ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
пределы интегрирования, как это было сделано при известной фор ме сигнала, видим, что фп границ посылок
М |
я |
|
я |
г |
t |
L |
|
* 4 * 1 0 = g j ] PiYij |
• • |
j exP |
-7 |
J |
|
+ |
|
<=! |
о |
|
0 |
L af t—т |
/= 1 |
|
|
|
L |
|
М |
T |
|
|
|
+ ф/t + ф/о) |
П ^Ф/0 = £ |
|
Pi Yi П |
А) Г ~ |
(0 ’ (7.29) |
||
где |
y=l |
|
(=1 |
/= 1 |
L°f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z%(t) = X*t (t) + Y%(ty, |
|
|
||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
x ii (0 = |
a/i |
J * (*1)cos (©</ A + |
Ф/i) * 1; |
|
|||
|
|
|
t - T |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
(7.30) |
Уa(t) = |
a/i |
J * &) sin (Ш/< + |
ф ц )^1 , |
||||
<-r
70(X) — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка. Подставляя (7.29) и (7.9) в (7.10), получим алгоритм оптималь ных УС, определяющих границы посылок по отрезку сигнала с длительностью Г и с неизвестной начальной фазой.
Синхронизация по нескольким посылкам. Увеличив длитель ность анализа сигнала в измерителе параметра, можно улучшить оценку параметра сигнала. Случай, когда интервал наблюдения ограничен (7+1)-й посылкой, отличается от рассмотренного ранее только тем, что сигнал представляет собой последовательность
/..... |
, (A) = «(ft), S /ft— Т), • • -, S?f t — /Г), |
и по аналогии с ф-лой (7.26) при известной форме сигнала
- |
м |
|
|
|
|
F,(x\t) = g |
5 1 |
h |
’ ' ■ * ^ Y ( ‘ . |
U ■ ■ ■•?) X |
|
i. |
i.....?=i |
|
|
|
|
X exp |
|
|
ff( ' - ^ |
i |
(7.31) |
где s°j, j , .... q(t) — импульсная |
реакция фильтра, согласованного с |
||||
'последовательностью |
сигналов |
s it |
j ....q(t), t^t |
(/+ 1 ) T. (При |
пере |
даче независимых сигналов вероятность p(i, j, .... q), коэффициент y(i, j, .... q) и экспоненциальный сомножитель в (7.31) представ ляются в виде произведений, и фп границ посылок
F ' W - U P o i C x V - |
i n |
(7.32) |
/=о |
|
|
где фп Foj(x\t—jT) вычисляется по ф-ле |
(7.26) |
для (/+ 1 —/')-й |
посылки. |
|
|
176
Представление фп в форме (7.32) обладает определенными до стоинствами. Например, устройство, вычисляющее логарифм фпт
скоторым часто удобнее работать, чем с самой фп, в соответствии
с(7.32) реализуется в виде вычислителя ln^of*]/) и накопителя, состоящего из линии задержки на время IT с отводами и сумма
тора.
При неопределенной начальной фазе сигнала фп относитель но совокупности посылок представляется в виде произведения фп относительно отдельных посылок, если начальные фазы <pj0 на со седних посылках независимы. Если же начальные фазы зависимы, то фп более сложна [66].
7.3. Характеристики УС с ограниченной памятью
Характеристики УС, оптимальных при полностью известной форме сигнала. Будем считать, что фп в рассматриваемом случае определяется (7.32) и симметрична относительно положения гра ниц посылок. Тогда из (7.9) и (7.10) следует, что обе оптималь ные оценки совпадают и можно ограничиться исследованием оцен ки наибольшего правдоподобия. Так как максимумы фп и ее ло гарифма совпадают, то оптимальная оценка
|
t* = |
arg шах 2 |
In Fol (х \ t — jT), |
(7.33) |
||||
откуда |
|
|
* |
/-о |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.34) |
|
|
|
% |
± \ n F |
o l C x \ F - j T ) = |
0, |
|||
|
|
/*=о |
|
|
как |
моменты пересечений |
||
т. e. оценки t* можно |
рассматривать |
|||||||
вниз нулевого уровня процессом |
|
|
|
|
||||
|
|
|
/ |
|
|
|
|
(7.35) |
|
У(*) “ S |
Л- ln F°l (* I* _ |
/Т)' |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
Рассмотрим интеграл |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.36) |
через |
который в |
|
a f |
0 |
с (7.26) |
определяется |
процесс |
|
соответствии |
||||||||
F(x\t). |
Представив |
аналогично |
(6.3) |
входной сигнал |
суммой |
|||
x(t) = z(t)-\-en(t), где |
коэффициент е введен для удобства после |
|||||||
дующих рассуждений, |
и обозначив |
|
|
|
||||
Z l (t)=Zi (t, rt_ v r/, r u+) = -^-j‘Z( 0
1о
^ ( / - ^ ) ^ 1
(7.37)
t
Ni (0
af {
177
видим, что |
|
Ji{t) = Zt (t, r(_ v rh гг+1) +sNi(t). |
(7.38) |
Здесь величины Z£ и Л/£ с точностью до постоянного коэффициен та совпадают с аналогичными величинами в гл. 6, а ги , ri, rt+l — информационные символы, переданные на трех соседних посыл ках. С учетом (7.26), (7.36), (7.38) ф-ла (7.35) принимает вид
мм
у^^Si lnSPiу‘ехр[Ziу~^ +8Ni^~уТ)] =
/=о г=1
/ 2 P /7 /exp[Z1(< - /T ) + 8/Vl ( / - / T ) l [ 2 i ( / - / T ) + e / / | ( < - / T ) ]
2 Pi Y« ехР lzi (< — /т ) + 8 (* — /Т)]
i=o
(7.39)
При больших отношениях сигнал/помеха можно считать пара метр е малой величиной и разложить (7.39) в ряд Тейлора по сте пеням е. Ограничиваясь первыми двумя членами разложения, имеем
|
y (t) = y{t, |
e) = y(t, |
0 ) + |
в 0 ',(/, 0 ), |
(7.40) |
||
где |
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
P m Z iV — iT)ex?iz i(t — iT)] |
(7.41) |
||
|
|
°)=% |
* |
4 i--------------------------- |
|||
|
|
|
|||||
|
|
/=0 |
|
'2xPni**9[zt { t - m \ |
|
||
|
м |
м |
|
i=i |
—2 Г М |
|
|
|
|
|
|
||||
у ' Л 0 ) = V |
^ p {Y1 exp(Zi (^ — /Т)) |
— |
\ т) |
||||
i=i |
|
|
|
||||
|
1 = 0 |
|
м |
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
м |
||
+ Wi (f — ;Т) Z, (/ — )Т)] ехр £ рк ykехр [Z* {t — /Т)] — £ |
Pi Y< X |
||||||
|
|
|
|
*=1 |
|
i=i |
|
|
|
|
|
м |
|
|
\ |
x N i (t - |
}Т) ехр [Z£(f - jT)) V р* у, Z* (* - |
/Т) ехр [Z*(/ - /Т)] . (7.42) |
|||||
|
|
|
|
А = 1 |
|
|
) |
Если |
n(i) — нормальный процесс, то при фиксированных гц , |
||||||
гг, гг+1 процессы Ni(t—jT) и |
0) тоже нормальные. Известно |
||||||
(см., например, |
[85]), |
что корреляционная функция |
случайного |
||||
процесса N.-t(t) близка по форме к функции Z£(7) и монотонно убывает с ростом (t—to). Нетрудно показать, что при этом кор реляционная функция процесса y'(t, 0 ) также монотонно убывает с ростом (t—10).
178
Разложив (7.40) в ряд Тейлора в окрестности точки t0, прирав няв первые члены ряда нулю
y(i)zny (t 0) + гу'е (t0) + \у (/„) + е у\ (*„)] (/ — U |
(7 -43) |
где точка сверху означает производную по t, и (решив получен ное уравнение относительно t —to, имеем
У (to) + |
8 у е (to) |
|
t * — tn = — |
|
|
У (to) + |
е у е (to) |
|
Если у (to) “ 0, то |
|
|
ry'e (to) |
ey'g(to) |
(7-44) |
t* — to — |
У (<o) |
|
У (to) + e у г (to) |
|
Приняв e = l, находим математическое ожидание и дисперсию оценки')
|
<Уе Vo)> . |
(7.45) |
|
У (to) |
|
|
|
|
< и ; м а > |
|
(7.46) |
У* (to) |
|
|
|
|
Заметим, что здесь, как и в {85], можно уточнять статистиче ские характеристики оценок вторым и последующими приближе
ниями.
Формулы (7.45) и (7.46) определяют характеристики условных оценок положения границ посылок, соответствующих конкретным реализациям сигнала. Если необходимо найти усредненные харак теристики оценок, то в ф-лы (7.45) и (7.46) следует подставлять среднее всех возможных реализаций сигнала.
Рассмотрим характеристики условных оценок, которые могут представлять самостоятельный интерес (см. ниже) и через кото рые легко выражаются характеристики усредненных оценок.^ Как
видно из (7.42), математические ожидания процессов |
у |
е’ |
( t ) , |
|
Ni(t) равны нулю. Следовательно, оценки |
границ посылок |
с |
по |
|
мощью синтезированных УС являются несмещенными |
относи |
|||
тельно точки, в которой y ( t , 0 ) = 0 . |
этой точкой |
является |
||
При выводе (7.44) предполагалось, что |
||||
t0, чего в действительности может и не быть, как видно из рас смотренного ниже примера. Итак, оптимальное УС дает несме щенные оценки границ посылок только для таких сигналов, для
которых равенство y ( t , |
0 ) = 0 |
выполняется при |
t, |
равном точной |
|
границе посылок. |
в |
силу |
(7.46) обратно |
пропорциональна |
|
Дисперсия оценки |
|||||
величине y * ( t o ) - Для |
разных |
реализаций сигнала |
эти величины |
||
<) Формулы (7.45) и (7.46) ораведливы, если t—/о < т к, где тк — время корре ляции процесса y(t).
179