Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

&7.6. БАЙЕСОВА ПРОЦЕДУРА ОЦЕНКИ

Байесов подход возможен ври наличии априорной информации о законах распределения оцениваемых показателей качества или эффективности. Методы определения стратегий оценки параметров для этого подхода хорошо изучены и сводятся к минимизации среднего риска:

качества; уп — наблюдаемая выборка, полученная либо при статис­

тическом моделировании, либо в процессе проведения натурных

—>

где l(yn\R) — функция правдоподобия или совместная функция плотности вероятности временного вектора у„.

Переоценку априорных распределений показателя R в апосте­ риорные осуществляют на основании формулы Байеса:

Если ввести условный риск относительно наблюдаемой выбор- —►

ки уп

то средний риск можно записать в виде:

• Р[^(У„)] = 1 Ру[Я*(У«), R]pGn)dyn-

Так как функция плотности вероятности р(уп) положительна во всей области определения уп, то минимизация среднего риска экви­

фиксированной выборки у„. С математической точки зрения реше­ ние возникающих функциональных уравнений для всевозможных

выпуклых положительных функций потерь W[R*(yn), -К] всегда су­ ществует' и может быть найдено, например, с помощью градиентно­ го метода поиска экстремумов [27].

164

Вычислительная реализуемость байесовой процедуры оценки в значительной степени зависит от сложности математического описа­

получают наиболее простыми, а при гауссовых распределениях их решение может быть найдено в аналитической форме. Однако в не­ которых случаях указать конкретный вид функции потерь очень трудно. Поэтому, когда функция потерь неизвестна, на практике в качестве оценок искомых параметров принимают такие, которые максимизируют значение апостериорной функции плотности веро­

ятности p(R |уп).

При отсутствии априорных сведений, оставась в рамках байе­ сова подхода, можно рассматривать задачи, связанные с поисками таких наиху^ших априорных распределений w(R), которые гаран­ тируют определенную оптимальность получаемых оценок в самых неблагоприятных случаях. Если решение подобных задач удается найти, то говорят, что полученный алгоритм расчета оценок реали­ зует стратегию минимаксного типа в том смысле, что удовлетворяет уравнению

данных, чтобы сохранить замкнутость и логическую обоснованность байесова подхода, нужно принять гипотезу, что все значения истин­ ного показателя R равновероятны, т. е. w (R) =const.

При оценке характеристик реальных систем, когда все физиче­ ские переменные ограничены размерами области своего изменения, практическое использование постулата Байеса приводит порой к противоречивым заключениям. В этом нетрудно убедиться, если рассмотреть задачу оценки дисперсии нормально распределенной случайной величины двумя различными способами, которые по свое­ му смыслу должны привести к одному и тому же результату.

Первый способ заключается в том, что сначала рассчитывают оценку среднеквадратического отклонения а, а потом с помощью известных преобразований находят оценку дисперсии о2. Реализа­ ция второго способа оценивания состоит в непосредственном расче­ те величины дисперсии по наблюдаемой выборке.

Чтобы найти искомые оценки, используя постулат Байеса, запи­ сывают априорные плотности вероятности

для о

165

ддя а2

Рассматривая одну и ту же выборку, например выборку еди­ ничного' объема, получают, что функции правдоподобия для оцени­ ваемых параметров должны быть равными и записываться в виде:

Тогда на -основании формул (7.6.3), .(7.6.7) и (7.6.8) можно оп­ ределить распределение апостериорных вероятностен:

где си с2— -некоторые константы.

Принимая во -внимание, что cfa=da2/2y о2, нетрудно получить распределение pi(a2[y), соответствующее распределению р \(ст| у ):

рх{ з Ч у )= { с ^ 2) е г - у ^\ ofnin< = 2< = 2iax.

Сравнивая Р\{о2\у) с p2 (oz\y), можно убедиться -в том, что по­ лученные апостериорные распределения отличны друг от друга, а следовательно, будут разными и оценки величины дисперсии, хотя, исходная выборка была -одной и той же. Этот факт обусловлен не­ однозначностью, -которую допускает постулат Байеса при выборе априорных распределений.

Пример. Пусть задана выборка результатов наблюдений у\, у 2, . . . . у п- Относительно выборки известно, что закон распределения гауссов с плотно­

стью вероятности, равной

Требуется определить оценку математического ожидания при условии, что величина дисперсии сг„2 .известна, а априорное распределение оцениваемого па­ раметра

где do, яг0 — заданные параметры.

В качестве функции потерь выберем функцию

W { т*у, т о) = (т* —т у ) 2 .

J66

Далее находим совместную функцию плотности вероятности значений Ух, i =

= 1, 2, .. . . п

Рассмотрим более сложный случай байесовой оценки парамет­ ров, характеризующих качество управляемых систем, в которых процессы смены состояний описываются многомерными марковски­ ми цепями.

167

Пусть исследуемая система вместе с измерительными устройст­ вами описывается разностными уравнениями:

где х, — «-мерный вектор состояния в i-й момент; и, — г-мерный вектор управления в i-й момент; у, — /n-мерный вектор наблюде­ ний в i-момент;’|г, гц— взаимно независимые случайные шумы из­ мерительных устройств и отклонения параметров в г'-й момент.

Чтобы проиллюстрировать байесову процедуру оценки вектора х,-, будем предполагать, что априорное распределение вектора х0 задано и закон распределения р (y»+i |x,-+i), определяющий точность измерений, известен.

Для нахождения искомого апостериорного распределения р(х,-+1|у0, уь ..., yi+i) рассмотрим равенство:

Выражая р(Уг-н|Уг) и р(х{+1, Уг+^Уг) через известные распреде­ ления, получают:

Р (Уi+i I У,-)= J Р (X/1 У/)Р (xf+11x /tu,) р (уг+11х г+1)Д (х„ х /+1), (7.6.14)

р(х,-+1, у /+11у , ) = J р (х, | y j р (х ,+1 1х /+1, и,-) р (у,+11xi+1) dxt. (7.6.15)

Соотношение (7.6.13) позволяет записать рекуррентный алго­ ритм переоценки апостериорных распределений:

аналитические соотношения.

168