Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Скачать файл (7,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вложение Д™ш —> A '"1" d А		(см. доказательство теоре
мы 44), откуда — ф — р ее A ss А хпш(ввиду эффективнос
ти /ф). Следовательно, Ass Д™ш CZAss D™m- Из вложения
А пахО	А Т Х следует также	обратное включение.)
IV.	У н и т а р н ы е	м о д у л и . Пусть Н — не

приводимый гильбертов модуль, представление в ко тором унитарно. Согласно следствию 35.4 и предло жению 35.9, можно считать, не ограничивая общно сти, что

Д Г < D f п < II.

П р е д л о ж е н и е

36.5. А х 1,1 =

А°°.

//°°,

то

Д о к а з а т е л ь с т в о

(схема).

Если

I мф I «<

оо

для

всех

и Е= U (fc),

где

|ф 1 —

В (ф,

ф)1/*

(§

35).

Полагая,

в частности,

и =

|3П,

п = 0,

2, . . .,

где

р — оператор

Лапласа —

Бельтрами

на

К,

пользуясь оценками

§ 14

для

оператора

Ъх (т,

%),

находим

отсюда,

что

ф|АеЕ

£Е С°° (К),

т. е. ф е

Z)™ln. С другой стороны, тополо-

гия в и х

мажорирует топологию в Н у откуда и х

( Р Т Г

А 00. Предложение доказано.

С л е д с т в и е

36.6. Ass Д™1п =

Ass D ™ln= Ass Н.

Действительно,

Ass А™1п =

Ass Z>™ln

(см.

замеча

ние в п.

III).

то

же время

равенство Ass Z>“ in =

Ass II

вытекает из определения 36.3 и предложения

36.5.

[63]

характеристические веса используют

В статье

ся при изучении (приводимых) модулей Хариш-Чанд-

ры. Возможно,	эти веса	окажутся полезными также
в спектральном	анализе	унитарных G-модулей.

** *

Изложение в этой главе основано главным образом на ра боте [62], содержание § 36 относится к статье [63].

Предварительная классификация неприводимых (квазипростых, банаховых) G-модулей была получена Хариш-Чапд- рой [97] (см. также [74]) для всех полупростых вещественных групп Ли. Хариш-Чандра показал, что всякий такой G-модуль инфинитезимально эквивалентен одной из компонент компози ционного ряда одного из модулей IIу . Для комплексных групп

аналогичная схема классификации была памечеца в работах

214

Березина [29], [30]. Окончательный результат для вполне не приводимых представлений комплексной группы G был получен в совместной работе Наймарка и автора [66J. Этот результат (в несколько измененной формулировке и с другим доказатель ством) приводится в § 35 (теорема 37).

Другой подход, основанный на рассмотрении вариацион но неприводимых представлений, был предложен в работе [62]. Использование более глубоких теорем гармонического анализа (теорема 34 для алгебры ЭЕ= 3) (G)) позволило при этом рас смотреть более широкий класс неприводимых представлений.

Краткое изложение результатов классификации имеется также в работах [57J, [65].

215

ДОБАВЛЕНИЯ

Добавление I. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ

В этом добавлении излагается краткое введение в теорию характеров полупростых комплексных групп Ли. Наложение ос новано на работах Ф. А . Березина [29], [30], однако содержит ряд технических упрощений. Теория характеров позволяет получить еще один вариант классификации вполне неприводимых банаховых G-модулей.

1.	Х а р а к т е р ы к о н е ч н о м е р н ы х а
г е б р * ) .	Пусть А — ассоциативная конечномерная

алгебра с единицей над полем С. Под идеалом в А


условимся	понимать двусторонний					идеал. Для каж
дого представления			т алгебры		А	пусть Jx =	ker т
(идеал в А ),		А х =	АМ х.	Если	т	конечномерно, то
положим sx (х)		= sp т (х),		х £Е А.	Линейная форма sx
называется характером представления т.
Л е м ма 1.		Если т неприводимо,				то 1) А х — полная
матричная	алгебра,		2)	Jх — максимальный			идеал,

3) / — ортогональное дополнение к А относительно
формы В {х, у) = sx (ху), х,	у ЕЕ А.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	1) является следствием

теоремы Бернсайда. Ясно также, что 1) =4- 2), 3). Лем ма доказана.

П р е д л о ж е н и е 2. Пусть т1? та — два не приводимых представления алгебры А. Следующие ут

верждения	равносильны:	т2,	(2) sx, =		(3)	JXl =	Jx,.
(1) Tj	эквивалентно			sx„
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Ясно,	что	(1)	=» (2).	Из
3) леммы 1 следует, что		(2)	(3).	Если выполняется

(3), то т*, т2 являются представлениями полной матрич

ной алгебры	А х„ откуда следует эквивалентность
тх, т2, т. е. (3)	(1). Предложение доказано.

*) Этот раздел приводится для полноты изложения.

216

В частности, характер определяет неприводимое представление т однозначно с точностью до эквивалент ности. Для дальнейшего нам понадобится

Л е м м а

3. Пусть 1к, к =

1, 2, . .

га,— попар

но различные максимальные идеалы в А

с нулевым пе

ресечением.

Тогда алгебра А

изоморфна прямой сумме

полных

матричных

алгебр М к = A/Ik, к =

2, . . .

. .

п.

При

п =

алгебра

Д о к а з а т е л ь с т в о .

проста

(ввиду

максимальности 1г — (0)),

откуда А

М г.

При

1 положим

р| 1к. Из

условия

/ 0 П In — (0)

кфп

и максимальности 1п следует, что h

1п =

А,

т. е. А изоморфна прямой

сумме

М п -j-

А 0,

где

А 0 =

А/10.

Применяя

индуктивное

пред

положение к максимальным идеалам Jk =

1кПк р|

/ 0,

нулевым

пересечением

Л 0, находим,

что А 0 —

прямая сумма М к, к

— 1,

. . . ,

п — 1.

Лемма

до

казана.

Всякий максимальный идеал в А

С л е д с т в и е

совпадает

одним из

идеалов

I k,

k =

. . .,

п.

С л е д с т в и е

5. Пусть J — максимальный идеал,

содержащий

пересечение J к, к =

2, . . .,

п,

где

максимальные идеалы.

Тогда J =

Jk при некотором к.

(Действительно, это следствие сводится к преды

дущему путем

факторизации по

пересечению Jk, к =

1, 2,

. . ., п.)

Характеры

попарно

не

П р е д л о ж е н и е

эквивалентных

неприводимых

представлений

линейно

независимы.

Предполагая

линейную

Д о к а з а т е л ь с т в о .

зависимость

характеров st = sTi, £

= 1,

2, . . .,

га + 1 ,

и изменяя,

если нужно, нумерацию индексов,

можем

считать,

что

sn+1 — линейная

комбинация

, i —

1, 2,

. . ., п.

Соответственно,

пересечение

J t =

J4 ,

i =

2, . . .,

га, содержится в

/ п+1,

откуда

заключаем,

согласно

следствию

что Jn+1 =

Ji при

некотором £. Отсюда т„+1 эквивалентно тг (предложе ние 2), т. е. мы получаем противоречие. Предложение доказано.

З а м е ч а н и е . Результаты этого раздела остают ся в силе для конечномерных представлений произволь ной ассоциативной алгебры А.

217

2. Ф у н к ц и о н а л sn. Пусть G — полупростая связная комплексная группа Ли, К — ее максимальная компактная подгруппа, ех — центральный проектор

в С (К) (§ 7) со старшим весом X, X — (G). Далее, пусть я — вполне неприводимое представление груп пы G в банаховом пространстве Е. Для каждого г Е Х положим

(х) =	2 SP п (еххег).
	X
П р е д л о ж е н и е	7. Функционал sK(х)	сущест
вует для всех х £Е X и удовлетворяет оценке
К (х)\|<Л Т е(х),		(*)

где константа М зависит от supp х, е (х) = (ех, ех)' 2,

е — центральный оператор	в U (fG) такой,	что *)
ях (е) = га£-1,	их = (Н тях.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Положим хх =	ехх. Со

гласно оценке Хариш-Чандры — Годмана (см. доказа

тельство теоремы 37), dim ехЕ	п\, т. е. sn (хх)	=
= sp (еххех) существует, причем	I Xх (g) I dg,
\|Sr. (Я*) I < п\ I я (Xх) I < М 0н2 5	I Xх (g) I dg,
где положено М 0 = max \|я (g) \|\|,	max берется	по

g €Е supp х. Полагая у — ех, находим, что хх = тгГ'рхДалее, пусть s' (х) — частичная сумма ряда sn (х) по X ^ Я0. Имеем:

I s'(х) КЛ/02 ПIх JI г/х(g) \dg = М 0$2 Ч 11у>- (я) I dS <

X	X
< м о S (S « х 2)	h (SI г/х ( g ) I2) “ dg<
X	X

( S I (§) ? j hd g <

*) Напомним, что f — алгебра Ли группы К , л,х — неприво димое представление группы К со старшим весом X.

218

(Здесь

суммы

берутся по

Х0,

однако

sup2jHx2 <

-< оо.)

Переходя к пределу при Х 0 —>

оо,

находим ( к).

Предложение

доказано.

Функционал

непрерывен

С л е д с т в и е

топологии X .

Если

Е — гильбертово

пространство,

то операторы я (я), х £Е X, являются ядерными, при

чем s„ (х) = sp я (х),

х ЕЕ X.

представления

я в

ал

Пусть

кет я — ядро

гебре X . Для каждой пары х, у £Е X

положим

В (х, у) = sn (ху).

Л е м м а

Идеал

J K является

ортогональным

дополнением к

X относительно

В (х,

у).

J_ X. С дру

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ясно,

что

гой стороны,

если z Е

z _j__ X,

то

л {ekzex) ортого

нально

я (ехХ ех) для

каждой

конечной

суммы

ея

проекторов е'х,

р. <

Согласно

предложению

8.8,

л (e^Xex) — полная

матричная

алгебра

я (е*,) Е.

Следовательно,

я (e^zek)

0 для всех X,

т. е. я (z) =

О,

z ЕЕ /* .

Лемма доказана.

я (X х)

в подпрост

Положим X х = ехХе*,

ранстве я (е-х) Е.

10.

я^

я2 — вполне

П р е д л о ж е н и е

Пусть

неприводимые

представления

группы

G в банаховых

пространствах Ег, Е2. Следующие утверждения равно сильны:

1°-	=	s„,.
2°.	Jni =	Jn,-	я2 (X х) отличны от ну
3°. Представления jTj (X х),
ля и эквивалентны хотя бы при одном X.
4°. Представления ях, я2 эквивалентны по Наймарку.
5°. Представления ях (X#),			я2 (Х #) эквивалентны *).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Согласно лемме 9,1° =4- 2°.

Если выполняется 2°, то конечномерные представления

(X х),	я2 (X х)	имеют		одинаковые ядра и потому
эквивалентны (предложение 2), т. е. 2°					3°.	Согласно
[66], 3°	4°. Ясно		также, что 4° =#■ 5° =#> 1°.			Предло
жение доказано.
Напомним, что X — двусторонний идеал в алгебре
Y = 3) (G).
*) Напомним,		что	X #	— прямая сумма	Х Х1Л= ех Хе^,

X, р <= Л. Вместо эквивалентности по Наймарку можно рассмат ривать инфинитезимальную эквивалентность.

219

Смотрите также файлы

Жунина, Л. А. Пироксеновые ситаллы.pdf

Завадский, С. Основы регионального планирования.pdf

Замарашкин, Н. В. Стабилизация следа затянутой обуви формованием.pdf

Зуев, В. Е. Лазер-метеоролог.pdf

Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно