Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Пример. Если система и процессы измерений описываются уравнениями

Х;+1 = Фхг + На,-;

тельного устройства (скалярная нормально распределенная переменная с диспер­ сией ст^), п стоит задача уточнения начального вектора состояния по результатам

последующих наблюдений у0, У\,.. . , у%, то алгоритм переоценки, может быть за­ писан в виде:

то алгоритм (7.6.18) будет соответствовать режиму последовательного уточнения коэффициентов сглаживающего полинома « степени, когда интервал квантования входной информации равен т и привязка коэффициентов полинома осуществляет­ ся к левому концу временного интервала наблюдения.

Прием, посредством которого можно избежать довольно трудоемкие вычис­ ления при нахождении интегралов видов (7.6.14) и (7.6.15), заключается в сле­ дующем: если удается установить взаимооднозначное соответствие между теку­

169-

щим вектором состояния системы и его начальным значением, то задачи пере­

оценки апостериорных распределений р(х,-+1 |у;-н) могут быть трансформированы в задачи, решение которых должно определить алгоритм последовательного уточ-

нения распределений начального вектора состояния р (х0,гц-1 1Уг-и) -

Достоинство такого перехода состоит в том, что распределение /?(x,-+i|х,-, и,-) вырождается в б(х,+, — х.) распределение и операции интегрирования уравнений (7.6.14) и (7.6.15) по х( сводятся к простой замене в подиитегральиых функциях х,- на Xi+i.

Если система описывается линейными разностными или дифференциальными уравнениями, а шумы измерений подчиняются гауссовому распределению, то этот прием позволяет сравнительно просто получить правило нахождения p(x0,i+i |y;+i)r а затем, используя законы линейного преобразования, найтиалгоритм расчета апостериорных распределений для текущего вектора состояния х,-+1.

§ 7.7. ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

При отсутствии априорных сведений широко используемым спо­ собом оценки выходных показателей является метод максимально­ го правдоподобия. Для определения оценок по этому методу состав­ ляют уравнения:

решают их и в качестве оценок выходных показателей R берут мак­ симально правдоподобные значения. Следовательно, оценка макси­ мального правдоподобия удовлетворяет уравнению

шах/(уя |/?)= /(у „ |/?’).

R

При использовании метода максимального правдоподобия необ­ ходимо знать:

1.Существуют ли корни уравнения правдоподобия (7.7.1)?

2.Обращает ли найденный корень в абсолютный максимум

функцию правдоподобия /(уп!•/?)?

Если известны ответы на поставленные вопросы, то можно оха­ рактеризовать свойства оценок максимального правдоподобия. Например, если найденный корень уравнения обращает неравенст­ во Крамера — Рао в равенство, то можно утверждать, что получен­ ная оценка будет эффективной и 'более точной оценки найти нельзя. Доказательство этого утверждения основывают на том, что в дан­ ном случае просто реализуется верхняя грань точности, которая в принципе может быть достигнута при идентификации параметров по результатам проведенных наблюдений.

Обычно неравенство Крамера — Рао записывают в виде

Е {(ЯГ- R f } > ^ {R)- ■,

170

где /г — объем выборки; y2(R) —величина, численно равная

[l+tfp WldR]2

уЧЯ)=

in г ( у i /?)

l ( y \ R ) d y

dR

где p(7?) — величина смещения, рассчитываемая по формуле

Р (R) = E m - R .

При достаточно общих предположениях, какими являются сле­ дующие условия:

1)если R i =R2, то liy\Ri)=l(y\R2) почти всюду в области оп­ ределения R[, R2 (однозначность функции правдоподобия);

2)если R0 является истинным значением оцениваемого парамет­

ра, то

{непрерывность логарифмической функции правдоподобия в точке

R=Ro);

3) для любого е>0 существует 6>0 такое, что для всех R u R2,

4) если функция правдоподобия l(y\R) имеет единственный максимум, что соответствует одному корню уравнения (7.6.1), то можно показать состоятельность оценок максимального правдопо­ добия, т. е. —7?| ^е}->-0 для любого е>0.

Если от функции правдоподобия потребовать также, чтобы при

каждом уп функция /(у„| R) была дважды непрерывно дифферен­ цируема по параметру R, то можно доказать асимптотическую нор­ мальность распределения получаемых оценок с параметрами R и дисперсией:

где L — логарифмическая функция правдоподобия:

£(Ул|/?) = 1ч/(уя | Я). -

Используя асимптотическую нормальность оценок максималь­ ного правдоподобия, можно доказать их асимптотическую эффек­ тивность [4], [28], [39].

Эти выводы получают для рассматриваемых условий с исполь­ зованием неравенства Крамера — Рао при п-*-оо.

171

Для малых объемов выборок, когда известно, что эффективная оценка существует, принцип максимального правдоподобия гаран­ тирует получение именно этой оценки и при сделанных предположе­ ниях регулярности функции правдоподобия найти более точную оценку нельзя [31], [44].

Первые результаты по определению условий состоятельности и асимптотической эффективности оценок максимального правдопо­ добия были получены Г. Крамером.

С результатами исследований, которые характеризуют возмож­ ности ослабления некоторых условий регулярности функции прав­ доподобия, можно ознакомиться в работе [38].

I (ул I ту) = |"~[ — —=--- ехр [ —(гii —w,/)2 (2<ф ) =

у у

= (1/авУ(2я),,/2) exp J - V (&l - т „ П (2 ° 1 ) }■

Записывая (без учета множителя (2я)- "/2)

!=1

п

д In I (ул 1<ф

да2и

нетрудно получить алгоритмы построения оценок:

п

i-1

Относительно этих оценок можно сказать, что ту* несмещенная оценка, а у*2 смещена, так как

172