Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

А. АЙВАЗЯН, 3. И. БЕЖАЕВА, О. В. СТАРОВЕРОВ

ПАССИФИКАЦИЯ

МНОГОМЕРНЫХ

НАБЛЮДЕНИЙ

«СТАТИСТИКА» 1974

Гос* оувлѵчи** млучмо-твхничвомѵі

бибп:'0тѳиа оР

uut>й Ы & К ± М В *

уч- м&о

В работе показаны основные направления социально-эконо­ мических исследований, в которых излагаемые методы целесообрг

тиков и других специалистов, использующих математико-статис ческие методы при обработке многомерных наблюдений.

СЕРГЕЙ АРТЕМЬЕВИЧ АЙВАЗЯН ЗИНАИДА ИВАНОВНА БЕЖАЕВА

ОЛЕГ ВАСИЛЬЕВИЧ СТАРОВЕРОВ

КЛАССИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

, Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, И-41, Б. Переяславская, 46

ИЗДАТЕЛЬСТВО «СТАТИСТИК^»,

математических приемов статистической обработки информации, с од­ ной стороны, и самой этой информации — с другой, зачастую приводят* к бездумному, формальному применению различных математических методов, к ситуациям, в которых исследователь невольно теряет из ви­ ду основную цель производимых им вычислительных манипуляций.

Вычисление не вместо здравого смысла и глубоких профессиональ­ ных знаний исследуемого предмета, а лишь как дополнение последних, проводимое после тщательного профессионального анализа (и парал­ лельно с ним) и подбора соответствующих математических приемов

исследования, — к сожалению, этот тезис зачастую придается незаслу­ женному забвению.

К разделам, где эта тенденция «беспорядочного счета» проявляется достаточно выпукло, безусловно следует отнести совокупность разно­ образных методов, объединенных целью классификации объектов, пред­ ставленных многомерными наблюдениями, и целью выявления однород) ных в некотором смысле групп (типов) этих объектов с одновременны^ максимальным сжатием перерабатываемой при этом информации. '

Отчасти это можно объяснить тем, что данный раздел (классифика­ ция многомерных наблюдений и методы снижения размерности) лежит на стыке самых различных дисциплин как математических: теория ве­ роятностей и математическая статистика, логика, алгебра, теория при­ ближения функций, — так и нематематических: психология, биология, медицина, техника. В зависимости от специальности и природы исполь­ зуемых методов исследователь называет этот раздел распознаванием образов или таксономией, кластер-анализом или дискриминантным ана­ лизом. Дело осложняется тем, что в задачах классификации многомер­ ных наблюдений широко используются (и не без успеха) разнообразные эвристические методы, т. е. методы, не опирающиеся на строгую мате­

матическую модель и не допускающие сколько-нибудь полного и обо­ снованного исследования их свойств.

Заметим, кстати, что необходимость анализа и формализации задач, связанных со сравнением и классификацией объектов, сознавали и уче­ ные далекого прошлого. «Его (Аристотеля) величайшим и в то же время чреватым наиболее опасными последствиями вкладом в науку была идея І

но выбранном изделии г-го класса, примет значение, равное или до­ статочно близкое к ІГ — ..., ц <р)).

И, наконец, поскольку набор признаков X, как правило, не опреде­ ляет наверняка номер технологического режима, при котором изготов­ лялось соответствующее изделие, то при любом правиле классификадии, опирающемся на X, неизбежно возникают потери от отнесения >бъекта г'-го класса к классу с номером /, которые мы будем в дальнейіем обозначать с помощью С (j/i).

хФ

Рис, 1.4. Результаты измерения внешних признаков

исследуемых изделий, из­ готовленных в различных тех­ нологических режимах, пред­ ставленные графически: в пер­ вом режиме точками; во вто­ ром — крестиками; в третьем —

кружочками

Очевидно, выбор правила классификации рассматриваемых объек­ тов сведется, таким образом, к выбору способа разбиения всего про­ странства X возможных значений исследуемого признака X на три области: S1; S 2, S 3. Пример соответствующего разбиения приведен на „•рис. 1.4. Тогда наблюдение Хи т. е. 1-е изделие, относится к і-му клас­ су, если оказалось, что оно попало в область Si. При этом естественно

4 П

"Т Ci (/ I i) = nC ( /11) и будут расти с ростом числа объектов. Поэтому

.инимизируют относительные потери, т. е.

— S с і (/ (г) = С ( /1г).

п 1=1

31

Выясним статистический смысл этой суммы. Обозначим через п (г)— общее число объектов г-го класса, а через т (/1і) — число объектов г-го класса, отнесенных к классу /'. Тогда, собирая слагаемые с одним и тем же / и одним и тем же і, получим, что

объектов будут примерно равны величине 2 я гСг, т. е. средним потерям,

І — 1

возникающим при данном правиле определения класса произвольно взятого объекта.

Легко обнаружить, что при специальном виде потерь

минимизация относительных потерь эквивалентна максимизации ве­ роятности правильной классификации. Действительно,

= с 1— 2 яір (і Iо

/= 1

32