ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
могут оказаться разными. Это обстоятельство можно учесть при синтезе для улучшения характеристик УС. Пример такого учета
дан в следующем параграфе. |
получаемых |
||
При |
синхронизации |
по / посылкам дисперсия |
|
оценок |
в / раз меньше, |
чем шо одной посылке. Из этого, однако, |
|
не следует, что увеличивая длительность памяти УС, можно не ограниченно увеличивать точность синхронизации. При большой памяти УС приходится учитывать, что длительности посылок не строго постоянны (см. § 7.4).
Характеристики УС при неопределенной начальной фазе сиг нала„ Приняв, как и прежде, что входной сигнал представляет
собой 'Сумму x>(t) =z{t) +<en(t), |
и обозначив шля УС, |
память ко |
|||||||||||
торого ограничена одной посылкой, |
гГz(/1)cos(co/l/ 1 + |
|
|
|
|||||||||
X H{t, |
rt_ v |
rt, |
г/+1) = |
Xjlit) = |
af |
HPiddti, |
(7.47а) |
||||||
|
|
|
|
|
|
t - T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Y lt{t, |
rt_ v |
rh |
rl+i) = Y l((t) = |
-2 ^ |
f z(*1)sin(a/^ + |
'M d/i; |
(7.476) |
||||||
|
|
|
|
|
|
oif |
t -JT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N и (0 = |
^ - |
f |
л (/x) cos («о/,/j + |
4j>/t)Л!; |
|
|
(7.47в) |
|||
|
|
|
|
af |
t - T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
(7.47r) |
|
|
М ц Ц) = |
Щ - |
f n ( |
t |
j s i n + |
^ ll)di1\ |
|
|
||||
|
|
|
|
a / |
t - T |
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем в силу (7.29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
м |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F Й 0 = g £ Pt y t П А, «IX/! (0 + |
e M H(Z)]2 + |
[Y,t(/) + |
eN n (Z)]2}1/2}. |
||||||||||
|
|
г- i |
/=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимуму |
фп соответствует |
нуль |
производной |
логарифма |
|||||||||
фп: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = |
- ^ - \n F (T \t) |
= |
|
|
|
|
|||
|
м |
|
|
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ] P rn Y t П Л. Ш */1 (0 + е МИ (01* + [УИ (0 + е Nit (0 Р }1/2 )
=гй_______ (=1________________________________________
МL
J ] |
Pi УСП 'о И1Хц (0 + 8 Мц (*)]* + [Уа (0 + е Nil (г)]’}1'2 > |
г= 1 |
/= 1 |
Разложим производную логарифма фп в ряд по степеням па раметра е. Ограничиваясь линейными членами разложения, по лучим
y(t) = y(t, e)fny(t, 0) + еу'(/, 0),
где
|
|
|
М |
L |
|
|
П lo(Zji) |
|
|
||
|
|
|
^I ^ Pi |
№ri) Zrt |
|
|
|||||
|
|
|
i = 1<■=! |
____________/=1. H=r_______ |
|
(7.48) |
|||||
|
|
у (t. 0) |
|
|
M |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
^ P i V* П ^о(^//) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l=I |
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
M |
L |
|
1 —2 |
M |
I L |
M |
L |
|
|
J/E((- |
0): |
X Pi V . П л > |
Zjt( ) |
2 PnУп I П lo ( Z i n ^ P t y t j r |
2 ' i |
( * « > x |
|||||
|
|
.1=1 |
/ = 1 |
|
J |
П=1 |
l / = l |
£=1 |
Г= 1 |
|
|
X |
Xr/Afrf + Уг|ЛГл |
П |
/.(*;,)- У м * , , . ) ^ M rn + y rnNrn |
x |
|||||||
|
|
|
1=1, |
!Фг |
М |
/■—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
X Г Ь |
(2^ |
J j |
Pi Yi П |
/о (Zji) [ . |
|
(7.49) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
Х„ = Х/((0, Кл = |
Z?{= X*, + К*.. |
|
|
|||||||
Математическое ожидание и дисперсию оценок с учетом |
(7.48) |
||||||||||
и (7.49) можно найти с помощью (7.45), (7.46). |
соотношений |
для |
|||||||||
Рассмотрим |
пример |
использования |
общих |
||||||||
вычисления характеристик оценок. |
|
границ |
посылок сигналов |
||||||||
Характеристики когерентных оценок |
|||||||||||
с однократной ФРМ. Под когерентными понимаются оценки, по дученные при полностью известной форме сигнала. Ограничива
ясь учетом влияния на l-ю посылку только соседних |
(/—1 )-й и |
||||||||||
(/+ |1 )-й посылок, |
рассмотрим, |
как |
и в § 6.2 , |
четыре |
варианта |
||||||
функций Zi(t, ги г;_j, r(+i). Воспользовавшись |
(6.38) |
при ф= фо, |
|||||||||
имеем |
(три —0,57< /< 0,57’) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Z1(t) = Z1(t, 1, |
1, |
1) == 2Л*. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л„ По“О 51“sin2 — |
|
2я tn |
||
£ « ( 0 |
= а д 2 , |
1 , |
2 ) = |
2 /г2 |
- |
|
12 |
Y — |
3 |
|
|
+ — |
лi 2 |
cos---- |
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
я2 |
Ц |
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п0 |
|
п я |
Z3(t) = Z1(t, |
2, |
1 , |
1) = — 2/га |
|
|
|
sin2 — |
||||
|
4 + - H J |
— 4 х |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
ч , |
(2л t |
, |
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
X cos п |
------ ----- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
\ 37 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
По |
. . |
п я |
|
|
1 , 1 , 2 ) = — 2 Л4 |
|
|
Sin2 — |
||||||
|
|
|
|
|
л=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181
X cosn |
(7.50) |
Корреляционная функция помехи Nt (t) в данном случае опре деляется также по аналогии с § 6 .2 :'
|
|
|
|
|
|
|
(7.51) |
|
Учитывая {Т.21), (7.40), (7.50), получаем |
четыре |
варианта |
||||||
функций y t |
(t, |
0 ) и y ' R (t, 0 ) > |
|
|
|
|
|
|
|
|
yt (4 0) = th[Z,(012<(0, |
|
|
|
|
|
|
Уи (4 |
0) = N (/) Zt (/) Ch" 2 [Zt (01 + N (0 th [Zt (/)]. |
|
(7.52) |
|||||
Очевидно, уравнению yi{t, |
0)= 0 при нахождении точки, |
соот |
||||||
ветствующей максимуму фп, эквивалентно при |
Z{(t) ф 0 |
ур-ние |
||||||
Zi{t)= 0. |
|
|
|
разные. |
|
|
|
|
Решения его для разных реализаций (7.50) |
любом |
4 ь |
||||||
Для первой |
реализации оно удовлетворяется |
при |
||||||
•для второй — три 42—0, для третьей — три |
4 з = —0,57', для |
чет |
||||||
вертой — три /04 —+0,57. |
При больших |
h |
!(например, |
при |
||||
Найдем |
дисперсии оценок. |
|||||||
h > 2 ) thZi(/) « |
1 , тоэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уt{U |
0) = Zt (t). |
|
|
|
(7.53) |
|
Подставляя (7.50) в (7.53) при найденных 4ь 4г, 4з и <04, по лучим
0 ) = °.
С учетом |
сделанных допущений |
(Zi(toi) |
yie(t) =N-(t) |
и для всех реализаций сигнала |
|
Персии одинаковы и равны |
|
|
(7.54)
>2 ) имеем
^-> ^)
>= 0 , а дис-
1 ~> =
(7.55)
182
Подставляя (7.54) и (7.55) в (7.46), |
получаем |
|
|
||||
°п = '°°. |
°t2 |
3т г |
|
|
|
|
|
64Ь? |
|
|
|
|
|||
|
|
3т 2 |
п—\ |
|
|
|
|
2 |
■2 _ |
Ssin |
|
|
|||
|
|
|
|
|
П Л |
|
|
О(3 = |
О<4 ~ |
|
rt=1 |
|
Т |
|
(7.56> |
|
|
-> 2 |
|
||||
64h2 |
|
п л |
|
||||
|
|
|
|
п л |
|
|
|
|
|
|
|
— |
cos — |
|
|
|
|
|
/1=1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, при передаче сигналов со |
скоростью |
600 дв.ед./с |
|||||
по каналу с полосой частот |
3000 Гц |
По = 7. Тогда о2и = °°, |
o2tz= |
||||
= 0,0137'2/i-2, а2(з=<т2*4= 0 ,3 3 7 '2/г-2. Здесь |
о2н — оо получилось |
в си |
|||||
лу формального предположения, что функция Z* линейна при лю |
|||||||
бом удалении от границ посылок. В действительности |
макси |
||||||
мальная погрешность оценки |
не может |
превосходить |
полпосыл |
||||
ки и, следовательно, дисперсия оценки всегда конечна.
Если при той же полосе канала скорость передачи составляет
1200 дв.ед./с, то ст2н = о2<з = а2(4= оо, а о2ю=0,031 Тгк~2.
Представленный пример наглядно показывает зависимость ха рактеристик оценок от реализаций функций Zt-(/).
7.4. Синтез УС без ограничений на длительность памяти
Исходные соотношения. Во многих задачах положение границ посылок изменяется под влиянием, например, флуктуаций частоты задающих генераторов, замираний «лучей» при многолучевом распространении и т. п. В этом случае длительность памяти зада ется корреляционными связями между значениями оцениваемого параметра.
Пусть границам посылок принимаемого сигнала соответствуют моменты ti, tz, ..., tn. Если все параметры сигнала, кроме границ посылок, известны, то при передаче последовательности независи мых сигналов многомерная фп получается формально из (7.32) подстановкой tj=i —jT и равна
Fn(x\ti> • • - Л ) = |
Г К ,(x\ti). |
(7.57) |
где по аналогии с (7.26) |
Ч |
|
м |
|
|
4 |
\ x ( t l) S0(tj -.-t1)dt1 |
(7.58) |
Яaf 0J
При неизвестных и, кроме того, независимых на соседних по сылках начальных фазах сигналов подобно (7.29) (см. [66]) фп
м |
z |
j |
|
Foi & 10 = g 5]. Pi Уi П 7о ( 4 - z rt (*/) |
|||
(7.59) |
|||
r=i V°7
183
Многомерная фапв получается умножением (7.57) на совмест ную плотность вероятности моментов tu ..., tn и имеет вид
WtnVi, |
■ ■ ;tn\x) = gWa (tlt |
■ • |
^ |
n>[Vo/(*l*/)- |
(7-6°) |
Одномерная фапв при этом равна |
|
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
||
W t(tn\ * ) = g $ |
• ■ . $ W n(tlt ' ' ' Л ) |
Г |
К |
/ ( * I ' M l . ' • |
’ dtn - l ' |
|
|
/= 1 |
|
|
(7.61) |
Подставляя (7.61) в (7.6) и (7.7), можно найти алгоритмы оп тимальных оцен'ивателей. Однако только в частных случаях эти алгоритмы сводятся к доступному для практической реализации виду. Одним из них является случай нормального апостериорного распределения [10, 13].
Будем считать Wn(tu . . tn) гауссовой функцией. Тогда для то го чтобы апостериорная плотность вероятности была нормальной,
необходимо, чтобы фп Fn (х\ t\,..., tn) была гауссовой. Так как ло гарифм гауссовой функции представляет собой полином второй степени, то «близость» к ней фп можно определить по относитель ному весу членов третьей и более высоких степеней в разложении логарифма фп в ряд Тейлора. В силу (7.57)
|
|
In Fп (х | ti, ■ ■ •, tn) = |
Q;- (tj), |
(7.62) |
||
где |
|
|
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qi (tI) = \r\Fol(x\tj) = Y i |
dm |
|
|
(ti- »>o) |
||
lnf o/(*U/o) |
ml |
|||||
|
|
m—0 |
dt 0/ |
|
|
|
|
|
tj0 = argmaxF(xj^), |
|
(7.63) |
||
откуда |
следует, |
что функцию 7ГП'(*| tu ■.., ^n) |
можно считать гаус |
|||
совой, |
если при |
| tj — tj0\<3ot |
члены третьей |
и более высоких сте |
||
пеней .рядов Qj(tj), /= 1 ,.... л, в среднем существенно меньше чле на второй степени, т. е.
« (Зст<)т ~ 2 |
/ *!_ |
г, Г . I , Л |
х, / Foi (x\tio) \ |
64) |
ml |
\dt% |
Ш1 о1Ул \ |
Ч |
' |
|
|
|
Foi (х |</о) |
|
Здесь принято во внимание, что F0j(x/tjo) =0.
С учетом обозначений (7.35) и (7.40) первые два
(7.64) принимают вид |
|
IУЫ I ^ at I У('/о) I» |
I У('/ о ) I ^ ^ | У( '/ о ) I• |
Здесь и далее полагаем, что < y e |
(tjо, 0 ) > = 0 . |
’ е |
|
неравенства
(7.65)
184