Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

УДК 517.948.*

А. Н.

Ф и л а т о в . Асимптотические методы в теории

дифференциальны?

и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент,

Изд-во .Фан* УзССР

1974.

Библ. — 151 назв., стр. — 216.

У т верж дено к печати

Ученым советом ордена

Трудового

К расного Знамени

Института кибернетики

с ВЦ ,

Отделением механики

и процессов управления АН У зС С Р

Ф

0223—235

9о 74

©

Издательство „Фан“ УзССР, 1974 г.

355 (06) — 74

1.

Множество

L

элементов х, у, z,

... называется

л и н е й ­

ным

(или в е к т о р н ы м )

пространством,

если:

а)

для любых двух элементов х и у

из L однозначно опре­

делен

третий элемент zeL,

называемый суммой элементов

х н у

и обозначающийся

через х-\-у (т. е. z =

x Jr y )’,

б) для любого элемента х из L и любого числа X определен

элемент XxeZ.

Операции сложения элементов и умножения их

на

число

должны удовлетворять следующим требованиям:

1)

х + У = У + х;

2 )

(х + у) + z

= х + (у -f z);

3)

существует

элемент

BeL*) такой,

что х + б = х

для лю­

бого xeL;

через

4)

для каждого х существует элемент, обозначаемый

— х, такой, что х

х

)

= б;

5)

1 -х = х;

6) X (рх) = (Хр) х;

7)

(X + р) х =

Хх +

рх;

Хх +

+ vz + •••+

юте; = 0

возможно только

при X =

у = v = •••=

ш= 0.

5. Линейное

пространство

L

называется « - ме р ным , если

в нем можно найти « линейно

независимых элементов, а любые

« -f- 1 элементов этого пространства линейно зависимы.

6. Если в линейном пространстве L можно найти любое число

линейно независимых элементов, то

L называется б е с к о н е ч н о ­

венным «-мерным линейным пространством,

обозначаемым

далее

через R n ,

элементами

которого

являются все возможные наборы

х 2, ...

, х п )

из « вещественных чисел.

Каждый такой

набор

называется

в е к т о р о м

(точкой)

пространства R n и обозначается

одной буквой,

например, л::

X = { X v

Х 2 , ... ,

Х п ] .

Числа x v

х 2, ...

, х п

называются

координатами

вектора л:.

Сло­

жение векторов

х =

{

x v х г ...

,

х п )

и у =

{ у {,

у2,

... ,

у п )

в R n

выполняется согласно

правилу

х +

У — { +

Ух>•••’

х п+ Уп} •

Вектор х = [ х

,

х 2,

... ,

х п j

умножается на

вещественное

число

X в R n следующим образом:

Хх =

{ Xxv

Хх2, ...

, Ххп } .

Векторы

е х =

{ 1 , 0,

...

, 0 }

,

е 2 = [ 0 ,

1 ,

0, ....

0 } ,

е п =

{ 0,

0,

...

, 0,

1 }

образуют

«

линейно

независимых

векторов

в

R n .

Векторы

х = { x v Х2, ... ,

х л }

и у = { y v

У2, ... , у п}

из

L,

по

определе-

нию, равны тогда и только

тогда, когда х.

= у.

,

i — 1 , «.

норму. Напомним, что нормой

вектора х =

[ х

, х

, ... ,

х п} на­

зывается

действительное число,

обозначаемое

через

||а:||,

такое,

что

х = 9,

1) |л: |= 0 тогда и только

тогда,

когда

2 ) |х + у |< |* |+ IIУ |,

3) 1М | = |л| IMI.

Следовательно, всегда ||л:||^0.

Обычно в R n вводится

какая-либо

одна из

следующих трех

норм:

Г п

11 Hi

=

1 /

2

4

-

f

л=1

\\х\\п = m a x J jc J ,

й= 1, п

II Х 1|ш=

I Xk |•

ft=l

Легко показать,

что эти нормы связаны

между

собой неравен­

ствами

1М 1п ^

1М 1ш <

1 ^ 1 1

l!i

,

II-« IIIII

< V IlWx WiOlWIi, .

*11,

< K / i| W III< V r* l l * l |II1

•

Отсюда

следует,

что

если

последовательность

векторов

{ х п} ,

п = 1 , 2 ,

... сходится,

к вектору х 0 в смысле некоторой

нормы,

она сходится к этому

вектору и в смысле

любой другой

нормы.

В дальнейшем

предполагается,

что

в R

введена какая-либо из

указанных выше трех норм. Индекс у норм опускается.

10. Пусть

А и В — матрицы

вида

а и

а 1 п

А =

Ы

-

в =

а п!

а.пп

По определению, матрицы А к

В

считаются равными тогда и

только тогда, когда a tj = btj, i =

1 ,

я, у = 1 , п.