Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

тогда р (v, а) — полином от v, а. Пусть е0 — класси­ ческий образ Фурье полинома р (v, а) (дифференциаль­ ный оператор с постоянными коэффициентами над алгеброй Ли группы Н). Согласно предложению 14, имеем:

формул для элементарных представлений (см., напри­ мер, [29], стр. 436).

З а м е ч а н и е . Наше обозначение х0 соответству­ ет обозначению Жстатьи [30]. При этом, как легко про­ верить,

х0 (h) = |j (h) |2 К x (k-'n^hnk) dk dn,

224

5. Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я д л я х а р а к т е р о в . Дальнейшее исследование ха­ рактеров s„ группы G основано на следующем утверж­ дении.

П р е д л о ж е н и е 21. Пусть б — произвольный дифференциальный оператор с постоянными коэффи­ циентами над f)G, симметричный относительно W XW. Тогда

U (в®) = % (б) и (*). X ЕЕ с (Я). (***)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Операция х0-> бх0, х ЕЕ ЕЕ X, соответствует умножению sva (х) на полином б (р, q), р = v + сг, q = v — а, симметричный отно­ сительно W x W . Согласно теореме Е § 2, существует центральный оператор z ЕЕ U (зс) такой, что

z (v, а) = б (р, q) •1 v,

где l v — единичный оператор в S5V. Поскольку л (z) — = ХЛ для всякого вполне неприводимого представле­ ния я группы G (§ 8), мы имеем:

/я (бх0) = S- (zx) = XSn (® ) = Я /л (х0)■

Предложение доказано.

З а м е ч и II и е. В нашем изложении мы обошлись без вычисления «радиальных частей» операторов Лап­ ласа (операторов центра U (gG)), которое положено в основу построений [29], [30]. В действительности, исходя из доказательства предложения 21, легко по­

отображение б -> Я (б) в (***) является гомоморфизмом

предложению 4.11, всякое решение системы (***) имеет вид

и ( t ) = 2 а ( * . * ) е<р’ ui )H9’ v,) .

и,reW

где a (t,l) — полином от t, 7, симметричный относитель­

225

Элементарное рассуждение, проведенное в [114], показывает, что в действительности полиномы a (t, J) являются константами, т. е. имеет место

Т е о р е м а А. Всякий функционал sx является линейной комбинацией функционалов sva.

С л е д с т в и е 1. Представление evo топологичес­ ки неприводимо в точках «общего положения» (где про­ странство решений(***) одномерно). См. [29], стр. 441.

С л е д с т в и е 2. Всякое вполне неприводимое пред­ ставление л в банаховом пространстве эквивалентно по Наймарку (инфинитезимально эквивалентно) од­

ному и* представлений е™ш = 6х |£)‘х т-

Действительно, согласно теореме 20, e®ln ~ е"1т только при % = un[), w ^ W. Из подсчета числа W- орбит в классе всех сигнатур, принадлежащих фик­ сированному характеру Z (дс), находим, что функцио­

налы s“ in = sp е™111 образуют базу *) в пространстве решений (***). Но тогда s„ = .v™in при некотором %,

т. е. л — .

За м е ч а н и е 1. Как показано в [63], из следст­ вия 2 (при помощи теоремы 7) может быть выведена теорема о цикличности (теорема 11 § 19). Следователь­ но, при желании операционное исчисление может быть построено на основе теории характеров. Однако теорема 13 (описание узловых алгебр) по-прежнему требует независимого доказательства. Кроме того, теория характеров, изложенная выше, не является алгебраи­ ческой (в частности, использует формулу Планшереля).

За м е ч а н и е 2. Из теоремы 22 (классификация неприводимых модулей Харшн-Чандры) следует, что теория характеров может быть распространена на пред­ ставления группы G в квазиполных локально выпук­ лых пространствах. (Действительно, всякое такое пред­

ставление инфинитезимально эквивалентно представ­ лению в банаховом пространстве.)

З а м е ч а н и е 3. Для вещественных полупростых групп Ли теория характеров развита в работах Хариш-Чандры [76], [83].

*) Из предложения 6 легко получить, что характеры s_ по-

парпо неэквпваплетных представлений я линейно независимы. Заметим также, что можно обойтись без теоремы 20, если вос­ пользоваться рассуждениями, приведенными в конце статьи [47].

226

Д о б а в л е н и е И. ОБЩАЯ СХЕМА ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Схема гармонического анализа, изложенная в этой книге, была проиллюстрирована нами на отдельных примерах (С“ (G),

3) (G) и т. д.). Целью данного добавления является описание клас­ сов функций на G (G — полупростая, связная комплексная группа Ли), для которых эта схема применима.

G.Предположим выполнение следующих условий.

(1)X является двусторонним if-модулем относи­

тельно левых и правых сдвигов на G,

(2)X является £/-модулем относительно дифферен­ цирования обобщенных функций,

(3)образы Фурье элементов а ; Е Х являются целы­ ми операторными функциями от а.

Пусть X * — подпространство всех if-финитных эле­

отождествляются (§ 26) с матричпыми функциями х (v, сг)

подпространство весовых векторов веса v неприводи­ мого if-модуля Ех со старшим весом X.) Таким обра­ зом, исследование Х Х(А сводится к аналогичной зада­

227

алгебры gc) и определяются операторами Ct (v, а)

(§ 15).

Поскольку операторы симметрии перестановочны с действием группы К, то они сохраняют подпростран­

Предположим, наряду с (1) — (3), выполнение сле­ дующих условий.

(4)Х00Ж (G) = X относительно обычного умноже­ ния в классе функций на G, где Ж (G) — множество всех матричных элементов голоморфных неприводимых представлений группы G-

(5)Все матричные элементы х (v, а), х ЕЕ Х #, при­ надлежат линейному пространству Z, замкнутому

228