Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

Каждая из четырех корреляционных функций K a( i, x ) представляется, как видно из (2.6), в виде суммы четырех слагаемых. Проделаем необходимые для нахождения этих корреляционных функций выкладки на примере одного иа

слагаемых функции Ku(t, т), равного

<<+т

— sin 2(0r г sin (Oj. тх] d x xdz.

Обычно корреляционные связи между значениями процесса %(t) довольно быстро ослабевают с увеличением xi и интервал значений хх, при которых кор­ реляционная функция К^ (z.Xi) заметно отлична от нуля, имеет порядок Т. Тогда

при вычислении внутреннего интеграла практически без ущерба для точности можно, во-первых, пренебречь изменением квадратурной огибающей Gi(t—z+T i), т. е. принять ее равной Gx(t—г), и, во-вторых, заменить область интегрирования

—z < X i < t + x —z на —°°<T i<oo. Поменяв затем порядок интегрирования и воспользовавшись с учетом (1.18) разложением K^(z,Xi) в ряд Фурье, найдем,

отбрасывая в полученном выражении «быстроосциллирующие» слагаемые, выра­ жение для рассматриваемого двойного интеграла. Аналогично найдем выражения для других интегралов, определяющих корреляционные функции Ka(t,x). Послед­

Заметим, что величины Вц можно рассматривать как моменты второго по­ рядка коэффициентов при первой гармонике ряда Фурье отрезка процесса %(t).

Формулы (2.7) и (2.11) с учетом обозначений (2.8) — (2.10) определяют моментные функции первых двух порядков отклика узкополосной цепи на периоди­ чески стационарный процесс.

Так как процесс на выходе ВИРУ близок к нормальному, то моментные функции высоких порядков необходимы обычно только для оценки близости про­ цесса к нормальному. Такие оценки для стационарных процессов приводятся, например, в [125]. Для периодически стационарного входного процесса эти оценки можно найти по методике, аналогичной использованной выше. Можно показать, что ,в 'установившемся режиме многомерные кумулянты порядка п распреде­

27

где Ygn— нормированный кумулянт п — порядка распределения упомянутых

выше коэффициентов при первой гармонике разложения процесса £(7) в ряд Фурье. Например, для ВИРУ в виде колебательного контура с добротностью Q кумулянты совместного распределения квадратурных огибающих имеют порядок

7n = Yt„2(Q/2n),-°’5" /г-1 .

В частности, коэффициенты асимметрии уз и эксцесса уч обратно пропор­

циональны соответственно Y Q и Q.

Таким образом, при достаточно узкополосном ВИРУ квадратурные огибаю­ щие Yi(t) можно считать двумерным нормальным процессом с моментными функ­

циями (2.7) и (2.11).

Распределение фазы синхросигнала. Одномерное распределе­ ние фс с точностью до Аф совпадает с распределением фазы дву­ мерного вектора с нормальными компонентами, приведенным в приложении 4. Тошное выражение для плотности /вероятности /весь­

квадратурных компонент над их среднеквадратичными отклоне­ ниями одномерное распределение фс близко к нормальному. Рас­ пределение фс оказывается нормальным с теми же параметрами и при ее аппроксимации линейными членами разложения арктан­ генса в (2.4) в двумерный ряд Тейлора в окрестности точки, со­ ответствующей математическим ожиданиям компонент, т. е.

к длительности посылки (как функция номера посылки).

Можно показать, что точность аппроксимации (2.12) может оказаться недостаточной только при очень сильных искажениях сигнала, когда характер распределения фс несуществен, так как пропускная способность системы связи при этом близка к нулю.

В соответствии с (2.12) фс представляет собой линейную ком­ бинацию двух нормальных процессов и поэтому также является нормальным процессом. Для его описания достаточно знания моментных функций первых двух порядков, т. е. математического ожидания и корреляционной функции. Как видно из (2.12), эти функции следующим образом связаны с моментными функциями квадратурных огибающих:

Выразим фо(Х) и (s, v) через статистические характеристи­ ки входного сигнала ВИРУ.

28

2.3. Моментные функции фазы синхросигнала в резонансном УС

Математическое ожидание фс. Математическое ожидание фс выражается через статистические характеристики входного сигна­ ла ВИРУ и его импульсную реакцию (2.5) путем подстановки ф-л (2.7) и (2.13) в (2.14). В результате подстановки после неслож­ ных преобразований получим

Поясним смысл полученных формул. ,Величины At и А2 про­ порциональны в соответствии с (2.8) коэффициентам при первой гармонике периодического математического ожидания Эти величины можно рассматривать как компоненты Вектора по­

лезного сигнала, накапливаемого ВИРУ. Величина а представ­ ляет собой фазу этого вектора (фазу первой гармоники). Функ­ ции Ui(t) и U2(t) можно рассматривать как квадратурные оги­ бающие отклика ВИРУ при подаче на его вход синусоидального напряжения частоты шг с огибающей в виде единичного скачка (единичной функции) [39, 51, 135]. Функция u(s) — фаза отклика. Таким образом, математическое ожидание фс представляет со­ бой алгебраическую сумму аппаратурного фазового сдвига Дф, фазы первой гармоники математического ожидания входного сиг­ нала l(t) и фазы отклика ВИРУ на включение синусоидального напряжения.

Постоянный аппаратурный сдвиг Дф выбирается разработчи­ ком аппаратуры так, чтобы в некоторых идеализированных усло­ виях математическое ожидание фо(з) соответствовало наилучше­ му положению синхросигнала. В зависимости от вида решающе­ го устройства наилучшим является обычно положение в середине или в конце посылки. В последнем случае Дф необходимо принять равным идеализированному значению разности u(s)—а.

Вид функции u(s) определяется типом ВИРУ и величиной рас­ стройки бш, и если ВИРУ задано, то выбор идеализированного

значения этой функции сводится к выбору идеализированных зна­ чений s и бш. Целесообразно принять s —оо, 6^ =0, т. е. взять ус­

тановившееся значение угла u(s) при точной настройке. Величина а может зависеть от условий в канале связи. В качестве идеали­

где uo(s) — вид функции u(s) при точной настройке.

где сц= а—ао, U i ( s ) = u(s)—ц0(<»).

29

Влияние ВИРУ на математическое ожидание определя­ ется слагаемым ux(s). Рассмотрим это влияние подробнее.

В установившемся режиме функции Ui(t) не зависят от вре­ мени и связаны простыми соотношениями с передаточной функ­

С позиций математической статистики величина фо(Х) пред­ ставляет собой смещенность оценки идеального значения фс. Ин­ тересно указать условия, при которых оценка будет несмещенной, т. е. фо(Х) = 0. Первым условием является равенство ai = 0, выпол­ нение которого определяется алгоритмом ВП. Будем считать, что это условие выполнено. Тогда для несмещенности оценки в уста­ новившемся режиме необходимо, чтобы 0(сот) =0(соо), т. е. чтобы ФЧХ ВИРУ была постоянна в области всех возможных значений тактовой частоты сот- В физически реализуемом ВИРУ возможно только приближенное постоянство.

Для того чтобы при ai = 0 математическое ожидание фс было равно нулю, в переходном режиме необходимо и достаточно, что­ бы u(s), а следовательно, и отношение Ui(t)/U2(t) не зависело от времени. Для постоянства отношения, как видно из (2.5) и (2.8), достаточно чтобы Ф(7) = Фо(0 + const. При переменном бщ этому условию удовлетворить невозможно. При точной настройке

Эквивалентное этому условие на «частотном языке» записыва­

т. е. АЧХ ВИРУ должна быть четной функцией относительно ча­ стоты соо, а ФЧХ — нечетной при переносе начала координат в точку (©о. Фо)- Такие ВИРУ часто называют ВИРУ с симметрич­ ными частотными характеристиками. При их точной настройке