Файл: Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 161

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Координаты этих точек

соответственно равны х1у1

и

х2у2.

Обозначим разность у2

— уг = а и х2 — хх

= Ь. При ди­

скретном перемещении

от точки К к точке L (от хг

к

х2)

необходимо сделать т

шагов по п -f- 1 на

— т

шагов

по п. Тогда отношение перемещений в направлении осей у

и

х будет

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

b

(а~т)

 

n +

m ( r t - f l ) '

 

Во-вторых,

никаких

других

шагов, кроме как по п

и

я + 1, быть

не

может,

так

как в противном случае

 

 

НО

 

 

 

 

п о

 

 

Пи

 

 

 

 

пи

 

 

 

 

 

 

пи

 

 

 

 

 

 

 

пи

 

 

BP

 

 

 

пи

 

 

 

 

 

пи

 

 

 

пи

 

 

 

н о

 

 

 

Во

 

 

 

пи

 

 

 

пи

 

 

 

пи

 

 

 

nU

v

7

 

 

 

ХФЗ

Во

х®5

НИ

 

iv

 

н а

 

о

а а п

nnnooom i _,

 

 

НН

ВН

нннраа

 

s s s s s s —

8

8

S B

— h f *

 

 

 

 

Рис.

90

 

прямая имела бы угол наклона больше, чем ф 1 ? или меньше,

чем ф2 - Из этой теоремы вытекает важное следствие: Характе­

ристика фасада произвольной прямой, угол наклона ко­ торой лежит внутри угла, образованного двумя смежными базисными прямыми, состоит из определенной последова­ тельности характеристик фасадов этих базисных прямых.

Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что любая небазисная прямая может быть представлена ломаной линией, каждым из звеньев которой является базисная прямая со стандартной характеристикой фасада (рис. 91). При решении задачи замена прямой ломаной линией не вносит погрешностей в ответ, так как макси­ мальное отклонение точки излома ломаной от теорети-

9*

131

ческой оси прямой не превосходит 0,1 мм (половины вели­ чины линейного размера растрэлемента), т. е. отклонение не выходит за пределы толщины линии, которая обычно равна 0,5—0,8 мм.

Отмеченное выше следствие позволяет определить Хф любой прямой, если известны две точки, через которые проходит прямая.

Пусть xlt уг и х2, у2 — координаты точек, принадле­ жащих прямой. Эта прямая имеет угол наклона ф, при-

 

 

 

 

Рис. 91

 

 

 

L (х 2 ;

уг )

чем

ф х

> ф >

ф2 , где

ф а и ф 2 — углы

наклона

ближай­

ших

базисных

прямых

с Хф,

равными

п

и п +

1.

Если

нельзя

представить заданную

прямую

с

Хф

= п

(или

п +

1),

то это

можно

сделать

чередованием в

определен­

ной последовательности Хф ближайших базисных прямых,

т.

е.

чисел

п

и

п +

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

определения

Хф

произвольной

прямой:

 

 

 

1)

определяем

значение а = у2 — ух

и Ъ — х2—

х-\

 

2)

находим

дроби

вида

~~ и n_|_ t »

удовлетворяющие

неравенству

—

v .

а .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

>

-г- > ——г-;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n + 1 '

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

J

 

п

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

вычисляем

тангенс

угла наклона прямой,

имеющей

Хф

п,

п +

1, для

чего осуществляем

«сложение»

дробей:

 

 

 

 

 

 

1

+

1

 

_

1 +

1

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

1

П + 1

rt+

(л +

1)

'

 

 

 

 

4 ) определяем, между какими двумя

из трех

прямых

1

1

1

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

— ; -—г—г ;

— г - г — г г расположена заданная прямая

- г - .

л ' п + 1 ' л + (л + 1 ) ^

 

 

 

 

 

 

^

 

Ь

 

Сравниваем

Ь

с — ;

— \ - г \ » 2,

, .

Возможны

два

 

r

 

 

 

 

 

л

n + 1

2л + 1

 

 

 

 

"

случая:

1) г — — г >

- г - >

— г — р 2 ) — >

— > -г——г.

3

 

 

7 2 п + 1

 

6 - ^ r t + l '

 

' л

 

6

2л + 1

 

132

Далее поступаем аналогично п. 3 и 4 — вычисляем тангенс угла наклона прямой, Хф которой равна п, п + 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

п -4- 1 (или п, п 4-

1, п): 5

—

-

]

 

 

г-г = —г-?—,

 

, . — г - т т

 

'

4

2

'

1

'

 

' 2/г

+

1

1

п +

1

/г +

(п +

1)

+

(я

+ 1)

или

 

.

 

1

=

3

 

 

— r — m — ' »

сравниваем

а

-т—г—г

-\

 

 

 

 

 

- г -

 

 

 

3

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

3

 

\

 

 

 

 

С

 

г-; .

, .

 

г-гт

 

 

ИЛИ

С

 

 

г—.——г—.

 

 

ВНОВЬ

ВОЗ-

 

п + (п+1)

+ (п+1)

 

'

V

 

 

3

п + ( л + 1 + л / '

 

1

 

 

можны

два

случая:

 

— г — . — ,

 

.

.

>

а .

 

 

или

 

1) +

. —— гт

- г - >

 

— — г -

1

-

а

 

 

 

3

 

л +

(я +

 

1)

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я

>

Ъ

> п + ( п + \ ) + п

И

Т-

 

Д'

продолжаем до

тех

пор,

 

Описанные

выше

операции

 

пока

разность

 

a

 

 

 

m

 

 

 

. , — г - m

 

 

 

а

- г

 

•——.—.

 

и л

и

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

Ь

 

 

я + (я + 1) + (л + 1) + • • •

 

 

6

 

 

г-;—, "I ,

 

:

 

не

будет

 

равна нулю или какой-ли-

 

п -j- (п - j - 1) -\-п + • • •

 

 

'

 

 

r

 

J

 

 

 

 

 

бо

наперед

заданной

величине.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поясним

сказанное

на

конкретном примере

определе­

ния Хф прямой, если известны координаты двух ее точек. Пример. Даны точки К и L . Определить Хф прямой, проходящей через эти точки. Значение координат точек

равно:

 

 

 

 

 

(•)

К;

хх

=

148;

ух

=

 

51;

 

 

 

 

 

 

 

 

(•)

L ;

х2

=

173;

у2

=

 

58.

 

 

 

1. Определяем значение тангенса прямой

 

 

 

2.

Находим дроби

- i - и ~ ,

удовлетворяющие

неравен-

 

 

 

 

 

 

t g

_ 3

У2

— У1

_

7

 

 

 

 

 

ству

1 ^

7

^

1

/

1

1

,

 

 

 

 

 

-

ближай­

- д - >25~ >

4" ( "з" и

~4—~х § углов наклона

ших базисных прямых / и

II).

 

 

 

 

 

 

 

3.

Вычисляем тангенс угла наклона

прямой

/ / / . и м е ю ­

щей

Х $ —

3,

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

/—•///"'или

4.

Определяем,

между

какими

прямыми

•//—///

лежит заданная

прямая

2

 

 

7

" 1

 

 

.-у- > -^g- >

- j - •

По

аналогии

с

предыдущим

находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

прямую

I V , тангенс которой

равен -ур

»

а

3;

4;

4;

 

 

 

 

 

1

 

7

 

3

 

3

 

 

1

4

 

 

прямую

У - 3 -

>"25

> 7 Г ;

t g =

1 7

+

Т " = 14; Х ф

3 ;

4 ; 4 ' 3 ;

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

133

 

П р Я м у ю

vi J*. > 2^ > _ L • t g _ L +

J_. =

_ A . X 0 3 ; 4 ; 4 ;

3;

4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямую v / / 4 - > ^ - > - ^ ;

 

tg-^- +

- f

=

^ r ; х * з ;

4 ;

4;

3;

4;

3;

 

6

7

1

6

 

 

1

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п р я м у ю ! / / / / — > ~ 2 5 > T - ; ^ 2 Г + Х =

2 5 ;

3 :

4 |

4;

3;

4;

3;

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

=

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

~

25 -

 

 

 

 

 

 

Искомая Хф прямой равна «3, 4, 4, 3, 4, 3, 4». Х $ дан­ ной прямой можно записать также последовательностью чисел «4, 4, 3, 4, 3, 4, 3» или «4, 3, 4, 3, 4, 3, 4». Вообще допускается циклическая перестановка чисел характери­ стики фасада.

Пользуясь Хф, можно установить признак парал­ лельности и перпендикулярности прямых, состоящий в том, что параллельные и взаимно перпендикулярные прямые имеют одинаковую характеристику фасада: в пер­ вом случае Хф прямых имеет одинаковые знаки, во вто­ ром — противоположные. Данные признаки позволяют разработать рекомендации для ЭЦВМ по «проведению» через данную точку прямой параллельной или перпен­ дикулярной заданной. Используя только характеристику фасада прямых, можно осуществить машинное выполне­ ние операций, которые в процессе геометрических по­ строений соответствуют проведению прямой: через две точки (оператор / ) ; через точку параллельно заданному направлению (оператор / / ) ; через точку перпендикулярно другой прямой (оператор III),

I I . СПЕКТР ПРЯМОЙ

В процессе подготовки задачи для машинного решения необходимо рассортировать числа (координаты растрэлементов) по их принадлежности к одной линии. Когда линии на чертеже пересекаются, использование свойств характеристики фасада для решения этого вопроса ока­ зывается недостаточным. Ключ к машинному решению такой задачи находим, воспользовавшись результатами исследования «структуры строения» прямой.

Рассматривая прямую как множество расположенных в определенной последовательности (без разрывов) растрэлементов, можно подойти к понятию структурного строе­ ния прямой, исследование которого показывает, что для

134

прямых, имеющих разную величину угла наклона, взаим­ ное расположение растрэлементов различно. При этом для каждой прямой (точнее для каждого угла наклона) существует строгая закономерность в их расположении и периодическая повторяемость этой закономерности при переходе от одного участка прямой к другому. Все мно­ жество растрэлементов, образующих прямую, может быть распределено по группам (рядам), каждая из которых со­ держит одинаковое число растрэлементов. В свою очередь,

растрэлементы,

входящие

в один

ряд, могут

быть

отне­

сены

к различным

типам.

Признаком для определения

типа

служит

характер

 

 

 

 

 

 

 

 

расположения

внешних

 

 

 

 

 

 

 

 

(в дальнейшем будем

 

 

 

,

 

 

 

в

называть

их

свободны­

 

 

 

•

•

•

•

в

ми) растрэлементов, гра­

 

 

 

J 0 B B 0 @ I S E 3 @

 

ничащих

с

рассматри­

 

ваемым растрэлементом,

 

 

 

 

 

 

 

 

принадлежащим

пря­

 

 

 

 

 

 

 

 

мой. Зона вокруг растр-

 

 

 

 

 

 

 

 

элемента,

которую

не­

 

 

Рис. 92

 

 

 

обходимо

обследовать,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет ту же форму и

размеры,

что и зона

«jV-окрестно-

стей»,

уже использованная нами для слежения

за линией

(см. § 5, рис.

30).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например: пусть дана прямая MN, имеющая харак­

теристику

фасада,

равную

четырем (рис. 92). Все множе­

ство растрэлементов, образующих прямую MN, по ука­

занному признаку

можно

отнести к шести

типам:

 

I

тип [ о ] — растрэлемент

имеет

слева и

сверху

свободные

 

 

 

 

растрэлементы А,

В, С, D*\

 

 

 

 

 

I I

тип [—] — имеет

свободными

А,

В, С;

 

 

 

 

 

I I I

тип [ • ] — имеет

свободными

А,

В, Н;

 

 

 

 

 

IV тип [Щ] — имеет

свободными

A,

G, Н;

 

 

 

 

 

V тип [ + ] — имеет свободными

F,

G, Н;

 

 

 

 

 

V I

тип [ % ] — имеет

свободными

Е,

F, О,

Н.

 

 

 

 

При движении по MN в любом направлении эта комби­ нация будет периодически повторяться. Совокупность пе­

риодически повторяющихся растрэлементов, принадлежа­ щих прямой, назовем спектром прямой. Простейший спектр имеют базисные прямые. Спектр таких прямых располагается в одной строке (столбце) (рис. 93). Число

Расположение растрэлементов А, В, С, D, Е, F, G, Я показано на рис:. 300.

135

Смотрите также файлы