ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 0
Рис. 2.3. Влияние расстройки частот на математическое ожи дание фс
2.5. Количественные характеристики резонансных УС
Простейшими количественными характеристиками УС являют ся математическое ожидание и дисперсия фс. При решении мно гих задач, например при последовании помехоустойчивости систем связи в стационарных условиях, эти характеристики исчерпываю щим образом описывают УС. Вместе с тем, имеется круг задач, в которых знание моментов распределения фс недостаточно. Так, при сильных помехах возможны срывы синхронизма, при корот ких сеансах связи приходится учитывать время вхождения в син хронизм и т. п. Ниже уточнены применительно к резонансному УС данные в § 1.6 определения наиболее важных количественных ха рактеристик УС и приведена методика их исследования.
Время достижения синхронизма. Нормированное (т. е. измерен ное в количестве посылок) время достижения синхронизма резо нансным УС удобно определить как число посылок S0(<pi, ф2, P s ) , по истечении которых фс с вероятностью P s окажется внутри об ласти синхронизма (—фь ф2) (см. § 1.6). Величины Ps, фь ф2 вы бираются, исходя из требуемого качества работы приемника сис темы связи. Если, например, отклонения фс от идеального зна чения на ±5% длительности посылки не приводят к существенно му увеличению вероятности ошибки, то можно принять ф1 = фг= = 0,05-2я=0,1я. Вероятность Ps должна, очевидно, незначитель но отличаться от единицы, так что величина 1—Ps должна быть небольшой. В зависимости от характера переданной информации, по-видимому, можно требовать, чтобы 1—Ps= 1СИЧ-10-3 или что бы 1—Ps равнялась допустимой величине вероятности ошибки.
Величина 50= 5 0(фь фг, P s ) , названная в § 1.6 гарантированным временем достижения синхронизма (ГВД), является решением уравнения
40
ф> |
|
Ps = f доф(лс, s)dx |
(2.68) |
—ф» |
|
относительно неизвестного s. Здесь w(f(x; s) |
— одномерная плот |
ность вероятности фс на s-й посылке.
Следует заметить, что ур-ние (2.68) может и не иметь реше ния. Тогда можно считать, что синхронизм в рассматриваемом смысле недостижим, или воспользоваться каким-либо другим оп ределением времени достижения синхронизма (см. ниже).
Если 1—Ps<Cl, то синхронизм будет достигнут при не очень малых s, когда плотность вероятности фс можно считать нор
мальной |
|
1 |
|
[*— фо (s)]s |
|
wm(х, |
|
|
(2.69) |
||
s) — ——------- exp |
|
°l(s) |
|||
ф |
|
У2л аф (s) |
|
|
|
С учетом (2.69) |
ур-ние (2.68) принимает вид |
|
|||
1 - P s -I1 |
Фг — Фо (s) |
+ |
Ф1 + Фо (s) |
(2.70) |
|
о«р(*) |
‘- F( om(s) |
|
|||
где F(x) — функция Лапласа.
Уравнение (2.70) решается, например, графически. Для этого нужно по результатам § 2.4 построить график функции
/(*)= |
1— F |
! Фг |
Фи (s) |
, v I |
Ф1 + Фо («) \ |
|
|
\ |
Oq, (s) |
F ( |
«,*> "") |
и найти решение So.yp-ния (2.70) как абсциссу, соответствующую
ординате 1—Ps= f ( S 0). |
|
частотными |
При точной настройке ВИРУ с симметричными |
||
характеристиками математическое ожидание фс, |
как видно из |
|
(2.26), равно нулю. Если, кроме того, область |
интегрирования |
|
расположена симметрично относительно фо = 0, т. |
е. |
если <pi=<p2. |
то вместо (2.70) получим |
|
|
0 ,5 ( 1 - Я 5) = 1 - Р ( ф1/«7ф(з)). |
|
(2.71) |
Задание величины Ps в этом случае эквивалентно заданию ар гумента гР функции Лапласа, который однозначно связан с Ps ус ловием
P ( Zp) = l - 0 , 5 ( l - P s) = 0 , 5 ( l + P s) .
«Физически» гР численно определяет половину области син хронизма, если в качестве единицы измерения принять величину среднеквадратичного отклонения стф(5). Задача при этом на осно вании (2.43) сводится к нахождению верхних пределов интегри рования s = S 0, удовлетворяющих условию
S |
|
|
jG*(!/T) dy |
Оф (s) |
|
о |
(2.72) |
|
|
|
<4(°°)’
G (y T )d y
Это уравнение, так же как и (2.70), можно решать графиче ски. Кривые, отражающие изменение дисперсии в переходном ре жиме для УС с некоторыми типами ВИРУ (см. табл. 2.1), приве дены на рис. 2.4. Эти кривые построены в разном масштабе по оси ординат. Масштаб ns/Q соответствует одинаковым добротно-
Рис. 2.4. Изменение дисперсии фс
резонансного |
УС |
в |
переходном |
|
|
режиме: |
|
|
|
1 —одиночный |
колебательный контур; |
|||
2 — последовательно |
соединенные не |
|||
связанные контуры; |
2' — два |
контура с |
||
критической связью; |
(1), |
(2), |
(2')— то |
|
же, что /, 2, 2', если масштаб по оси ординат соответствует 2s/P
стям всех контуров. Масштаб 2s/P удобен гари одинаковых энер гетических полосах ВИРУ и, следовательно, одинаковых сг£ (оо).
Для одиночного колебательного контура и системы двух контуров с критической связью кривые в обоих масштабах совпадают, так
как в этих случаях n/Q = 2P. Для |
двух последовательно включен |
|
ных контуров n/Q =4/P и кривые |
(2) и 2 |
различны. |
Как видно из (рисунка, гари (<pi/zp)2/b0, |
равном Т,5-j-3, переход |
|
ный процесс для всех ВИРУ примерно одинаков при одинаковых полосах пропускания.
Для ВИРУ в виде одиночного колебательного контура решение ур-гаия (2.72) можно полудить и аналитически, так как в этом слу
чае |
правая часть уравнения в соответствии |
с (2.59) |
равна |
|
0,5nQ-1cth(ns/2Q), откуда |
|
|
|
|
|
— Arc th |
<Pi + 4 аф(°°) |
(2.73) |
|
|
Ф? — 4 |
а1 (°°) |
||
|
|
|
||
рез |
Иногда удобно определить время достижения синхронизма че |
|||
отношение т — аф (5т )/о ф (оо) среднеквадратичных |
отклоне |
|||
ний фс в момент, когда переходные процессы в УС можно считать закончившимися и в установившемся режиме. Такое определение к тому же применимо в тех случаях, когда время достижения син хронизма в рассмотренном выше смысле не существует.
42
Задание величины т можно трактовать как задание отноше ния qpijzP величиной аф (°о)т, что позволяет для ВИРУ в виде ко
лебательного контура формально воспользоваться (2.73). При этом получаем весьма простую формулу
Sm = 22Arc th тг = -5- In |
. |
(2.74) |
ял тг— 1
Вероятность срыва синхронизма. Вероятность срыва синхро низма Рс в разомкнутом УС можно определить как отнесенную к длительности посылки среднюю частоту выбросов за границы об ласти (—я, я). Это позволит воспользоваться для нахождения Рс результатами исследований выбросов фазы узкополосного случай ного процесса [126].
Будем считать, что выходной сигнал ВИРУ представляет со бой сумму гармонического сигнала и узкополосной нормальной помехи. Под сигналом будем понимать математическое ожидание выходного процесса ВИРУ (предполагается установившийся ре жим работы УС), а под помехой — флуктуирующую компоненту этого процесса. При получении оценочных соотношений помеху можно считать нормальным стационарным процессом со спек тральной плотностью, близкой к спектральной плотности белого нормального шума, пропущенного через ВИРУ. Отношение квад рата амплитуды гармонического сигнала к дисперсии помехи об ратно величине дисперсии фс и для ВИРУ с симметричными от носительно соо частотными характеристиками равно в соответствии с (2.47)
1 Ю$ = Р1Ь0, |
(2.75) |
где Р — отношение частоты настройки ВИРУ к полосе его пропу скания.
Ограничиваясь для простоты случаем точной настройки ВИРУ, имеем на основании выражения (14.39) работы [126] ‘)
|
Рс — R [1 |
F (1/СТф)] > |
(2-76) |
|
где F(x) — функция Лапласа; |
|
|
||
|
R = |
2/о)0 КТ/Асо; |
(2.77) |
|
|
0 9 |
|
0 0 |
|
1= |
j Q2/;2(Q)dfi; |
До = J k\ (Q) d Q; |
|
|
—00 |
|
--00 |
|
|
Q= w—шо, &о(со—oio) = /е(со) |
— расстройка частот и нормирован |
|||
ная передаточная |
функция |
ВИРУ; Дсо — полоса |
пропускания |
|
ВИРУ [см. (2.35) |
прий(ш0) = |
1]. |
|
|
Величина под |
знаком радикала представляет собой абсолют |
|||
ную величину второй производной огибающей коэффициента кор реляции помех на выходе ВИРУ при нулевом временном сдвиге.
Формулы |
(2.76) и |
(2.77) справедливы |
при |
условии, что k0(Q) —)* |
*) Из |
(14.38) той |
же работы можно найти |
Рс |
и при неточной настройке. |
43
четная функция и что выходной процесс ВИРУ дифференцируем. Для последнего достаточно, чтобы интеграл I сходился.
Найдем вероятности срыва синхронизма в УС с ВИРУ в виде одного, двух и п последовательно включенных колебательных кон туров. Для удобства сравнения выразим величину R всех ВИРУ через узкополооность Р. Тогда три равных Р обеспечивается ра венство значений а ф сравниваемых ВИРУ и можно ограничиться
сравнением величин R.
Начнем с рассмотрения ВИРУ в виде цепочки из п последова тельно соединенных колебательных контуров. При п ^ З модуль передаточной функции ВИРУ хорошо аппроксимируется гауссовой кривой [39]:
£0(й)1= ехр( — 2лсуч, (2.78)
где Q — добротность одиночного контура. Выполнив интегрирование, находим
А= (со0/2Q ) V ^ , /„= К /1 бО3) ! ^ 3,
откуда |
___ |
(2.79) |
Rn = |
(\/Q)V\l2n =(1/Р)уг2/я. |
Как видим из (2.79) и (2.76), вероятность срыва синхронизма обратно пропорциональна узкополосности ВИРУ и даже при от
сутствии сигнала (сгф —>-сэо) равна Рс= \/ Р У 2л, т. е. достаточно мала. Если же с ^ ^ О Д что соответствует 5% длительности посыл
ки, то Pc^!3 -110 4Р\ при Я =100 это составит 3- 10~в. Заметим, что при заданной полосе пропускания ВИРУ (вероятность Рс не зави
сит от п, если п (больше 3.
Обратимся теперь к ВИРУ в виде двух последовательно вклю ченных колебательных контуров, для которых
ft„(Q)= fl-H Q W o o )]-1.
Выполнив требуемое для нахождения Аш и / интегрирование [41], находим
Aa>2=(jt/4Q)<B0, /2=(п/16) (соЗ/Q3),
откуда
R2=\/Q=4/nP. (2.80)
Таким образом, при одинаковой полосе пропускания Дш веро ятность срыва синхронизма в УС с двуконтурным ВИРУ пример но в 1,5 раза больше по сравнению с многоконтурным.
Промежуточное положение занимает ВИРУ в виде двух кон туров с критической связью, для которых
R'2 = 2У~ЩпР. |
(2-81) |
При рассмотрении ВИРУ в виде одиночного колебательного контура необходимо особое внимание обратить на требование
44
дифференцируемости помехи на выходе ВИРУ. Так, если в после довательном контуре выходное напряжение снимается с катушки индуктивности, то при Q—>-оо модуль нормированной передаточной функции &o(Q)->-Q'~1 и помеха представляет собой недифференцируемый процесс. Это значит, что при исследовании срывов синхро низма аппроксимация помехи на входе ВИРУ белым шумом ока зывается слишком грубой идеализацией и необходимо учесть, на пример, реальную форму спектра этой помехи. Тогда под fe20(£2) следует понимать произведение квадрата передаточной функции ВИРУ и энергетического спектра помехи. Если в последователь ном колебательном контуре выходное напряжение снимается с конденсатора, то процесс оказывается дифференцируемым, так как в этом случае квадрат передаточной функции
2(о0 -f- G —1 w = QQ со«
при Q-»-oo убывает быстрее, чем Q-3. Функция k20(Q) близка к четной; однако общепринятая аппроксимация k%(Q) = (l-t-i^Q2) -1 в данном случае непригодна, так как плохо передает характер функции при Q—>-оо. От этого недостатка свободна аппроксимация четной функцией.
G* (4 а > 2 + |
Q 4} |
кШ): 1+ ---- ----------- |
-Q2 |
0)„ |
|
которая хорошо передает значения передаточной функции как в полосе пропускания, так и при больших Q.
Интегралы, определяющие Аы и I, элементарным путем сво дятся к табличным, вычисление которых показывает, что
A(Oj= mo0/2Q, / 1 = jkoo/Q2-
В этих выражениях величины порядка Q~2 считались прене брежимо малыми по сравнению с 1.
На основании (2.77) находим
Ях = 2У Щ = 4/яVP- |
(2-82) |
Формула (2.76) с учетом (2.82) дает, по-видимому, несколько завышенную вероятность срыва синхронизма, поскольку на вели чину ,Ri должна влиять неравномерность спектра помехи на входе ВИРУ. Однако учет этой неравномерности не отразится на поряд ке величины Ri. Таким образом, вероятность срыва синхронизма
в УС с одноконтурным ВИРУ примерно в \' Р раз больше, чем в УС, с двухили многоконтурным ВИРУ.
Итак, можно считать, что двухконтурное ВИРУ близко к оп тимальному, так как оно дает заметный выигрыш по вероятности срыва синхронизма по сравнению с одноконтурным, в то же время практически не уступает значительно более сложным многокон турным ВИРУ.
45