Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Учитывая эти формулы, из равенства (294) получаем выра­ жения для поправок:

Из выражений (296), (297) и (298) получаем формулы для поправок к дисперсиям и ковариациям оценок параметров:

Дисперсии и ковариации остальных оценок параметров не изменяются при добавлении опытов в центр симметричного плана второго порядка или в центр плана Хартли.

Анализ поверхности отклика на экстремум. Следующим этапом после построения регрессионной модели является ее анализ. Регрессионную модель второго порядка обычно приводят к кано­ ническому виду, что существенно облегчает ее исследование. Приведение модели к каноническому виду достигается путем линейного преобразования факторов. Модель в канонической форме не содержит смешанных произведений (взаимодействий)

ивключает минимально возможное число линейных членов. Процесс приведения модели второго порядка к канонической

форме разбивается на два этапа: 1) поворот координатных осей и совмещение их с направлениями собственных векторов (новые координатные оси называют каноническими); 2) перенос начала координат в особую точку.

Первый этап позволяет исключить из уравнения взаимодей­ ствия, второй — свести до минимума число линейных членов. Такие преобразования обстоятельно описаны в руководствах по аналитической геометрии.

Поверхности второго порядка, приведенные к каноническому виду, можно классифицировать в зависимости од математической структуры уравнения.

На рис. 37 представлены некоторые типы поверхностей второго порядка. На рис. 38 изображены сечения эллиптического и ги­ перболического параболоидов.

После того, как проведено каноническое преобразование по­ верхности отклика и установлен его тип, производится отыскание

оптимальной точки. Это сочетается с логически профессиональным анализом характера поверхности, при проведении которого не­ редко используются сечения. Процесс отыскания точки оптимума во многом предопределяется тем, насколько близко расположен

Рис. 37. Поверхности второго порядка:

а — эллипсоид', б — однополостный гиперболоид; о — двухполостный гиперболоид', г — эллиптический параболоид', д — гиперболический параболоид

центр поверхности к центру плана. Если особая точка поверх­ ности (центр поверхности) расположена вблизи центра плана, то процесс отыскания оптимальной точки зависит от типа поверх­ ности. Допустим, что наша задача состоит в отыскании точки,

в — контурные линии для стационарного возвышения; г — контурные линии для возрастаю­ щего возвышения

отвечающей наибольшему значению у . Если поверхность унимо-

дельна (имеет единственную точку максимума), тогда эту точку можно найти исходя из необходимых условий экстремума (при­

равнивая частные производные ■^ нулю). В альтернативном

случае, когда поверхность отклика является поверхностью типа минимакс, т. е. относится к классу гиперболических параболоидов, точка максимума может быть найдена только при наложении

228

определенных ограничений на переменные. На практике такие ограничения чаще всего задают в виде куба или сферы некоторых размеров, центры которых совмещены с особой точкой. Поиск условного экстремума производится с применением метода не­ определенных множителей Лагранжа или поисковых процедур нелинейного программирования. Если центр поверхности (особая точка) существенно удален от центра плана, то для отыскания точки максимума применяются следующие приемы.

Первый ■— поиск условного максимума при ограничениях в виде куба или сферы. Однако в отличие от предыдущей ситуации такие ограничения надо формировать, принимая за центр ограни­

показателями. В подобных ситуациях прибегают к одновременному построению нескольких моделей второго порядка (по каждому из показателей). Затем возникает задача отыскания наилучшего режима. Один из путей ее решения состоит в том, что выбирается

наиболее важный показатель, скажем, у г и затем формулируется

отклики у о, г/3, . . . Решение таких задач проводится с исполь­

зованием метода неопределенных множителей Лагранжа и раз­ личных поисковых методов нелинейного программирования.

Количественному исследованию поверхности отклика второго порядка посвящено много работ. Детальное и строгое описание методов нелинейного программирования содержится в работе [51 ].

Исследование режущего инструмента с помощью планов вто­ рого порядка. Решалась задача установления зависимости пока­ зателя стойкости центровочных сверл диаметром 4 мм от трех факторов: угол в плане 2ср, задний угол а, толщина сердцевины k.

Факторы и их уровни представлены в табл. 85.

Для получения математической модели зависимости показа­ теля стойкости сверл от параметров в виде равенства (190) был реализован ортогональный план второго порядка для k — 3

согласно табл. 85. Испытания повторяли по 3 раза. Условия испы-

229

танин — см. с. 169. План и результат испытаний представлены

в табл. 86. Там же-приведены расчетные стойкости yv по полу­

ченной модели (стойкость дана в количестве просверленных отверстий).

Таблица 86

Ортогональный план второго порядкадля k = 3 с результатами опытов а оценок при испытаниях центровочных сверл

~10,954

230