |
2Л2 ' 2л / |
2Л2 1 |
|
2л |
|
|
|
(6.60) |
||
Второе слагаемое |
выражения |
(6.60) |
аналогично последнему слагаемому вы |
||||||||
ражения (6.52). Поэтому, воспользовавшись (6.53), можно записать: |
|
||||||||||
|
|
----h1 |
|
|
■ |
И |
" |
? ) |
|
|
|
Рчм (ф) |
, |
2 |
+ |
|
|ф| |
< я. |
(6.61) |
||||
е |
|
||||||||||
Рассчитанные по этой формуле графики представлены на рис. 6.6.
Случай канала с ограниченной полосой исследуется так же, как и при ФРМ.
По аналогии с (6.55) и (6.61) получаемI |
.2 |
1 ,2 , |
|
|
1 —; |
1 |
- — ь3 (Ф) |
|
(6.62) |
||
|
Рчм(ф) — . е |
Ь |
|
где Л2, |
и й2з(ф) определяются выражениями |
(6.56). График функции р ч{л ((р) |
|
(л0=3) |
приведен на рис. 6.6. |
|
|
Вероятность ошибки в многоканальной системе связи с ФРМ. В соответствии |
|||
с (5.1) |
сигнал многоканальной системы связи на 1-п посылке при неограниченной, |
||
полосе частот равен s(0= £ acos [(шг -j- m со) / + qw ). m—1
В этом соотношении предполагается, в отличие от (5.1), что интервал интегри рования равен длительности посылки; величина срт ( представляет собой фазу щ-го канального сигнала на /-й посылке, причем при однократной модуляции
разность фш!—фт, i-i принимает значение 0 |
или л. |
|
При этих |
условиях варианты я-го |
канального сигнала ХДф, ri_i, п ) г |
У,-(ф, /•(_!, ri) в |
оптимальном некогерентном |
приемнике могут быть определены |
с помощью (6.15) и совпадают с (6.48). Однако помехи Ni и Mf в многоканаль ной системе связи вызываются не только аддитивным шумом, но и переходными помехами, обусловленными влиянием соседних каналов при неточной синхрони зации. Слагаемое величины N{ (или М,), обусловленное аддитивным шумом, нор мально, и дисперсия его определяется ф-лой (6.50). Слагаемое, обусловленное переходной помехой, также может считаться нормальным (см. приложение 2), но его дисперсия зависит от величины фс. Величину дисперсии можно найти, если
учесть, |
что |
в обозначениях приложения 2 рассматриваемое |
слагаемое равно |
|||
x {t) ± x ( t+ T ) |
при То= Т, |
А = 0, Х1= Хг=ф/2л, |
причем |
знаку |
«+ » соответствует |
|
первый |
вариант опорного |
колебания в (6.47), |
а знаку |
«—» — второй. Восполь |
||
зовавшись результатом приложения, дисперсию величин Nj и Mi для средних
каналов (л=Х /2) представим |
в виде |
|
■ш |
|
|
|
|
а2 о) Т |
- 1 + h2 |
ш |
|
- Ф1>] } . (6.63) |
|
0(Ф , Фь Фг) = |
"а"2г |
(2 — cos (ф2 |
||||
где ф1=ф„!—фп, i-i; |
ф2=фп, (+1—фпь |
2л |
|
|
||
167
Приняв в (6.49) А » |
1, получим с учетом |
(6.10) |
|
|
Р (Ф) = - у exp [ - |
Н\ («р)] + |
exp [ - |
Н\ (ф)] + - j - exp [— Я2 (ф)] X |
|
X Ф [4Я42 (ф), 4Н\ (Ф)] + |
- j - ехр [ - |
Я2 (Ф)] ф[4Я2 (ф), 4Я2 (q»)J, |
(6.64) |
|
тде
(6.65)
Подставив (6.49) и (6.63) в (6.65), получим для средних каналов при Я =|ф |/2я
( 6 . 66)
Из графиков рис. 6.6, построенных по ф-лам (6.64) и (6.66), видно, что мно гоканальные системы связи чувствительнее к ошибкам тактовой синхронизации, чем одноканальные из-за взаимного влияния каналов при нарушении ортогональ ности. Дисперсия переходной помехи, а следовательно, « условная вероятность ошибки, увеличиваются с ростом погрешности синхронизации.
Если величину Я определить как в гл. 5, то выражения (6.64)— (6.66) при годны не только при совпадении длительностей интервала интегрирования и по сылки, но и при не равном нулю защитном интервале. В многолучевом радио канале р(ф) также можно вычислить, опираясь на (6.64) и (6.65), изменив не сколько смысл входящих в эти формулы величин. Так, для двухлучевого радио канала со сдвигом между лучами, равным защитному интервалу ДТ (такую за держку можно считать предельно допустимой для многоканальной системы; большая задержка заметно отражается на характеристиках системы) при зна
чениях фс, |
не превосходящих 2пАТ0/Т, вместо ф |
в (6.63) следует подставить |
ф /(1+ Л ), |
где Л =Дп/Го Функции 2 гДф, n -i, г() |
рассчитываются для сигнала, |
определяемого двумя лучами, а дисперсия переходной помехи Я(ф1,ф 1,фг) опре
деляется отстающим или опережающим лучом в зависимости от знака ф.
7
ВОПРОСЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ СИНХРОНИЗАЦИИ
7.1. Критерии оптимальности и структурные схемы оптимальных УС
Критерии оптимальности УС. Как отмечалось в гл. 1, задачу синхронизации можно трактовать как статистическую задачу оцен ки неизвестного положения границ между посылками по смеси сигнала с помехами. В связи с этим уместна постановка вопроса о синтезе оптимальных УС.
Одним из наиболее общих критериев сравнения УС между со бой и их синтеза может служить эффективность (1.13). К сожале нию, в настоящее время не удается аналитически выполнить син тез оптимальных по достаточно сложным критериям эффективно сти УС. Более простым критерием оптимальности может служить частный случай критерия эффективности в виде вероятности ошиб ки, старвделанной ф-лой ( 1 .6 ). Представим эту формулу в более удобном для решения задачи синтеза виде.
Фаза синхросигнала <р есть результат преобразования входно го сигнала в УС, т. е.
Ф = ыг (* = сот t* (х (t)) = сотt* (х),
где х — вектор, описывающий входной сигнал x(t), содержащий информацию об истинном положении границы посылок t0. Вели чину t%можно определить с помощью (1.5), триняв /о= Фо/<от. Ус ловную вероятность ошибки при синтезе удобно рассматривать как функцию разности t*—10 и обозначать через p(t*—to), а так как величина t* является неслучайным функционалом (операто-
ром УС от случайного нектара х, то вместо (1.6) запишем
Рош = J p(t* (х) — 10) wx (х) dX, |
(7.1) |
X |
|
где X — область значений вектора х; dX — элемент этой обла сти.
Величина Р0ш представляет собой частный случай среднего ри
ска
7— 65 |
169 |
где I (to, t*) — функция потерь, рассматриваемая как плата за вынесение решения t* о положении границы посылок (в общем случае — оцениваемого параметра), в то время как в действи тельности граница попала в момент t0. При функции потерь I(t0, t*)=p(t*—t0) из (7.2) получаем (7.1).
Величина Рош (и R) зависит от вида оператора t*(x). Задача синтеза оптимального УС сводится к выбору оператора, достав ляющего минимум Р0ш-
Как видно из гл. 6 , условная вероятность ошибки p(t*—10) яв ляется довольно сложной функцией момента t* (или фазы синхро сигнала). Приходится поэтому заменить p(t*—to), например, так
называемой простой функцией потерь |
(7.3) |
I(t0, t*) = C - 8 ( t * - t 0), |
|
где С — постоянная, вводящаяся для удобства решения |
задачи |
•синтеза. Функция потерь (7.3) означает, что любая ошибка при
оценке параметра |
t0 одинаково |
опасна и |
лишь точное |
решение |
t* — to считается выгодным. |
функция |
поте|рь (7.3) |
близка |
|
С точ1ки зрения |
синтеза УС |
|||
к логарифму условной плотности вероятности, еши последняя имеет острый минимум в окрестности решений t*, близких к t0. По-ви димому, такая ситуация довольно типична при оптимальной об работке сигнала в демодуляторе, особенно при больших отноше ниях сигнал/помеха.
Часто рассматривается также квадратичная функция потерь
I(t0, t*) = ( t * - t 0)\ ’ (7-4)
которая в ряде случаев позволяет упростить синтез. Иногда, к то му же, оказывается, что синтезированные с функциями потерь (7.3) и (7.4) оптимальные оценки совпадают [82, 136].
Методы синтеза и структурные схемы оптимальных УС. При синтезе оптимальных УС удобно выразить плотность вероятности
wx (x) в (7.1) через условную плотность вероятности вектора па раметров сигнала х при данном значении оцениваемого парамет
ра to, называемую функцией правдоподобия и обозначаемую как
•—►
F(x\t0) или через апостериорную плотность вероятности оценивае
мого параметра Wt(to\x). В соответствии с формулами полной ве роятности и умножения вероятностей
«М *)= f F(x\to)w0{to)dt0. |
(7.5) |
—6,57*
Решение задачи синтеза при функциях потерь (7.3) и (7.4) приведено, например, в [15, 85, 88, 125, 136]. Оптимальный опера тор при квадратичной функции потерь, определяющий так назы ваемую эффективную оценку [88], равен
—°-5г
t* (х) = |
Г twt (11х) dt. |
(7.6) |
-0,5Г
170