Файл: Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика.pdf

Рис. 80

Каждая из этих плоскостей определяется на чертеже тремя точками:

Прямые q и г принадлежат одновременно обеим задан­ ным гиперплоскостям со3 и р3 , следовательно, они лежат в плоскости их пересечения а2 .

Задача будет решена, если мы построим на чертеже проекции прямых q и г. Для этого рассечем плоскости а 2 , В2 , у2 и б2 произвольными проецирующими гиперплоско­ стями у3 (Y3 )I23 И х 3 (х3 )Ьз и найдем линии их пересечения

120

с четырьмя указанными плоскостями. Гиперплоскость у3 пересекает плоскости ос2 и б2 соответственно по прямым / (/12) и 4 {4\2), каждая из которых определяется двумя точками / = XIII и XIV; 4 = XV и XVI. Прямые / и 4 лежат в одной плоскости, определяемой двумя вспомога-

Р и с . 81

тельными гиперплоскостями и.3 и у3, поэтому они имеют общую точку А, проекция которой А'п, определяется пере­

Проводим аналогичные построения для плоскостей у2, и б2 и находим также две точки, которые определяют пря-

121

мую г (на рис. 80 показано построение только одной точки С, которая совместно с точкой В определяет пря­ мую г). Точка С так же, как и точки А и. В, принадлежит искомой плоскости с 2 . Две другие гиперплоскости (на рис. 80 не показаны) пересекаются по плоскости т2 .

В результате выполнения первого этапа задачи получим две плоскости а2 и т2 , расположенные в четырехмерном пространстве. Эти плоскости пересекутся в точке. Для нахождения этой точки воспользуемся следующими сооб­ ражениями: если две плоскости четырехмерного простран­ ства, имеющие одну общую точку, спроецировать из про­ извольной точки, лежащей вне их, на какое-либо трех­ мерное пространство, то каждая из двух плоскостей спроецируется в плоскости. При этом плоскости-проекции, находясь в одном трехмерном пространстве, будут пере­ секаться по некоторой прямой, которая в силу сохране­ ния в проекции инцидентности точек и прямых обяза­ тельно пройдет через проекцию точки общей для плоско­ стей-оригиналов.

Эта прямая, по которой пересекаются плоскости-про­ екции, является проекцией двух прямых, лежащих в раз­ ных плоскостях-оригиналах и пересекающихся в общей точке. Слияние проекций этих двух прямых в одну прямую объясняется тем, что они проецируются одной плоскостью, по которой пересекаются два трехмерных пространства, проецирующие плоскости-оригиналы. Исходя из этого, мы можем рассматривать на чертеже сначала те две проекции треугольника ABC и DEF, которые определяют параллель­ ные проекции плоскостей а2 и т2 на какое-либо трехмер­ ное пространство (например, проекция из точки xioo на гиперплоскость Ох^х^х^), и с их помощью находим пря­ мую, по которой (cx2)i23 и (T2 )I23 пересекаются в гипер­ плоскости Оххх^хъ. Затем вводим в действие главную проекцию, т. е. переходим к рассмотрению четырехмер­ ного чертежа и определяем по линиям связи главные про­

пересечения плоскостей (а2)!гз и (x2 )i23 . Точка пересече­ ния главных проекций этих прямых дает нам главную проекцию К' искомой точки К- Две другие ее проекции находим на соответствующих линиях связи.

На рис. 81 прямая s (s', s'm, sb), по которой пересе­ каются плоскости-проекции (a2 )i23 и (т2){2з, определена

122

с помощью сечения заданных плоскостей двумя вспомога­

ляются общими для каждой из трех рассматриваемых пло­ скостей (/ cz а 2 X т 2 X в2 ; 2 с а 2 X т2 х л 2 ) . Эти точки определяют прямую s (s', s'm, S12). Находим главные про­

также две точки; / / — в плоскости о2 .и IV—в пло­ скости т2 . Кроме прямой s, лежащей в плоскости а2 , получаем прямую t, определяемую точками 3 и 4, принад­ лежащую плоскости тА Проекциями обеих этих прямых на 0х\Х2Хъ из х\т служит прямая smПоэтому, как от­ мечалось выше, они лежат в одной плоскости. Действи­

деляют некоторую плоскость е2 , параллельную этой оси. Поэтому частные проекции плоскости е2 на координат­

= (e2 ){2 . Так как прямые s и t лежат в одной плоскости &2 u s e о 2 , a t cz г2, то точка пересечения главных проек­ ций s' и V определяет положение главной проекции К'

прямой, то ломаная линия А', А'т и А'\ч (рис. 82) спря­ мится и все отмеченные проекции окажутся расположен­ ными на одной прямой (рис. 83).

В практике такое задание аксонометрии встречается редко, так как при этом теряется одно из основных свойств аксонометрических проекций — их наглядность, что при­ водит к трудностям при решении задач вручную. Для машинного решения этот недостаток не имеет никакого

123

значения. Более существенными оказываются те преиму­ щества, которые появляются при таком задании аксоно­ метрических проекций. Для определения частных про­

А'

при машинном решении операции по проведению прямой через данную точку в заданном направлении и нахожде­

Чтобы найти главную проекцию точки V (рис. 80), отыскиваем точку пересечения произвольной прямой, опре­ деляющей секущую гиперплоскость (д3 )' с прямой а' (операторы VIII, V). Если принять прямую (р3 )' гори­ зонтальной, то проекция / ' находится с помощью только одного оператора VI6. Аналогично, с помощью только операторов VI6 и VIa определяем главные проекции всех точек /, / / , / / / . . . и их частные проекции

124