Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

П р е д л о ж е н и е

4.8.

Если

X ЕЕ 0+,

то

W х

порождается отражениями wt такими, что

X _[_а*.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

 

е

 

w (ЕЕ W ь,

а ( е

Ав. Полагая а = шог Е

А ' и пользуясь

ортого­

нальностью w в Or, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

<

(X, аг> = <wX, шсц> =

<Х, а> <

О,

 

 

откуда Я, _Lai =*■ шг ЕЕ Wx> причем Z(д;шг)

=

I (w) — 1

(следствие 4.3). Рассуждая индуктивно,

находим

wilc е

Wx, /с = 1, 2,

. . .,

re,

Z (шшг1. . . win) = 0=$w =

= и>гп . . . и;*,. Предложение доказано.

 

 

 

 

 

 

Пусть /х

= P(0c)Wx— алгебра всех

И\-инвариант-

ных полиномов над ОсСогласно теореме Шевалле [103],

из предложения 4.8 вытекает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е

 

4.9. Алгебра I х изоморфна алгебре

полиномов от I однородных образующих.

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

 

3.

Аналогично

рассматривается

стационарная подгруппа любого

семейства

векторов

ИЗ &R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

Пусть S\ — система всех корней а ЕЕ S, a J_ X,

полупростая

подалгебра

в

с образующими

еа, е~а,

а Е

SxТогда W ^ изоморфна группе Вейля алгебры 8х

относительно картановской подалгебры

^

=

|с П

 

С л е д с т в и е

4.10. Пусть 0х — ортогональное до­

полнение в Ос к Ох.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

из ортогональности 0х к S x следует

неподвижность 0х относительно W%.

 

 

 

 

 

 

 

IV.

в

Фиксируем в (>с ортонормированный базис и по

ставим

соответствие

каждому

полиному

 

р (х) =

=

р (хх, . . .,

хп) дифференциальный оператор р (д) =

=

р (dv

. . .,

дп),

di = dldxt, i — 1,

2,

. . .,

I.

Пусть

F x — пространство

 

всех

решений

системы

уравнений

 

 

 

 

р (д) f {х)

= р (X) f

(х),

р

е

/ о\

 

 

 

(*)

при

фиксированном

Х(ЕЕ Or , где I q — множество

всех

полиномов из / 0 = P ( 0c)w c нулевым свободным членом.

В частности,

элементы из F 0полиномиальны (см. [107]).

Условимся называть эти элементы W-гармоническими полиномами.

28

П р е д л о ж е н и е

4.11 [107].

Пусть Н >, — мно­

жество всех W ^-гармонических полиномов. Тогда

Ь \ =

^

е<и>х, *>#„>..

(**)

 

«6 IV

 

 

Размерность F\ не зависит от 'К и

совпадает с поряд­

ком группы Вейля W.

Билинейная

форма

<р , g > =

З а м е ч а н и е

4.

= Jp(d)?(0) не вырождена на Р (Ьс)- Пространство

F 0 является ортогональным дополнением к ЦР (фс) от­ носительно этой формы. Отсюда следует, в частности, что Р{§ с) является свободным модулем над / 0с базой F0:

P(fc) = I 0FQc~I0® F 0.

Отметим также связь между алгебрами 1 Х, / 0 *).

П р е д л о ж е н и е 4.12.

Алгебра

I % порождается

полиномами вида р (х + Л),

р 6Е / 0, £ ЕЕ R.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

R\ — множество

всех полиномов вида р (х -\- X), р ЕЕ То . Легко прове­ рить, что система (*) сводится для элементов Н\ в (**)

к условию

ортогональности с R xP(l)с)- Следовательно,

R%P (f)c)

=

U p

(&с). в

частности, It CZ R\P (fjc). Ус­

редняя по W x, находим,

что It d

R^I*. Отсюда заклю­

чаем, что It порождается однородными компонентами

элементов R x. Предложение

доказано.

 

 

 

V.

В заключение опишем естественную упорядочен­

ность в группе W (см. [28], [107]).

и/

w,

если

О п р е д е л е н и е

4.13.

Положим

приведенное разложение w' получается вычеркиванием

некоторого набора сомножителей из приведенного раз­

ложения

w.

 

5. Нетрудно показать,

что всякий

З а м е ч а н и е

элемент

w'

w получается

указанной

операцией из

фиксированного

разложения

w.

 

 

 

 

Напомним, что wa — отражение в [)с по направлению

корня ос.

 

 

 

 

4.14

[28]. Элемент w' непос­

П р е д л о ж е н и е

редственно

меньше

w тогда

и

только

тогда,

когда

w = waw ', a S

А,

I (w)

= I (w') -j- 1.

 

 

 

*) Это замечание в дальнейшем не используется.

29

С л е д с т в и е

4.15. Всякий элемент w > w' мож­

но получить

из

w

последовательным умножением

(слева) на wa, a, GE А,

с возрастанием длины на 1.

П р и м е р .

Группа Вейля алгебры А 2порождается

двумя отражениями ipx, w2и содержит 6 элементов (сим­ метрическая группа S3):

Здесь положено w0 = w1w2w1 = w2wiw2. Стрелка а

b

соединяет соседние элементы а < Ъ.

 

* *

*

Содержание § § 1 , 2 относится к классической теории, хотя отдельные результаты изложены только в журнальной литера­ туре (ссылки даются в тексте). Относительно модулей Хариш-

Чандры см. также [23]. Категория (§ 3) рассматривалась в [75] (для более общего случая) в связи с работами Хариш-Чанд- ры. Результаты § 4 выполняются для всех конечных групп, по­ рожденных отражениями. См. по этому поводу [2], [103], [104J, [107].

[ Г л а в а [2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ

В этой главе излагаются основы теории представлений топо­ логических групп в локально выпуклых векторных простран­ ствах. Читатель, интересующийся только классификацией мо­ дулей Хариш-Чандры, может пропустить чтение этой главы, за исключением предложения 7.5.

§ 5. Представления, модули

Пусть G — топологическая группа, Е — топологи­ ческое векторное пространство над полем С. Представ­ лением группы G в пространстве Е называется всякий гомоморфизм группы G в группу всех автоморфизмов векторного пространства Е.

Имея в виду теорему Хана — Банаха, мы будем предполагать, что Е локально выпукло и отделимо (хаусдорфово). Пусть З5 — базисная система полунорм,

30

определяющая топологию в Е. Условие отделимости оз­ начает, что для всякого £ ЕЕ Е, £ ф О, существует полунорма р Е SE такая, что р (£) Ф 0. Пусть L (Е) — алгебра всех эндоморфизмов векторного пространства Е. Полунормы тр\ (а) = р (а £), Р е SP, £ е Е, опре­

деляют в L (Е) топологию простой сходимости (сходи­ мость на каждом векторе £ £Е Е). Из отделимости Е следует отделимость L (Е). В дальнейшем, если нет специальных оговорок, мы рассматриваем L (Е) как топологическое векторное пространство с топологией простой сходимости.

Следуя терминологии Бурбаки [3], введем

О п р е д е л е н и е 5.1. Представление я группы G называется непрерывным, если вектор-функция я (g) |, g е= G, £ ЕЕ Е, непрерывна на G х Е.

Если вектор-функция я (g) £ раздельно непрерывна на G X Е, то представление я называется раздельно непрерывным. Иначе говоря, в этом случае отображе­ ние g я (g) является непрерывным гомоморфизмом группы G в группу всех обратимых элементов С (Е), где С (Е) — алгебра всех непрерывных эндоморфизмов

пространства

Е. Непрерывность представления я

равносильна

выполнению

следующих двух

условий:

(а) я раздельно непрерывно,

 

(б) множество я (U) равностепенно непрерывно для

некоторой окрестности

U (Z G.

 

Последнее

означает,

что для всякой полунормы

р Е З5 существует непрерывная полунорма

р 0 такая,

что р (я {g) £) < Р о ( £ ) Для

всех g ^ U, £ е

Е. Пред­

ставление я называется равностепенно непрерывным,

если (б) выполняется при U = G.

Если G локально компактна, то (а), (б) =4- (б) для всякого компакта U d G. В частности, если G ком­ пактна, то всякое ее непрерывное представление рав­ ностепенно непрерывно.

П р е д л о ж е н и е 5.2. Если G локально компакт­ на и Е бочечно (в частности, если Е — пространство Фреше), то всякое раздельно непрерывное представле­ ние группы G в пространстве Е непрерывно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку Е бочечно, то всякое ограниченное подмножество в С (Е) равносте­ пенно непрерывно ([4], гл. III, § 5). Поэтому (а)=ф-(б) для всякого компакта U CZ G. Предложение доказано.

31

Смотрите также файлы