ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
Корреляционная функция фс. Корреляционная функция фс выражается через импульсную реакцию ВИРУ (2.5) и моментные функции первых двух порядков преобразованного сигнала %(t) путем подстановки ф-л (2.11) в (2.15). Получаемое непосред ственно при подстановке выражение оказывается довольно слож ным. Ему можно придать более простой вид, позволяющий, к то му же, более наглядно пояснить смысл полученных ниже соотно
шений, если воспользоваться некоторыми |
обозначениями. |
Обо |
значим |
|
|
U2 (t) = Щ (0 + Щ (О, А2= |
А\ + А\ , |
(2.27) |
где U(t) — огибающая переходной реакции (отклика на скачок синусоидального напряжения) ВИРУ; А — амплитуда первой гар моники математического ожидания сигнала на входе ВИРУ, т. е. полезного сигнала. Для характеристики помехи будем пользовать ся определенными ф-лой (2.9) коэффициентами которые при i= j можно трактовать как дисперсию коэффициентов при первой гармонике реализации процесса £(t), при i=£j — как взаимную корреляцию между этими коэффициентами. Смысл такой трак товки легко пояснить на примере, когда интервал корреляции процесса l(t) значительно меньше длительности посылки. Тогда при замене т на ti = t+ i интервалы интегрирования во внешнем и внутреннем интегралах в (2.9) должны примерно совпадать и со ставлять (О, Т). При этом коэффициенты
г г
< 1 (О I (К) > Р ; К - 0 Р ; (“ A ) dtdti’ |
(2.28) |
т. е. (с точностью до множителя 4) равны центральным момен там второго порядка пары случайных коэффициентов при первой гармонике разложения отрезка сигнала %(t) в ряд Фурье [32]. Иногда полезно на основании ф-лы (1.18) выразить Bij через по стоянную составляющую и коэффициенты при второй гармонике разложения K ^(t, х) в рад Фурье. Например,
В, |
~ f |
Qq(t) |
(2.29) |
Ч~ аг(т) cos согт — Ь2(т) sin (ог т| d т. |
|||
|
2Т . |
|
|
Для характеристики отношения помехи к сигналу на входе |
|||
ВИРУ можно воспользоваться коэффициентами |
|
||
|
|
Ьц = Ви/А \ |
(2.30) |
однако более удобны формулы, в которых коэффициенты |
опре |
||
делены иначе: |
|
|
|
|
Ь\х — bn cos2 a -f b22sin2 а + b12sin 2а; |
(2.31а) |
|
|
b*2 = bn sin2 а -f- b22cos2 а — b12sin 2а; |
(2.316) |
|
|
b\2= |
^2i = 0.5 {b22 — bu) sin 2а + b12cos 2а, |
(2.31в) |
31
т. е., в отличие от |
вычисляются при переносе начала коорди |
нат на величину а/сот- |
При а = 0 коэффициенты Ьц и b*i} совпа |
дают. |
|
Наконец, для характеристики накопительных свойств ВИРУ могут служить функции
Vij (s, v) = |
Vg(sT, у Г) |
(2.32) |
|
U (sT) U (sT + v Г) |
|||
|
’ |
где
t
Vu(t, т) = Т J G, (г) Gj (z-f т) dz.
о
В самом деле, V^(t, х)/2Т представляют собой при i— j авто корреляционные, а при 1 =й=/ взэимокорреляционные функции про цессов на выходах двух гипотетических ВИРУ с огибающими им пульсных реакций Gilt) и G2(t) и с одинаковыми вч заполнения ми при подаче на входы обоих ВИРУ одного и того же белого шума с единичной спектральной плотностью. Поэтому в устано вившемся режиме в соответствии с теоремой Винера—Хинчина [88, 125] эти функции определяются через передаточные функции с помощью преобразований Ф'урье
во
Vu (oo, т)= — |
Г kt (i to) kj ( i со)е* шт d со. |
(2.33) |
||
(Oj. |
J |
|
|
|
|
— во |
|
|
|
Воспользовавшись (2.21), (2.27) и (2.33), функциям Vij(oo, v) |
||||
можно придать вид |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
иу(о°, \») = - — |
— - |
Г |
kt (i о) kj ( i со)e1юТd со. |
(2.34) |
ЗШу’ |
| о)y j |
,J |
|
|
Величину полосы пропускания ВИРУ часто определяют выра |
||||
жением |
|
|
|
|
Д<в = -----5----- |
Г A*(©)da>. |
(2.35) |
||
2»(щ) |
|
J |
|
|
— со
Инерционность ВИРУ отражает величина обратная Дю. Коли чественной характеристикой инерционности может служить узкополосность
Р = (й0/Дй) ~ £0Г/Д(0. |
(2.36) |
Инерционность отражают и функции ц^(оо, v), которые, как следует из сопоставления (2.34), (2.35) и (2.36), имеют сходный «физический» смысл с величиной \/Р, что, в частности, видно из соотношения
i/u (oo, 0) -f пм (оо, 0) = 1/Р.
32
Для придания компактности выражению для корреляционной функции фс вместо функций V i j ( s , х ) воспользуемся функциями
v'u(s, х) = |
V'qisT, |
у Т) |
|
(2.37) |
|
|
U (sT) U(sT + v T ) ’ |
|
где |
|
|
F). (sT, х Т) = Т \ |
G(z)G(z+ xT)V3_, m z)~ u (s )}^ _ m z+ x T ) - u (s + x )]d z , |
о |
(2.38) |
которые отличаются от Vij(s, х) фазами квадратурных огибающих импульсной реакции ВИРУ.
Введенные и (разъясненные в ф-лах '(2.27)—1(2.38) обозначения позволяют придать корреляционной функции фс, получаемой из подстановки (2.11) в (2.15), следующий вид:
(s, v) = Ь'и ц;, (s, v) + b'n v22(s, v) — b\2[ v\2 (s, x ) + v'2X(s, |
v)]. (2.39) |
Выражение для дисперсии фс получается из (2.38) |
при v = 0 . |
Так как u*12(s, 0 )= y * 2i(s, 0), то |
|
(s) = Ь\х v'xx (s, 0) + Ь\2 v-22(s, 0) - 2Ь\2 v’X2(s, 0). |
(2.40) |
Для ВИРУ с дробно-рациональной передаточной функцией вы |
|
числение v * i j ( s , х ) , выражающихся через интегралы от экспонен |
|
циальных и гармонических функций, не вызывает принципиаль ных трудностей, в отличие от коэффициентов Ь*ц, которые, как от мечалось, обычно не удается вычислить точно. Примеры вычисле ния функций v * i j ( s , х ) для конкретных ВИРУ даны в следующем параграфе. Однако некоторые общие соотношения можно полу чить и не задавая частотных характеристик ВИРУ, если ограни чить класс рассматриваемых ВИРУ цепями с симметричными ча стотными характеристиками при точной настройке.
Корреляционная функция фс при симметричных частотных ха рактеристиках ВИРУ. При точной настройке ВИРУ с симметрич
ными |
характеристиками |
из |
(2.5) |
и |
|
(2.24) имеем |
Gx(t) = |
||||||
= G(Y)sin<D0, |
G2(t) = |
G(t)cosQ>0, |
откуда |
с учетом |
(2.8), |
(2.17), |
|||||||
(2.37), |
(2.38): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx (t) = |
U0(t) sin Ф0, |
U2(0 = |
|
U0(0 cos Ф0, |
|
||||||
|
|
|
|
Ц(5)=Ф(5Г) = Ф0, |
|
|
|
||||||
и*, (s, v) = о, |
(i |
или ; = |
1), |
y*2(s, |
v) = |
V(sT, |
v Т) |
|
|||||
U0 (sT) U0(sT + v Т) ’ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а д ) |
= |
j G (z) dz, |
Vl(t, |
т) = |
Т j G (z) G (z + |
т)~dz, |
(2.41) |
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
2 -6 5 |
33 |
что после подстановки в (2.39) приводит к следующему выраже нию для 1шрреля!ци.о|н1ной функции фс:
|
|
K<p{s, v) = b0v(s, v), |
(2.42) |
|
где n(s, v) = |
i'*22(s, v); |
|
||
b0 = |
b\2 = bn sin2 a + 622 cos2 a — b12sin 2a0 = |
|
||
1 |
00 |
T |
|
|
j1 |
K%(t, t) [coscorT + cos (2(j)Tt -f- (огт — 2a)] dtd x. |
(2.43) |
||
2АгТг |
||||
—00 0 |
|
|||
Изменение корреляционной функции во времени в ф-ле (2.42) определяется функцией v(s, v). Приняв в этой функции v = 0 , най дем дисперсию фс:
|
~sT |
|
л r sr |
1 - 2 |
|
o£(s)= b0T |
G2 (z) dz |
j' G (z) dz |
(2.44) |
||
|
_6 |
|
J |
Lo |
|
Коэффициент корреляции фазы синхроимпульса на основании |
|||||
(2.44) и (2.42) равен (v>0) |
|
|
|
|
|
ST |
|
sT |
|
|
|
f |
G(z)dz |
f |
G (z) G (z + v T) dz |
|
|
Г(*. v)= -h * -------- |
|
------------------ • |
(2.45) |
||
)• |
G(z) dz |
|
f G2 (z) dz |
|
|
В установившемся режиме имеем |
|
|
|||
|
оо |
|
|
|
|
|
f |
G (z) G (z + |
| v | T) dz |
(2.46) |
|
r(oo, v) = r0(v) = — |
|
f G2 (z) dz |
|||
|
|
|
|
||
Выражению для дисперсии фс в установившемся режиме мож |
|||||
но с учетом (2.42), (2.35), (2.36), |
(2.21) |
и равенства |
Парсеваля |
||
для импульсной реакции |
|
|
|
|
|
оо |
оо |
|
w |
|
|
j* G2(z) dz « |
2 j g2(z) dz — -2- j* k\(£>)d CO |
|
|||
придать вид |
|
|
|
|
(2.47) |
о% = о$(00) = ьо/Р. |
|
||||
|
|
||||
т. е. дисперсия в установившемся |
режиме при точной |
настройке |
|||
в Р раз меньше отношения помеха/сигнал |
на входе ВИРУ. |
||||
2.4. Резонансные УС с некоторыми типичными ВИРУ
ВИРУ в виде колебательного контура. Импульсная реакция ко
лебательного контура |
|
g (t) — щ exp (— Aa)*0 sin сo0t, |
(2.48) |
34
где Ай)*= о)о/2Q — декремент затухания; Q — добротность кон тура.
Колебательный контур представляет собой ВИРУ с симметрич ной частотной характеристикой. Сопоставляя (2.48) и (2.5), .видим, что
G (t) — со0 ехр (— Д(о*0, Фо(0 = 0, Ф(0 = ба сог^. |
(2 49) |
На основании (2.49) и (2.8) найдем функции Ui(t). Интегри
рование дает |
|
|
|
U, (t) == |
[е — ехр (— Дсо*0 (sin вДм*/ + |
вcos вДм*/)] |
|
|
1+82 |
, |
(2.50) |
U, (t) = |
2<^ [ 1 — ехр (— До*/) (cos еД(o*t — в sin еДа>*/)] |
|
|
|
1+ в2 |
|
|
где е = 6 м ыт/Дм* — обобщенная расстройка. |
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
Дсo*t = w0//2Q —■o)r t (1 -f 6J/2Q « |
jis/Q, |
|
то в соответствии с (2.17), (2.50) |
|
|
|
tg u (s) = |
« [1 — exp (— я s/Q) cos (ел s/Q)] — exp (— я s/Q) sin (ел s/Q) |
|
|
|
[1 — exp (— л s/Q) cos (вл s/Q)] + e exp (— л s/Q) sin (ел s/Q) |
’ |
|
откуда на основании известной формулы для разности двух арк тангенсов [18] имеем
и (s) = arc tg в— arc tg |
______ sin (ел s/Q)______ |
(2.51) |
|
exp (л s/Q) — cos (ел s/Q) |
|
При точной настройке (e= 0) |
фаза u(s) = 0 и математическое |
|
ожидание фс, как следует из (2.19), может быть представлено в виде
Ф0 (s) = arc tg в— arc tg |
sin (ел s/Q) |
«1- |
(2.52) |
|
exp (я s/Q) — cos (ел s/Q) |
||||
|
|
|
В установившемся режиме второе слагаемое равно нулю, по
этому |
(2.53) |
ф0 (оо) = arc tg в— ах. |
При точной настройке математическое ожидание фс постоянно и равно
Фо (*) = — “i- |
(2-54) |
Общее выражение для корреляционной функции фс даже в рас сматриваемом конкретном случае оказывается довольно громозд ким.
Для нахождения дисперсии фс в установившемся режиме об
ратимся к ф-ле |
(2.40). |
Входящие |
в |
эту формулу |
функции |
||
у*гДоо, 0) определяются |
соотношениями |
<(2.37), (2.10), |
(2.8) и |
||||
(2.49) и равны |
|
|
|
|
|
|
|
^i(°o. 0) = в'л |
|
22 (оо, 0 )— л 2 + |
в2 |
и;2(°°, °) = |
вл |
(2.55) |
|
4Q* ’ |
|
4Q |
|
4Q |
|
||
2* |
35 |