Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

so

обйЕай ТЕОРИЯ МАТРИЦ и ФОРМ

1ГЛ. I

 

Из (4.1), между прочим, видно, что

 

 

X1Xi....Xn = \А\.

(4.3)

4.2. Таким образом, совокупность всех собственных значений матрицы А, или ее спектр, совпадает со спектром а (А) (совокупностью собственных значений) линейного оператора А, порожденного этой матрицей в некотором базисе {ех, е2, ..., еп} пространства 7?" *). Отсюда сразу вытекают два следствия:

а) Спектры всех линейных операторов, порождаемых в

Еп заданной матрицей А — |ац |"j=1 по формулам {4.2) при различных выборах базиса {е1л е%, ..., еп}, совпадают.

б) Спектры всех матриц ||ао'11и=и порождаемых по формулам (4.2) одним и тем же линейным оператором А в Еп при различных выборах базиса {ev е2, ..., е „}, сов­ падают.

З а м е ч а н и е . Следствие б) легко усмотреть и из непосредственных вычислений, не прибегая к понятию собственных векторов линейного оператора. В самом деле, пусть в базисе {ег, е2, ..., еп} оператор А задается матри­

цей

А =

||a£j'llu=i

(см.

(4.2)).

Любой

другой

базис

{^i> #2>

>£п} пространства Еп, как известно

([4], стр. 73),

связан с базисом {ех, е2, ..., е „}

некоторым линейным пре­

образованием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е* = 2

 

( * = 1 , 2 , . . . ,

п)

(4.4)

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

с неособенной

матрицей

Т =

|#ьг|

(1Л =/= 0)-

В ба­

зисе

{gx, g2, ..., gn} оператору А

будет отвечать уже но­

вая

матрица

В =

|b^||">3-=i,

определяемая (ср.

(4.2))

соотношениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M i = S

higi

(* =

1 , 2 , . . . ,

п).

(4.5)

3=1

*) Мы оставляем здесь в стороие более глубокий вопрос о связи между кратностью собственного числа X, как корня характеристи­ ческого уравнения |А — ХЕ |= 0, и его так называемой собствен­ ной или геометрической кратностью, как собственного значения опе­ ратора А (см. [4], гл. VII).

§ 4] МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. СПЕКТР 31

Но из (4.4) и (4.5) следует, что

п п п п п

Аен= 2

 

 

— 2

2

bag] =

2 ( 2

 

) Si

 

 

i=l

 

 

г—1

;=1

 

j=l ' i=l

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k = 1, 2,. .., n).

Между тем из (4.2) и(4.4) имеем

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

n

 

пгг

 

 

 

-^-ек =

2

akjei ~ 2 2

tjigi — 2 ( 2

akjt"ji \Si-

 

 

 

j=l

 

i=1

i=l

i=l ' i=1

'

 

Сравнение двух полученных разложений векторов Аек

по базису {gj,

g2, ..., gn) показывает, что

матрицы А, Т и

В связаны соотношениями

 

 

 

 

 

 

 

АТ = ТВ

или В =

Т -1 А Т ,

 

(4.6)

откуда следует совпадение характеристических многоч­

ленов

\Т~1 (А — ХЕ)

Т |=

|Т~ХАТ -

ХЕ |=

 

\А -

ХЕ|=

(4.7)

 

 

 

 

 

 

 

= |В -

ХЕ |

матриц Л и 13

(и подавно их спектров).

 

отправляясь от

4.3.

Если в пространстве Еп ввести,

некоторого базиса {ех, е2, ..., еп}, скалярное произведение

(я,

У) = (Si«i +

12е2 +

••■+ ^ п »

ЛЛ + Т|2е2 + •••+

 

 

 

+

Tlne n)

=

 

+

■••+

i n i п»

(4-8)

т. е. ввести в Еп так называемую структуру унитарного (или еДклидова) пространства, то по отношению к этому скалярному произведению базис {ev е2, ..., еп} будет обла­ дать свойством

{eh ej) = Ьц (г, / = 1,2, ..., /г),

(4.9)

где 8tj

— символ Кронекера. Такой базис называют ор-

тонормированным.

Теперь всякая эрмитова

матрица

А

=

5=1 ,

ар — йц

(£, / = 1,2,

...,

п)

будет

в этом

базисе (т. е. по

формулам

(4.2)) зада-»

ватд в Еп эрмирюв оператор А,

Последнее

означает, ПО

32

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ МАТРИЦ И

ФОРМ

ГЛ. I

определению, что для всех х,

у ЕЕ Еп

 

 

 

 

{Ах, у) =

(х, Ау).

 

(4.10)

 

Скалярное произведение (4.8) обладает очевидными

свойствами:

 

 

 

 

 

(я, х) > 0 (х Ф в),

(х± + х2, у) = (ац, У) + (^2, у),

 

{ах, у)

=

а {х, ij),

{у, х)

= {х, ij)

 

для

всех векторов

х,

х1г х2, у из Еп и всех комплексных

чисел а. Из этих свойств и соотношения (4.10), в частности,

вытекают следующие предложения.

 

1°.

Все собственные значения Я эрмитовой матрицы А

вещественны.

 

для отвечающего по формулам (4.2) мат­

В самом деле,

рице А и базису

{е2, е2, ..., еп}

(см. (4.9)) эрмитова опера­

тора А из равенства Ах = Хх(хфв)

следует, что (Ах, х) =

= Я (х,

х).

Но

число (Ах,

х)

= (х, Ах) = (Ах, х)

вещественно,

а

(ж, х) ^>0, так что и Я вещественно.

2°.

Собственные векторы х,

у эрмитова оператора А,

отвечающие различным собственным значениям Я, р соот­ ветственно, ортогональны, т. е. (х, у) = 0.

Утверждение следует из очевидных равенств: Я (х, у) = = (A %, у) = (х, Ау) = р (х, у) (Я ф р).

Менее очевидно доказываемое в курсах линейной ал­ гебры предложение

3°. Если Я15 Я2, ..., Яп — все собственные числа эрмито­ вой матрицы А (с учетом их кратности), а А — линей­ ный эрмитов оператор в пространстве Еп, отвечаюгций матрице А в некотором ортонормированном базисе {elt е2, ..., еп}, то вЕпсуществует ортонормированный базис

(Д, Д> •••!

fn}i составленный из собственных векторов опе­

ратора А,

причем

 

Afi = hfi (i = 1,2, ..., га).

Приведем, полноты ради, вариант доказательства предложения 3°. Рассмотрим сперва некоторый собствен­ ный вектор Д оператора А, отвечающий собственному зна­ чению Я2 (см. п. 4.1). Его, без ограничения общности, можно считать нормированным, т. е. полагать (Д, Д) = 1 (в противном случае следует вместо Д взять собственный

§ 41

МАТРИЦЫ

И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. СПЕКТР

33

вектор

/ 1 ,

отвечающий тому же собственному зна­

чению ‘к1).

Рассмотрим так называемое ортогональное дополнение в Епк вектору fx (точнее, к одномерному подпространству, натянутому на вектор / х). Оно состоит, по определению, из всех векторов, ортогональных к jx. Как известно (см., например, [8], п. 80), это будет некоторое (п — 1)-мерное

подпространство Еп~х пространства

Еп. Пусть

вектор

х €= Еп~х, т. е. (х, / 1)

= 0.

Тогда

 

 

(Ах, fj) = (х,

Afj)

= (х, XJJ =

К (*. Л) =

°»

т. е. Ах ЕЕ Еп~х. Этот факт выражают словами: Еп~х — инвариантное подпространство оператора А.

В подпространстве Еп~х оператор А снова действует как эрмитов оператор, причем ясно, что каждое собствен­ ное значение и соответствующий собственный вектор опе­ ратора А, как оператора в Еп~х, являются соответственно его собственным значением и собственным вектором как

оператора во всем Еп.

Выберем теперь в Еп новый орто-

нормированный базис

{gx, g2, ...,

gn}, взяв в качестве его

первого элемента

вектор gx = /1 ,

а

остальные

элементы

g2, £з, •••> ё’п — из

Еп- Х(это всегда

возможно

— см. [4],

стр. 237). Тогда в представлении (4.5) при i = 1 будет

Ag1 = Ktgi, т. е. Ъп = Х1, Ь12 = Ь1Я = ... = Ъ1п =

0 (за­

метим, хотя это для нас несущественно, что и Ь2г =

Ъгх =

= ...= Ь п1

— 0 в силу эрмптовостиоператора А). Это озна­

чает, что

структура матрицы Б =||bij|(£j=i такова:

 

 

(4.11)

где Б — матрица, задающая (в базисе {^2, £з> •••> Sn}) оператор А в инвариантном подпространстве Еп~х. Но из (4.11) видно, что характеристический многочлен матрицы Б получается из характеристического многочлена матри­ цы В, т. е. (см. (4.7)) из \А — ХЕ|, делением на двучлен A.J — X. Поэтому собственными значениями оператора А в Еп- Хбудут числа Х2, Х3, ...,Хп.

2 И. С. Иохвидов

Смотрите также файлы