Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Таблица 79

Численные значения момент ов и вспом огат ельны х

коэфф ициент ов д ля сим м ет ричны х почт и D-опт им альны х план ов второго порядка

Дисперсия значения отлика, предсказываемого по модели, построенной с помощью такого плана, является функцией ра­ диуса вектора

Максимальное значение этой функции достигается на концах интервала (0 < р с 1)

Доказано, что можно построить Д-оптимальный план, сосре­ доточенный в конечном числе точек. Таким является, например, композиционный план, включающий 2* вершин куба, вписанного в сферу единичного радиуса; 2/е звездных точек, расположенных на сфере, и центральную точку.

На каждую вершину куба приходится доля наблюдений, равная

218

каждой звездной точке соответствует доля

Легко понять, что если перейти теперь от непрерывного плана к точному и стремиться, чтобы доли реальных наблюдений в от­ дельных точках находились в точном соответствии с приведенными значениями, то потребуется слишком большое число опытов в плане. Такой точный план будет мало интересен в практическом отношении.

В этой связи представлялось целесообразным оценить эффек­ тивность обычных ротатабельных планов второго порядка с точки зрения критерия D-оптимальности. Такая оценка и сопоставление характеристик планов второго порядка выполнены в работе [46]. Наряду с обычными композиционными ротатабельиыми планами второго порядка подвергнуты анализу и другие планы. В частно­ сти, были исследованы симплексно-суммируемые планы [23], обладающие свойством ротатабельности. Оказалось, что статисти­ ческие характеристики ротатабельных планов могут быть улуч­ шены, если отказаться от требования униформности или ортого­ нальности планирования, а выбирать число опытов в центре, опираясь на критерий D -оптимальности. Интересно, что число центральных опытов при этом заметно уменьшается.

В табл. 80 для сравнения указаны характеристики рота­ табельных планов с исправленным числом опытов в центре и характеристики D -оптимальных планов на шаре.

В последних двух столбцах указаны максимальная и средняя дисперсии оценки отклика по области (обе приведены к одному наблюдению). Эти характеристики ротатабельных планов мало отличаются от характеристик D -оптимальных планов. В то же время оказалось, что дисперсия оценки отклика в центре плана для ротатабельных планов существенно, в несколько раз меньше, чем для D -оптимальных. Вследствие этого ротатабельные планы, видимо, предпочтительнее D -оптимальных, если наиболее интерес­ ная для исследователя область находится в окрестности центра

единичного радиуса.

В табл. 81 даны численные значения моментов и вспомога­ тельных коэффициентов для ротатабельных планов с числом нулевых опытов, выбранных исходя из критерия D -оптнмаль- ности.

219

Таблица 81

Числовые значения моментов и вспомогательных коэффициентов для ротатабельных планов с измененным числом нулевых опытов

Несимметричные планы второго порядка. До сих пор речь шла о симметричных планах второго порядка. Матрица моментов для таких планов имеет диагонально блочную структуру. Поэтому большая часть оценок определяется независимо. Коррелирован­ ными между собой оказываются лишь Ь0 и Ьи\ Ьн д Ьц{1 =j= /).

Теперь коснемся планов более общей структуры, которые будем

220

отношениях более эффективные планы. На практике наиболее широкое распространение нашли планы Хартли.

Планы Хартли. Эти планы изложены в работе [64]. Специфи­ ческие особенности планов Хартли состоят в следующем. Такие планы являются исключительно экономными. Число точек в них либо равно числу коэффициентов в модели, либо совсем нена­ много превосходит его. Такие планы в ряде случаев имеют стати­ стические характеристики, очень близкие к D -оптимальным планам, и построены по композиционному принципу. План состоит из регулярной дробной реплики полного факторного эксперимента, звездных точек (звездное плечо равно а) и опытов в центре. Опре­

деляющие соотношения для регулярной реплики выбираются исходя из условия невырожденности матрицы моментов.

При выборе дробной реплики требуют, кроме того, чтобы коэф­ фициенты при парных взаимодействиях могли оцениваться не­ зависимо друг от друга. Такому требованию отвечают реплики, обладающие тем свойством, что в определяющем соотношении (генераторе) отсутствуют одно-, двух- и четырехбуквенные взаимо­ действия.

Матрица моментов для планов Хартли (k Ф 2, в генераторе

содержится трехбуквенное взаимодействие) может быть пред­ ставлена в стандартной форме (табл. 82). Для этого целесооб­ разно переставить местами слагаемые квадратичной модели (столбцы матрицы X). Сначала расположим столбцы, отвечающие фиктивной переменной х , и квадратичным членам. Столбцы, соответствующие линейным членам и парным взаимодействиям, разобьем на две группы. В первую группу включим последова­ тельно линейные члены и смешанные произведения, соответству­ ющие переменным, не входящим ни в одно трехбуквенное взаимо­ действие определяющего соотношения реплики 2k~p. Эту группу

столбцов назовем несвязанными парами. Вторую группу (связан­ ные пары) составят столбцы, отвечающие линейным членам и парным взаимодействиям, которые смешаны хотя бы в одном трехбуквенном взаимодействии определяющего соотношения.

Обратная матрица Mr XN имеет следующую структуру (289):

221