Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Естественным обобщением рассмотренного примера является многомерный случай, когда элементами выборки у i, уг, . . . , у „ являются r-мерные нормально распределенные векторы. Стоит задача: по результатам наблюдений необходимо оценить вектор математического ожидания т „ и ковариационную матрицу К,/.

Функция правдоподобия

г/2

1Ку I 1/2 6ХР [ — y (Уг'—т!/) Тки 1 (Уг~ П1г/)}=

Оценки максимального правдоподобия в данном случае:

П

7 - 1

Когда функции правдоподобия не допускают аналитического ис­ следования корней уравнения правдоподобия, для определения оценок максимального правдоподобия необходимо привлекать ите­ рационные методы поиска экстремумов. В одномерном случае реше­ ние подобных задач может быть найдено графическим способом. Для этого нужно функцию правдоподобия нанести на график и визуально определить искомые оценки. При этом очень просто ука­ зать доверительный интервал найденной оценки.

§ 7.8. .АЛГОРИТМЫ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

При обработке и анализе' экспериментальных данных широкое применение находит метод наименьших 'квадратов. Вычислительная процедура, соответствующая методу наименьших квадратов, позво­ ляет найти искомые оценки параметров и может быть получена как результат решения следующих уравнений:

где y(ti) — i-й элемент выборки результатов наблюдений у и г/2, ....

Уп\ фОО —заданная функция; a f — оценки неизвестных коэффици­ ентов ay ti — момент времени, соответствующий гднаблюдению.

173

Физический смысл уравнений (7.8.1) состоит в том, что в каче­ стве оценок 'параметров ctj необходимо принять такие значения a f, которые минимизируют сумму квадратов отклонений результатов наблюдений от аппроксимирующей кривой.

В общем случае задача определения оценок параметров a f сво­ дится к разработке методов поиска корней следующей системы уравнений:

174

то систему уравнений (7.8.4) можно записать в матричном виде:

ный квадратный многочлен относительно переменных а,*, а 2 , .... яА то минимум (7.8.1) всегда существует и бывает единственным при

Если матрица В вырожденная, то система уравнений (7.8.4) 'бу­ дет иметь несколько линейно зависимых решений.

Метод наименьших квадратов позволяет в классе линейных оце­ нок находить такие оценки, которые являются эффективными среди всех линейных несмещенных оценок. Причем, это свойство не зави­ сит о-т вида распределения элементов выборки у\, у2, ...,jyn-

175

зующая точность расчета оценок а,*.

Приведенное соотношение определяет как бы предельно достижимую точность оценок, получаемых на основании метода наименьших квадратов. Это объясняет­ ся тем, что выражение (7.8.12) не учитывает ошибок, возникающих в процессе расчета оценок на вычислительных машинах. Количественно охарактеризовать эту группу ошибок очень трудно. Однако общие закономерности указать можно, со­ стоят они в том, что при увеличении объема выборки п так же, как и при возра­ стании степени аппроксимирующего полинома г, матрица В становится менее обусловленной. В свою очередь этот факт приводит к возрастанию роли ошибок округления при расчете оценок аД по формулам (7.8.10).

Влияние ошибок округления на точность получаемых оценок прямо пропорцио­ нально квадратному корню из отношения наибольшего собственного значения сим­ метрической матрицы В к ее наименьшему собственному значению [34]. Если ука­ занное отношение превышает 104, то полученные оценки не будут приемлемой точ­

//* ( « = 2 K [ n - i ] y ( t , ) .

г-о

Точность подобных оценок, если шумы измерений г/(/,-) гауссовы, для рассматриваемых примеров равны:

при Г=1

2«»(2 я+ 1)

176

В методе наименьших квадратов, так же как и при использо­ вании методов обработки экспериментальных данных, изложенных в предыдущих параграфах, предполагают, что математическая за­ висимость ср(£, а), описывающая процесс изменения полезного сигнала x(t), известна с точностью до некоторой группы парамет­ ров а = ( а ь а2, ••., аг)- Однако в реальных условиях таких сведений может и не быть. В этом случае возникает задача разработки про­ цедуры, позволяющей в заданном классе функции Н выбирать та­

разностной сетки tu i=l, 2, ..., п. Для сравнения различных реше­

Ф*(^, а*) и найденные значения параметров а* должны удовлетво­ рять уравнению

а, ?н

Взависимости от качества априорной информации, характера распределений уи а также сложности аппроксимирующих функций

<рн (t, а )е Н , конкретные выражения для Wn,tt будут различными.

Однако для понимания существа рассматриваемых явлений важно знать, что Wн, </ = 1^н1// (бф, 6Д характеризует как динамическую

точность 6d приближения ф* (t, а) к х(Д, так и случайные ошибки

6ф описания x(t) с помощью фн (t, а*), когда оценки а* найдены

—V

по выборке у7i ограниченного объема.

В методе наименьших квадратов в качестве Wn.t. обычно при­

нимают квадрат суммарной ошибки, равный сумме квадратов ди­ намической бд-и случайной 6ф ошибок.

Для определения ба нужно знать способ конструирования x{t) с помощью функций фн (t, а). Конкретное выражение б<г можно по­ лучить только на основании теоретических исследований.

Чтобы найти бф нужно располагать сведениями о точности рас­ чета оценок а* при условии, что рассматриваемая функция фн {I, а) точно описывает полезный сигнал x(t).

В условиях полной информации (известен закон распределения p(yi) и x(t) точно описывается некоторой функцией cpH(t, а ) е Н ) влияние флуктуационных ошибок измерений на Wh,^ можно

.177