Файл: Системы автоматического и директорного управления самолетом..pdf

Очевидно, выражение (3.56) справедливо для любой реали­ зации отказа системы, а не только для обобщенной. В качестве примера в табл. 3. 2 приведены формулы, описывающие вероят­ ности <7ь </2, • ■•, Яи конкретных реализаций отказа системы, представленной на рис. 3. 8, и вероятности Q\—Q4 обобщенных реализаций. Воспользовавшись формулами (3. 62) — (3.64), не­ трудно убедиться, что выполняются следующие равенства:

Qi — <7i + <72 + '?3 + ‘74 + <75; Q‘i = Яъ~\~Ят^г Яв'

Q3r=<79_b 9 io _r<7ii~b*7i2~b<7i3>

Общая вероятность отказа рассматриваемой системы будет равна

Qc = Ql + <22+ Q3+ Qi'

Полученные интегральные формулы справедливы и для слу­ чая, когда в системе с резервированием замещением условия работы резервных элементов до их включения в контур управ­ ления и после включения различны. Математически это выра­ жается в различии характеристик надежности таких элементов до и после момента их включения в контур управления. Так, для системы, изображенной на рис. 3. 8, где элемент D до его вклю­ чения в контур управления работает в облегченном режиме и имеет вероятность безотказной работы PDo(0 , а после момента включения — PDn{t), получим (см. табл. 3.2):

Основным недостатком интегральных формул является труд­ ность их использования при синтезе схемы резервирования на стадии проектирования, когда необходима простая, пусть даже приближенная зависимость между вероятностными характери­ стиками системы и ее элементов.

При наиболее часто применяемом на практике экспонен­ циальном законе надежности элементов системы значительное упрощение этих формул имеет место при разложении входящих в них экспоненциальных функций е- *; в ряд Маклорена

V= 1

123

и сохранении нескольких первых членов ряда. При k = \, ограни­ чившись двумя первыми членами ряда Маклорена (v = l) вме­ сто (3.62), будем иметь

Из данного выражения видно, что для приближенного определе­ ния вероятности реализации отказа достаточно знать только интенсивности отказов определяющих элементов.

Относительную погрешность формулы (3.71) можно опреде­ лить, если точное решение выражения (3.61) представить в сле­ дующем виде:

Q n = y i Aj t - xi ^ y i AJyj ,

U ) U )

где Aj — коэффициенты, являющиеся функциями от интенсивно­

126

а, как известно, относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешно­ стей слагаемых, или не превосходит наибольшей относительной погрешности одного из слагаемых суммы.

Из сказанного следует, что

l(Q k)= max[l{y1), Д (г/2) ,- , Д (г/,-),...].

Таким образом, погрешность при приближенном определении вероятности отказа системы не превосходит погрешности от за­ мены экспоненциальной функции с наибольшим показателем несколькими первыми членами ряда (3.67). При v = l эта по­ грешность не превосходит значений, приведенных в табл. 3. 3. При v ^ 2 эти погрешности уменьшаются.

Таблица 3. 3

стей отказа, при которых еще не будут превзойдены соответст­ вующие погрешности при времени непрерывной работы 10 ч. Практика показывает, что эти предельные значения интенсивно­ стей отказа не достигаются, даже если они соответствуют интен­ сивности отказа целого узла, элементы которого рассматри­ ваются как основное соединение.

При предварительных расчетах вероятности отказа резерви­ рованной системы целесообразно воспользоваться понятием по­ рядка отказа. При этом число отказов элементов в конкретной реализации отказа назовем порядком реализации отказа си­ стемы. Тогда порядок обобщенной реализации отказа будет называться порядком отказа системы. Порядок отказа системы обозначался через k в формулах, начиная с (3.56), и соответст­ вовал числу определяющих элементов реализации отказа.

Минимальный, самый низший порядок отказа системы, пред­ ставляет собой отказность системы. Применительно к системе на рис. 3. 8 отказ «переключение управления на исправный ре­ зервный подканал с последующим отказом последнего» имеет второй порядок по числу определяющих элементов В и D (см. табл. 3. 1) и состоит из пяти реализаций отказа: 9-я — второго порядка; 10-я и 11-я — третьего, а 12 и 13-я — четвертого по­

127

рядка. Однако рассматриваемая система является одноотказной, так как неконтролируемый отказ ее основного подканала (отказ элемента А) имеет первый порядок.

Вероятность отказа любой системы является суммой вероят­ ностей отказов различных порядков, т. е.

( f t )

С помощью формулы (3.71) нетрудно убедиться, что при одном порядке величин входящих в нее интенсивностей отказа вероят­ ность отказа высшего порядка пренебрежимо мала по сравне­ нию с вероятностью отказа низшего порядка, т. е.

Это позволяет утверждать, что вероятность отказа резервиро­ ванной системы в основном определяется вероятностью ее отка­ зов самого низшего порядка, соответствующих её отказности. Если отказность системы обозначить через г, то

на рис. 3.8, можно приближенно определить с помощью только

на основании известных вероятностных характеристик состав­ ляющих ее элементов, если вероятности отказа последних доста­ точно малы. Так, при вычислении вероятностных характеристик основного соединения элементов точные выражения для вероят­ ности исправной работы и вероятности отказа Qc соединения имеют следующий вид:

128