Файл: Системы автоматического и директорного управления самолетом..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
Так как т — величина переменная, то интересующее |
нас собы |
|
тие состоит из бесконечного количества реализаций. |
Две из них |
|
|
4 |
|
V |
t d v |
|
?! § [Работа элемента 1 |
|
|
У SjX |
|
|
^ \Pa5oma элемента 2 |
|
|
V |
d z |
|
i a! fРабота элемента 7 |
А |
|
уJ |
_______ |
|
§ %\РаВата элемента 2 |
|
|
Рис. 3. 9. Схема реализаций отказа |
системы, состоящей |
|
из двух элементов
графически представлены на рис. 3.9. В дальнейшем эти реали зации для компактности изображаются на одном рисунке
(рис. 3. 10).
^_________ ъ_________
v, dv
РаВота элемента 1
Обязательный отказ
РаВота элемента2 -------------------------- -----------
Необязательный отказ
Рис. 3. 10. К реализации отказа системы из двух эле ментов
Математически вероятность указанных двух реализаций интересующего нас события q\ выражается равенством
q\ = P (x<Ti^.x + dx)P (Т2> х ),
где Т\ и Т2— время безотказной работы элементов 1 я 2 соот ветственно. На основании (3. 1), (3.5) и (3.9) будем иметь
Р(х <^T1^C%Ar dx) = dQ1(x) = f l {x)dx= — Я' (x)dx,
Я(7’2> т) = Я 2(т).
В результате получим
q1= — P[(x)P2{x)dx.
Так как параметр т может меняться от 0 до t, то окончательно будем иметь
Q i = - $ P[{x)P2{x)dx. |
(3.49) |
о |
|
119
Тогда для п элементов при условии, что первым отказывает эле мент 1, будем иметь
P [ ( x ) P ^ n(x)dx, |
(3.50) |
о |
|
где Р2-П записывается аналогично (3. 19): |
|
Рг-п(х )= П P i№- |
(3-51) |
г =2 |
|
Для случая, когда имеются четыре элемента 1, 2, 3 и 4 с плот ностями распределения времени безотказной работы соответ-
dm, |
Обязательный |
|
. Работа элемента I |
|
|
Работа элемента Z |
1 |
АЛ |
Т 2 |
\/ d v z |
/ / |
Работа элемента / |
|
|
Работа элемента 2 -------------------------- |
ХД><) |
-------------- |
Необязательный отказ
Рис. 3. 11. К реализации отказа системы из четы рех элементов
ственно /2(0 , Ы 0 и Ы 0 >определим вероятность того, что за время работы t элемент 1 откажет первым, элемент 3 откажет после элемента 1. Состояние элемента 2 не играет роли после отказа элемента /, а состояние элемента 4 не играет роли после
отказа элемента 3. |
|
1, |
бу |
Приняв во внимание, что первым отказывает элемент |
|||
дем иметь |
|
|
|
Q2= |
— j P;(Ti)P2_4(ti)rfti. |
(3.52) |
|
|
о |
|
|
Для вычисления вероятности Я2-Д ti) вновь применим |
фор |
||
мулу (3.50). Из рис. 3. |
11 легко видеть, что |
|
|
P4-iixi) = |
(3-53) |
||
|
ч |
|
|
120
Подставив (3.53) в (3. 52), получим
|
/ |
|
t |
|
|
|
= |
J |
fTi)/^2(Ti) f P^(x2)P4(x2)dx1dx2 |
(3. |
54) |
||
или |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
(3. |
55) |
Q2= j |
j |
^('Г 1)Я2(т1)Р ;(т2)Я4(т2)а,т1 а,т2. |
||||
|
*1 |
|
|
|
|
|
Пусть теперь имеется 2 k |
элементов; 1, 2, 3 ... |
2 k. Требуется |
||||
определить вероятность того, |
что за время работы |
t |
последова |
|||
тельно откажут элементы с нечетными номерами в порядке воз растания номера; состояние каждого из элементов с четными номерами не имеет значения после отказа элемента с предше ствующим нечетным номером.
Искомую вероятность можно определить с помощью много
кратного |
использования |
формулы |
(3.50). Окончательно |
будем |
|
иметь |
|
|
|
|
|
= |
j |
Р ' М Р М j Рз ( Ъ) Р*( * а) j Р ь ( * з ) Х . |
|
||
|
0 |
|
тд |
i2 |
|
|
Х р л хз) |
f ..... |
f РшХ хк ) Р ^ к ^ х ^ х 2..Мхк. |
(3.56) |
|
Выражение (3.56) справедливо для любого закона распределе ния времени исправной работы элементов. Для наиболее часто используемого экспоненциального закона надежности формула (3. 56) запишется в следующем виде:
= |
.....V |
-1 |
j е-<х‘+х*>т* J “( ^3+^4) т2X |
|
||
X Г |
... f |
е |
(X2ft-i+x2ft>tft^r1fl'T2...r/tft. |
|
(3.57) |
|
i |
|
4 - i |
|
|
|
|
Для удобства нахождения решения применим к формуле пре |
||||||
образование Лапласа [12]: |
|
|
|
|||
<?*(«)= |
____________________________ |
(3. 58) |
||||
s (s + Xyo)(s + Xjh)—4s + |
1)1 |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
П ^2:-l |
|
|
или |
|
Qk(s) = -----т д -------------- |
|
|
||
|
|
|
|
s Ills - Xjn) |
|
|
|
|
|
|
1-0 |
|
|
121
где s — оператор,
2ft |
|
'Vi ■ v v |
(3.59) |
/ = 2 / + 1 |
|
При неравных корнях знаменателя B(s) выражения (3.58) обратное преобразование Лапласа для Qh(s) будет иметь вид
к |
л2<-1 ^ |
sil |
|
П |
B. {Sl) |
(3. 60) |
|
i - 1 |
___о |
(Si) |
|
1=0 |
|
|
где si = —‘ki, т. е. /-й корень знаменателя функции (3.58); B'(Si) — производная знаменателя в точке s,-.
Принимая во внимание, что sy— 0, окончательно имеем
|
П ^2i—1 |
1 |
|
a кУ0/ |
|
Q k ( t ) |
h-1 |
|
ft- 1 |
||
|
i-1 |
|
П Xy; |
|
( — ^уо) П (Ху,- — Xy0) |
|
- |
1=0 |
|
i=i |
|
|
|
|
|||
|
ft-1 |
|
|
№~ху1* |
|
+ |
\ у |
j |
1-1 |
|
ft-1 |
|
1=1 |
( — Х у / ) П ( Х у , - — |
П (Ху,-— ^yi) |
||
|
|
|
i'=0 |
|
1=1+1 |
-x■ai-D* ft—2
( ~ Ay ( k - l ) ) П (Xji;— X
1=0
Из этого общего выражения нетрудно получить частные слу чаи, соответствующие различным к. Так, при &=1
*•(/0 — |
'-yi— |
|
и |
Qi— |
е |
Уй ! |
(3.62) |
|
при k = 2 будем иметь |
|
|
куо |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
— \ |
+ *2+ '-3 + |
^41 |
Nl — ^'3 "I- |
\ 1/2• |
|
|||
Q2— |
е |
1т‘ |
|
|
|
~ХУ1* |
||
(—Ху0) (XV1 — Х(/0) |
( — ^-</l) (Хуо — |
|||||||
О-УО^У! |
||||||||
Аналогично при k = 3 получим |
|
|
|
|
|
(3. 63) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
^уо—''•1 + h + ^3+ |
^-4 + Къ+ V,; |
|
|||||
^ Д ^ 'З + ^ + ^ + ^в! |
ХУ2= Х5 + |
Хв; |
Kysz |
|
||||
|
1 |
|
|
. |
\ t |
|
|
|
Qg-- 3 5 |
|
|
е ~ |
хуо‘ |
|
|
||
^У0^У1^У2 |
( — ^УО) Н у 1 — |
Хуо) |
( X.t/2 — |
Хуо) |
||||
V |
||||||||
|
|
|
|
У2 |
(3. 64) |
|||
+ ■ |
|
|
|
|
|
|
||
(~^У l) (Ьуо — byl) Ну2 — Хуо |
(— Ху2) (Хуо — Ху2) (Ху! — Ху2) |
|||||||
122