Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

где (Я) — линейная

оболочка

элементов вида

х —

— Я (х) + б (х), х ЕЕ ().

Положим

М^ = U (д)/Ух.

Мо­

дуль М %обладает старшим вектором веса X — б (образ

единичного элемента е0 ее U (д)).

Отсюда легко полу­

что z (X) =

у (X, z) совпадает с образом (jiz) (Я) в алгеб­

ре Р ((>) ~

U ($). Несложное вычисление показывает,

z0(Я) =

((о (z)) (Я),

Я б § ,

где со (z) — старшая

компонента

ez = a~xz (см. п. I).

получаем отсюда, что pz (g) = / (|>).

Из теоремы Е получаем также

Z (д)

С л е д с т в и е .

Всякий характер алгебры

имеет вид

z *->- z (Я) = у (Я, z)

при некотором Я Е ().

Равенство

z (X) =

z (ц) выполняется тождественно по

z ЕЕ Z ($)

тогда и только тогда, когда элементы Я,

ц

лежат на одной орбите относительно W .

((>)

=

Действительно,

всякий характер алгебры /

_ р (tyw

имеет указанный вид,

и алгебра I ((>) разде­

ляет точки,

лежащие на разных

орбитах W (см.

[23],

стр. 222).

Вещественной

алгебры 3

(9°, §

1). Ввиду разложения

9е = 3 1 0 92

в прямую

сумму

двух идеалов,

имеем

U — UiUt, где каждая из алгебр U\ — Ui (зг), г =

1,2,

изоморфна Uо = U (зс)-

ассоциированная

с полупростой подалгеброй g0CZ &.

В случае g0 = f

эта категория тесно связана с катего­

дулями

Хариш-Чапдры *).

м о д у л и .

Пусть

1. Г р а д у и р о в а н н ы е

3 — полупростая комплексная

алгебра Ли, Л — мно­

жество

всех старших весов алгебры 3. Для

каждого

Я е А

пусть /х = Кег лх — двусторонний

идеал в

всех векторов ^ e F таких, что J =

(0),

П р е д л о ж е н и е 3.1. Fx — максимальный под­

модуль V, представление в котором кратно л.х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

конечной кораз­

мерности /х , подмодуль

F 0 = U (з)

£ конечномерен

матричная алгебра**).

В то же время J

0=

(0)=4>Fj =

= (0). Следовательно,

представление в Fx

кратно ях.

Максимальность Fx очевидна. Предложение

доказано.

Модуль V называется градуированным, если он яв­

ляется прямой суммой своих подмодулей Fx:

F = 0

F\

(нс)

х

П р е д л о ж е н и е

3.2. Всякий подмодуль F 0 гра­

дуированного модуля градуирован (т. е.

F 0 f] Fx d F0

для всех Я).

Для каждого £ ЕЕ V под­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

модуль

F 0 = U {9) |

конечномерен.

Поэтому

F 0 —

*) Результаты этого параграфа будут использованы,

глав­

ным образом, в гл. 4.

2 добавления I.

**)

Это легко вывести из предложений 1,

рованы.

К а т е г о р и я £/х'\

Пусть

д0

— полупростая

2.

подалгебра в д,

А0 — множество

всех

старших

весов

алгебры д0. Для краткости положим U =

U (д).

весов

О п р е д е л е н и е 3.3. Для

каждой

пары

X, р ЕЕ Л0 пусть

U}'P — множество всех

элементов

CZ. t / Xv

для всех X,

р, v е= Л0. В

частности,

f /xx — подалгебра

с единицей,

содержащая

идеал UJ

Подпространство

является левым (правым) модулем над £/хх (£/W).

Заметим также, что

(_ у х

(,*)

для каждого g-модуля F.

Действительно,

CZ

С UJ^V^ = (0). Семейство

условимся

называть

весовой категорией алгебры U относительно д».

П р е д л о ж е н и е 3.4.

Для каждого фиксирован­

ного Хй ЕЕ А0 имеем

[7 =

3

Ux\

х

X

где положено Ux =

(При этом Ux — правый

модуль

над алгеброй UA°.)

Пусть

р — ортогональ­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ное дополнение к

д0 в алгебре

g (относительно формы

Киллинга — Картана).

Согласно теореме Биркгофа —

Витта,

имеем д0-модульный изоморфизм

U ~ S ( 9) ~ S Q > ) ® U ( 6o),

откуда

следует

также,

что

U ас S (р) ® U (д0)//По­

следовательно,

U— градуированный

д0-модуль. Под­

пространство Ux =

{ н е

U: J ^и = (0)} является обра­

Р7^, откуда следует, что [/XX<>FX» =

и

эта

сумма является прямой.

совпадает с

со­

З а м е ч а н и е 1. Множество

вокупностью всех элементов u€EU таких, что uV^ d

Fx

для всех g-модулей F. (Действительно,

полагая V = U

при р = Я0, находим, что J\u CZ UJy.,

т. е.

и е Uх^.)

Пусть £Сх — множество всех классов эквивалентно­

сти неприводимых [/-модулей V, для которых

Vхф

(0).

мых П ^-модулей, где

положено А х = UXXIUJ^.

П р е д л о ж е н и

е 3.6. Отображение V ь->- Vх ус­

У*.-

(1) Пусть

V — непри­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

водимый g-модуль,

|о— ненулевой вектор из Fx°, | —

произвольный вектор из F 4 Ввиду неприводимости,

| =

о при некотором и GE U, откуда также £ = н0£о

при

некотором и0

ЕЕ С/х°х°

(см. (**)). Следовательно,

| 0 — циклический

вектор

Fx°, откуда,

ввиду произ­