ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
Назовем процесс %(t) периодически эргодическим, если можно указать такой интервал времени Т, что математическое ожидание любой функции от произ вольной совокупности выборочных значений процесса с вероятностью 1 совпа
дает с временным периодическим средним, соответствующим любому кратному Т интервалу, т. е.
< F [|(H ) .............. |
&(*».)]> = « F [ £ (* i) . ■ • |
6 (* п )]» г . |
(1-23) |
«Обычный» эргодический процесс является частным случаем периодически эргодического, когда в качестве Т можно использовать произвольный интервал.
Как отмечалось выше, математическое ожидание периодически стационарного процесса является периодической функцией времени. Если процесс периодически эргодический, то в соответствии с (1.23) оценку математического ожидания можно получить усреднением во времени:
|
К |
|
< 6 (0 > = < < £ (')> > r = lim — |
У l i t |
+ kT). |
К.-+оо Zt\ k=-K |
|
|
Именно такую операцию усреднения во |
времени |
приближенно реализует |
гребенчатый фильтр. Для выделения и усреднения во времени первой гармоники математического ожидания служат узкополосные фильтры.
Свойство периодической эргодичности позволяет двумя способами находить коэффициенты ряда (1.18)— путем усреднения во времени и по реализациям.
Сигнал синхронной системы связи как периодически стационарный процесс.
Соответствие между сигналом синхронной системы связи и периодически стацио нарным процессом удобно устанавливать с помощью понятия процесса, опреде ленного векторной последовательностью, и нижеследующего утверждения отно сительно такого процесса.
Будем говорить, что процесс \ ( t ) определен векторной последовательностью
{bj} с элементами bj —(blj, ... , bmj), если на интервале (/— \ ) T < t ^ . j T он одно
значно |
задается |
только |
компонентами bj. Из этого определения следует, |
что |
|||
в произвольный |
момент |
времени t i = ( j — ljr + X, 0 < Х < Т значение |
процесса |
Z,(t) |
|||
можно представить в виде |
|
|
|
|
|||
|
|
|
U t x ) = t x ( bi i ..............bmi)• |
|
(1 24) |
||
Процесс, определенный стационарной последовательностью, является перио |
|||||||
дически стационарным. В самом деле, |
так как вид функции / ^ и статистические |
||||||
характеристики |
вектора |
—► |
от номера элемента |
/ и в |
соответствии |
||
bj не зависят |
|||||||
с (1.24) |
инвариантна |
к сдвигу на интервал, кратный Г, |
то к |
такому сдвигу |
|||
инвариантны и статистические характеристики произвольной выборочной сово купности значений процесса %(t). что и требовалось доказать.
Процесс модуляции сигнала в синхронной системе связи заключается в пре образовании последовательности информационных символов в сигнал по правилу, определяемому видом модуляции. В ряде случаев это преобразование таково, что информационный символ полностью определяет форму сигнала на посылке. Если при этом последовательность информационных символов стационарна, то на основании сформулированного выше утверждения сигнал на выходе моду лятора является периодически стационарным с периодом стационарности, равным длительности посылки.
При использовании корректирующих кодов стационарной можно считать по следовательность кодовых комбинаций (элементы последовательности здесь явля ются многомерными). Поэтому выходной сигнал модулятора и в этом случае является периодически стационарным, однако период будет равен длительности кодовой комбинации.
Преобразования сигнала после модулятора, осуществляемые в передатчике и канале связи, часто можно представить в виде последовательности независящих
от |
времени неинерционных (линейных и нелинейных) преобразований |
сигнала |
и |
стационарных помех и линейных инерционных преобразований. При |
этом на |
21
основании свойств 4 и 5 процесс на входе приемника можно считать периодически стационарным.
В общем случае преобразования сигнала в передатчике и канале связи (даже если канал связи однородный) являются параметрическими и, кроме того, на сигнал воздействуют не только источник стационарной помехи, но и генераторы различных нестационарных сигналов, например задающие генераторы преобразо вателей частоты, имеющие случайную начальную фазу. Если, однако, в какой-
либо конкретной задаче рассматривается преобразование |
сигнала, инвариантное |
|
к указанным нестационарным воздействиям, |
то результат |
преобразования — пе |
риодически стационарный процесс. |
результате преобразований сигнала |
|
Таким образом, процесс, полученный в |
||
синхронной системы связи, можно считать периодически стационарным (за ис ключением интервала времени вблизи начала сеанса связи) при стационарной последовательности информационных сигналов, если характеристики этого про цесса инвариантны к нестационарным искажениям сигнала и параметры системы, осуществляющей преобразование, постоянны во времени.
В качестве примера можно указать на огибающую так или иначе преобра зованного системой с постоянными параметрами сигнала синхронной системы связи, обычно инвариантную к начальным фазам колебаний гетеродинов. В каж дом УС есть элемент, выполняющий преобразование сигнала, нечувствительное к этим фазам, но существенно зависящее от положения границ посылок.
Реальные сигналы, имеющие начало и конец, подверженные влиянию боль шого числа факторов, конечно, не могут быть стационарными или периодически стационарными процессами. Вместе с тем, при решении многих задач такие «рафинированные» процессы являются хорошей моделью реальных. Вопрос о применимости этой модели должен отдельно рассматриваться в каждом кон кретном случае. Применительно к УС качественный ответ на этот вопрос можно дать, сравнив постоянную времени накопителя УС с временным отрезком, в тече ние которого статистические свойства процесса изменяются несущественно. Если первая величина меньше второй, то каждое значение фс является результатом накопления большого числа значений преобразованного сигнала. При этом УС успевает следить за изменениями статистических характеристик процесса (на пример, значений фс), и при расчетах такой «квазипериодически стационарный» [67] процесс можно считать периодически стационарным.
2
РАЗОМКНУТЫЕ УСТРОЙСТВА СИНХРОНИЗАЦИИ
2.1. Накопительные устройства разомкнутых УС
Центральным узлом .разо-минутых УС с точки зрения их ана лиза, который выполняем в данной главе, является накопительное устройство (НУ). В разомкнутых автоматических устройствах тех ники связи НУ обычно являются аналоговыми. Практически ин тересными в настоящее время представляются три типа аналого вых НУ: в'виде выссжоизбирательного резонансного устройства, на строенного на тактовую частоту; в виде гребенчатого фильтра, «зубья» которого совпадают с гармониками тактовой частоты; в виде синхронизируемого автогенератора. Последнее представляет собой нелинейное .устройство с обратной связью и здесь не рас сматривается.
Первые два типа НУ являются линейными. Остановимся вкрат це на принципах их работы.
Гребенчатыми фильтрами ГФ обычно называют линейные уст ройства с импульсной реакцией, имеющей вид последовательности 6-функций с интервалом Т между ними, либо, что то же самое, с АЧХ в форме «гребешка», настроенного на гармоники частоты 1/7’ [89]. Два основных типа ГФ представлены на рис. 2.1. Первый
Рис. 2.1. Гребенчатые фильтры:
а) в виде ЛЗ с отводами и сумма тора; б) в виде рециркулятора
ГФ (рис. 2.1а) состоит из линии задержки с М отводами, соот ветствующими изменению задержки на Т, и сумматора. Импульс ная реакция такого ГФ имеет вид
м |
(2.1а) |
g ( t ) = V 6 ( t- iT ) . |
1=0
Второй ГФ (рис. 2.16) представляет собой так называемый ре циркулятор, состоящий из сумматора, линии задержки на Г и ма-
23
сштабного усилителя с положительным коэффициентом передачи 1—ц, несколько меньшим единицы (0<г|<С1). Импульсная реак ция такого ГФ
g(0 = V (1 — Т|У в (/ — £Г). |
(2.16) |
( = 0
Высокоизбирательное резонансное устройство (ВИРУ) пред ставляет собой весьма узкополосную цепь, настроенную на так товую частоту 1/7". Импульсная реакция ВИРУ
g(t) = G(t) sin [(oTt + Q)(t)l |
(2.2) |
где G(t) и Ф(7) — малоизменяющиеся на интервале Т функции времени; оот= 2я/7\
Процесс накопления в ВИРУ можно пояснить следующим об
разом. Сигнал синхронной системы |
связи после |
преобразований |
во входном преобразователе (ВП) |
представляет |
собой периоди |
чески стационарный процесс (см. § 1.7), и, следовательно, мате матическое ожидание входного сигнала ВИРУ является периоди ческой функцией времени с периодом, равным длительности по сылки Т (или длительности п посылок при использовании блоч ных последовательных корректирующих кодов длиной п). ВИРУ выделяет первую (или соответственно n-ю) гармонику математи ческого ожидания с частотой сот, которая является в данном слу чае полезным сигналом. Каждый отрезок полезной части (мате матического ожидания) входного сигнала |(7) длительностью Т вызывает в ВИРУ медленно затухающие по закону G(t) колеба ния. Амплитуда этих колебаний пропорциональна первой гармони ке указанного отрезка (при периодическом продолжении этого от резка). Совокупность отрезков, составляющая сигнал |(Y), вызы вает колебания с амплитудой, пропорциональной сумме амплитуд воздействий отдельных отрезков.
Устройства синхронизации с накопителями в виде ВИРУ — единственные широко используемые на практике разомкнутые УС. Они получили название резонансных УС и описаны в [28, 42, 43, 44, 59, 100, 107, 108, 118, 148, 150]. Исследование этих УС на ба зе результатов [32] составляет основное содержание данной главы.
УС с накопителем в виде ГФ, называемые далее гребенчаты ми УС, особенно УС с накопителем в виде рециркулятора, могут найти применение в высокоскоростных системах связи, когда дли тельность требуемых задержек невелика и построение линии за держки технически осуществимо. Отметим, что ГФ широко при меняются при накоплении последовательностей импульсных сиг налов. Расчетам ГФ посвящено много работ, результаты которых довольно полно отражены в [89] и могут быть использованы при расчетах УС. Необходимо, однако, помнить, что сигнал на входе гребенчатого накопителя в УС представляет собой результат не линейного 1П'реобраз'01ва-ния в ВП (ibxoiaihom преобразователе), при котором понятия «сигнал» и «шум» нуждаются в уточнении, «шум»
24
не является стационарным и т. д. Поэтому расчет гребенчатого УС имеет некоторые специфические особенности.
Разомкнутые УС различаются в основном ВП и НУ. К сожа лению, пока нет сколько-нибудь общих методов исследования ВП, приводящих к удобным расчетным соотношениям, и каждый ВП приходится анализировать отдельно. Поэтому общие соотно шения удается установить только на основе анализа НУ, являю щихся линейными устройствами.
Исследование УС разбивается на три этапа. На первом этапе по заданному алгоритму УФС устанавливается связь между ис следуемыми характеристиками фс и статистическими характери стиками выходного сигнала накопителя. На втором этапе с по мощью известных методов анализа линейных цепей устанавлива ется связь между статистическими характеристиками преобразо ванного сигнала и статистическими характеристиками выходного сигнала накопителя, а через них — и исследуемыми характеристи ками фс. Полученные на втором этапе соотношения задают сово купность статистических характеристик преобразованного сигна ла, необходимую для исследования УС. На третьем этапе по из вестным статистическим характеристикам входного сигнала и ал горитму ВП определяется совокупность статистических характе ристик преобразованного сигнала.
Первые два этапа исследования можно выполнить «раз и на всегда». Решению этой задачи (отдельно для резонансных и гре бенчатых УС) посвящена данная глава книги. Третий этап выпол няется только применительно к конкретному УС. Примеры ана лиза конкретных УС приведены в четвертой главе.
2.2. Исходные соотношения для расчета статистических характеристик фазы синхросигнала в резонансном УС
Выражение фазы синхросигнала через квадратурные огибаю щие. Обычно в резонансных УС синхросигнал «привязан» к мо менту пересечения выходным сигналом ВИРУ y(t) некоторого уровня. Как правило, это нулевой уровень, которому соответствует наибольшая скорость изменения выходною напряжения ВИРУ и, следовательно, наименьшая аппаратурная ошибка. Импульсы пе-
Рис. 2.2. Резонанс ное УС:
I — входной сигнал; 2 — синхросигнал
АА JUL V ^
ресечений нулевого уровня получают с помощью измерителя зна ка («sign»)1) и дифференцирующей цепи (d/dt) (рис. 2.2). Син хроимпульс формируется с некоторой задержкой AT=A<p/ci>r от носительно импульса пересечения, например, вверх, когда произ-)*
*) Подобные устройства называют также релейными схемами, усилителямиограничителями, схемами сравнения с нулем и т. п.
25
водная напряжения у (t) положительна. Для получения синхро импульса в момент границы между посылками служит ограничи тель снизу («Огр») и устройство задержки на ДТ.
Так как выходное напряжение ВИРУ
y(t) = |
Y (t) sin [оу + ¥ |
(01 = Yi (t) cos шTt + Y2 (t) sin соД, (2.3) |
|||
где иг = 2я/7', |
узкойолооно, |
то на s-й 'Посылке |
оно |
пересекает |
|
вверх нулевой |
|
А |
а |
синхроим |
|
уровень в момент ts= sT— |
|||||
пульсу соответствует момент tg= ts—АТ. На основании |
(1.1) |
||||
Ф (а) = |
ф ($Т) — АФ = |
arc tg [Yt (sT)/Y2 (sT)]- |
ДФ. |
(2.4) |
|
Формула |
(2.4) и определяет выражение фс |
через |
выходной |
||
сигнал ВИРУ, точнее, через его квадратурные огибающие. |
|||||
Статистические характеристики квадратурных огибающих |
Yi(t). |
Импульсную |
|||
реакцию ВИРУ с центральной частотой полосы пропускания юо можно предста вить в одном из видов
g (0 = G (0 sin |
[<в0* + Ф0 (0) = |
G (0 sin [шг t + |
Ф (/)] = |
|
|
|
= |
Gx (t) cos K>T t + |
G2 (t ) sin cor t. |
|
(2.5) |
где шо= ш т (1 + 6 ш) — относительная расстройка ВИРУ от частоты <от ; |
|6 ш|-<1, |
||||
G(t) и Ф(t) — медленно |
изменяющиеся функции времени, |
изменением |
которых |
||
на интервале Т можно |
пренебречь, Ф(7) = Ф»(7) + бю <ооТ, |
Gt(t) = G(t) sin Ф(7), |
|||
Gi(t) = G(t) cos® (t). |
|
|
|
|
|
Узкополосный процесс y(t) на выходе ВИРУ выражается через преобразован ный сигнал 5(7) на входе ВИРУ с помощью интеграла Дюамеля. Сопоставляя получаемое выражение с (2.3), видим, что квадратурные огибающие
(2 .6)
Найдем моментные функции первых двух порядков квадратурных огибающих. Усредним (2.6) и подставим вместо математического ожидания < 5(Х )> пе риодически стационарного процесса 5(X) сумму ряда Фурье (1.18) при п=1. Отбросив в полученных подынтегральных выражениях «быстроосциллирующие»
слагаемые, находим математические ожидания квадратурных огибающих
l,t/l (t) ■- A J J t V). <Y\ |
(0 > |
= |
A J J ! (t) + AxU2 {t)\ |
(2.7) |
|
|
т |
|
|
t |
|
|
|
|
|
n |
|
" |
{t)> Pi (COj- t) dt, |
Ui(t)= |
\ Gt (z) dz |
(2. 8) |
|
И |
|
|
d |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
= |
1.2, Pi (*) = cos X, |
Pa M |
= |
sin x. |
|
Обозначения $i(x) для гармонических функций здесь введены для сокраще
ния записей.
Величины Ai совпадают (с точностью до множителя 2) с математическими ожиданиями коэффициентов при первой гармонике разложения периодически продолженного отрезка процесса |(7) в ряде Фурье.
Найдем корреляционные функции Kn(t, T) = < Y i (i)Yi( t + t ) > , где $i(t) = = Yi(t)—< Y i ( t ) > — центрированная огибающая.
26