Файл: Трофимов, А. М. Основы аналитической теории развития склонов (на примере осыпных и делювиальных).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
§ 4. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ДЕНУДАЦИИ
Линейный случай
Исходя из вышеизложенного и полагая, что природный процесс включает в себя весь комплекс факторов, соотноше ние которых, правда, может меняться в силу тех или иных обстоятельств, целесообразно рассмотреть развитие склонов по данной теории в обобщенном виде (Митин, Трофимов, 1964).
Соответственно этому вводятся коэффициенты і, Р и і (для каждого из трех случаев). Введение коэффициентов не сколько упорядочит общую теорию, ибо учтет, что в общем развитии склона процент пропорциональности интенсивности
денудации высоте, к примеру, может |
колебаться в зависи |
||
мости от колебания других соотношений. |
|
||
С учетом последнего, обобщенная |
формула будем иметь |
||
вид |
|
|
|
-âL. = a + |
Р3, + Т -^ -. |
(1.4.4 — 1) |
|
Найдем решение уравнения |
(1.4.4 — 1) при |
начальных усло |
|
виях |
|
|
|
Уы.о“ Я *)- |
|
(1 .4 .4 -2 ) |
|
Уравнение (1.4.4— 1) является линейным неоднородным диф ференциальным уравнением в частных производных. Решение его распадается на два случая:
1. М О ,
2 . р = 0 .
1. ß =f=0 .
Введением неявной зависимости
<Р{у, t, х) = const |
(1.1.4 — 3) |
сводим уравнение (1.4.4 — 1) к однородному. Но |
в этом урав |
нении функция у является независимой переменной. |
|
Искомое уравнение есть |
|
(а + Ру) ср^ + <р, — те, = о. |
(1.4.4 — 4) |
Последнее легко решается с помощью сведения задачи к ре шению системы обыкновенных дифференциальных уравнений *, общий интеграл которых дает решение уравнения (1.4.4 —4) в виде
? = <р[* + — • у ІП ( у + |
— *] = const. (1.4.4—5) |
* См., например: В. И. Смирнов (1954).
125
Отсюда
^ = ехр р - Ф ^ + ^ + Р^] —j , |
(1.4.4 6> |
где Ф — произвольная функция от ( t + —^ .
Используя начальное условие (1.4.4 — 2), получим решение задачи Коши для уравнения (1.4.4 — 1) в виде
.У = [/(Т* + *)1ехр[ОД — -7 О — ехрІОД). |
(1 .4.4-7) |
р |
|
2. ß = 0. Решается аналогично предыдущему. Общее ре шение записывается следующей формулой:
y = at + f ( x + it). |
(1.4.4 —8) |
Анализируя формулы (1.4.4 — 7; 1.4.4 —8) приходим к вы воду, что изменение формы склона сводится к замене, вопервых, аргумента на (л: + yt). Таким образом, график будет смещаться вправо или влево по оси х на величину |?| А Так как склон отступает в сторону водораздела, то естественно принять 7 с отрицательным знаком.
Во-вторых, множителем перед функцией f ( x + 7О является величина ехр[3/]. Очевидно, что высота склона не может увеличиваться в результате денудации, так что ß < 0 .
Второй член справа в формуле (1.4.4 — 7) должен быть отрицательным так как смещение профиля склона может происходить только в сторону уменьшения у. Отсюда сле дует принять а < 0 .
Итак, все коэффициенты а, ß, 7 являются отрицательными величинами. Заметим, что в случаях линейной теории они принимали значения (соответственно)
1) |
- 1, |
0 , |
0 |
2) |
0 , |
- 1, |
0 |
3)0 , 0 , - 1 .
Нелинейный случай
Так же, как и в линейном случае наше обобщение будет заключаться в том, чтобы рассмотреть взамен (1.4.2-- 1) уравнение
|
|
|
(1.4.4 --9) |
|
|
)2-(а+Ру + 71 ь Г ). |
|
Уравнение (1.4.4 — 9) является нелинейным |
дифференциаль |
||
ным уравнением в частных производных. |
|
||
Решим задачу Коши |
для начальных условий (1.4.4 —2), |
||
предварительно |
(как и в |
линейном случае) |
разбив решение |
на два случая: |
ß =£0 и ß = 0 . |
|
|
126 .
l . p ^ |
приступить к решению, |
произведем |
замену |
|
Прежде чем |
||||
|
* = |
Ѵ=а± . + у |
|
|
|
|
Р |
|
|
тогда уравнение |
(1.4.4 —9) |
перепишется |
следующим |
образом |
% - Ѵ 1 + і т ; Т { ѵ + щ |
<‘-4-4- 9а> |
где X= a/ß. |
|
При решении уравнения (1.4.4 —9а) наиболее удобно при
менить |
преобразование Лежандра |
(Курант, |
Гильберт, 1951). |
||||
і |
|
|
9t» _, |
|
9t» |
|
|
|
|
|
Ь х |
|
|
Эо» |
|
|
|
X |
8о» |
t' |
|
(1 .4 .4 -10) |
|
|
|
«П ’ |
|
8т] |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
W + v = ix + rjt'. |
|
||||
В новых |
переменных |
уравнения |
(1.4.4 —9а) |
будет иметь вид |
|||
|
9о» |
ч |
9а» = w + |
Ѵ \ |
X?. |
(1 .4 .4 -11) |
|
|
1Г + |
ц |
|
+ 52 |
|
||
Последнее является линейным неоднородным уравнением в частных производных, метод решения которых был нами
использован |
выше. |
|
|
|
|
|
Общее решение (1.4,4— 11) дается формулой |
|
|||||
® = $ / ^ _ ( X i ; - T ))ln& -7jln |
(1 -К К Г + Т 2), |
(1 .4 .4 -12) |
||||
где / — является производной функцией от (S/т»j). |
и подста |
|||||
Из этой формулы методом |
дифференцирования |
|||||
новки можно |
найти |
|
|
|
|
|
x = f $ h ) + —/ Ф/ ч) —^inS —( ь — |
5 / |
--------- - Kl + S2; |
||||
|
П |
|
\ |
I + V 1 + £2 |
||
|
|
|
|
|
|
(1 .4 .4 -13) |
У = |
^ Г Ш |
+ \ п 1 - \ п ( \ |
+ \/Т+1*); |
(1 .4 .4 -1 4 ) |
||
|
т |
|
|
|
|
|
® = |
------— |
3 ^ -— |
г - - ( « |
- ч). |
(1 .4 .4 -15) |
|
|
(1 + Ѵ і + «*) Ѵ Т Т І 2 |
|
|
|
||
Решение задачи Коши получим следующим образом: зная |
||||||
начальное условие (1.4.4 —2) |
и уравнение (1.4.4 — 9а), можно |
|||||
найти D; bvßt-, b v ß x |
в точке |
t' = 0. |
|
|
||
127
Таким образом, начальные условия |
(1.4.4 — 2) при t' = О |
запишутся |
|
y = f o ( x ) , |
(1.4.4— 16а) |
^ ~ / і ( * ) , |
(1.4.4 — 166) |
" / üW , |
(1 .4 .4 - 16в) |
где / 0; f x\ / 2 — получаются с помощью |
(1.4.4 —2) дифферен |
цированием и подстановкой.
Из этих уравнений можно х, £, у выразить через функцию
от ЬҢ. |
|
|
Принимая |
в уравнения (1.4.4— 13; |
1.4.4— 14; 1.4.4 — 15) |
j' = 0; |
<о = Л ( ^ ) ; W e |
(to); -ч- h m |
(последние четыре равенства получены с помощью системы уравнений (1.4.4 — 16)) можно найти функцию /, а с помощью ее и решение нашей задачи
|
|
|
|
|
|
|
У ) , |
|
|
|
|
где функция |
<р получается исключением |
переменных S и у из |
|||||||||
уравнений |
(1.4.4— 13; 1.4.4 — 14; |
1.4.4— 15). |
|
||||||||
П р и м е р . |
Возьмем |
случай |
начальной линейной |
зависи |
|||||||
мости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = ах; |
t = 0. |
|
|
|
|||
Произведя |
несложные вычисления, получим решение |
|
|||||||||
У = |
— In а + — + — ln ak |
+ — ln |
/ |
2é-exp [ßf] |
\) |
||||||
\ |
£2 — exp 12ßf] |
Л |
|||||||||
|
|
ß |
|
ße |
ß |
|
ß |
||||
|
|
|
/ |
2&-exp[ßf] |
\ |
_'a_ |
|
(1 .4 .4 -1 7 ) |
|||
|
|
|
\ k * - e x p [ 2 ßf] |
J |
ß ’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
где k = (1 4- V \ |
+ a?)ja. |
|
|
|
|
|
|
||||
Анализируя |
данный пример, а также |
|
формулу (1.4.4 — 7), |
||||||||
можно сказать, |
что |
величина — |
показывает время |
„жизни* |
|||||||
склона. Другими словами, тангенс угла наклона по истечении
этого времени уменьшается |
по крайней мере в „ет раз. |
2. ß = 0. |
|
Уравнение (1.4.4 — 9) для |
этого случая запишется |
(1 .4 .4 -1 8 )
S - j / ‘ +(£)'(■ + ’ с)-
Последнее будем решать с помощью теории характеристик.
128
Характеристическая система для данного уравнения будет
иметь |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x : d t : d y : d p : dq = ■ |
— \р(л + т ] + (1 + />2)т ]: - 1 : |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ѵ і + Р г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ — Р— - (Г + *Р + 2тр - |
д : 0:0, |
|
(1.4.4— 19) |
||||||||
|
|
|
Ѵ і + р2 |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
||
где р — Ьу/Ьх; q = Ь ѵ / Ы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение |
этой |
системы представится так |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Р = |
Po't |
|
|
|
|
|
(1.4.4 — 20а) |
|
|
|
|
|
|
|
Я = |
Яо\ |
|
|
|
|
|
(1 .4 .4 -206) |
|
х = |
— - ■1_ |
|
[р0 (< 1 + Wo) + |
(1 + />§)]t + |
х0; |
(1.4.4 - 2 0 в ) |
||||||||
|
|
|
1^1 + |
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
а - яЬт |
+ У о- |
|
|
|
(1.4.4 — 20е) |
||||
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- Ѵ Т 7 7 о |
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя начальное условие |
(1.4.4 —2), |
зададим |
началь |
|||||||||||
ную полоску |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(0, *о) «=/(■*<>); |
|
|
|
(1.4.4- 2 1 а ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .4 .4 -216) |
|
|
|
|
|
|
|
Р о = Г ( Р о ) \ |
|
|
|
|
(1.4.4 -2 1 в ) |
|||
|
|
|
Яо *= |
К і |
+ |
[ / ' |
( * о )] 2 - [*т+/ |
W |
] ; |
|
(1.4.4 — 21г) |
|||
|
|
|
|
|
|
/ = |
о. |
|
|
|
|
|
(1.4.4 -2 1 д ) |
|
Тогда |
решение можно представить |
системой |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
У=* |
а — \ Р |
(-Ур)!3т |
|
|
|
|
|
(1 .4 .4 -2 2 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
} /+ /( jc 0); |
|
|
||||||
|
|
|
|
К і + [ / ' (*о)12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
X * * — |
|
|
1- ■- |
{/' (JC0) la + f (*o)T l - d + l / ' |
С*Ь)]*Т)} t J r X 0. |
|||||||||
|
Kl + [/'Uo)l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .4 .4 -23) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для того, чтобы решение нашей задачи Коши было един |
||||||||||||||
ственным, |
необходимо, |
чтобы определитель |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
н _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8t |
8 х0 |
8 х0 |
8t |
|
|
|
|
|
был равен |
нулю (при у ф 0). |
|
|
случае Д = — 1. |
|
|||||||||
Легко подсчитать, что в нашем |
и под |
|||||||||||||
Разрешая |
уравнение |
(1.4.4 — 23) |
относительно х |
|||||||||||
ставляя |
в уравнение |
(1.4.4 — 22), |
получим |
искомое решение. |
||||||||||
д-316.—9 |
129 |