Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

цилиндра, что в конвекционной задаче соответствует неустой­ чивому расслоению («тяжелые частицы тонут, а легкие — всплывают»). Диссипативные факторы в обоих случаях ока­ зывают чисто стабилизирующее действие, в отличие от «вяз­ кой неустойчивости» Гейзенберга — Линя.

Вопрос о возможности возникновения конвекции рэлеев-

ний (1959, 1960). Помимо океанографического интереса, это рассмотрение было стимулировано обсуждением вопроса о возможности захоронения радиоактивных отходов в глубоко­

ском исследовании метод возмущений. Во-первых, сверхадиа­

Затем условия практически стационарны, так как основной действующий фактор — геотермический приток тепла, по-ви­ димому, не испытывает заметных вариаций в пределах рас­ сматриваемых временных масштабов. Поэтому конвекцион­ ное движение, если оно вообще имеет место, будет факти­ чески установившимся вторичным течением. Это обстоятель­ ство делает задачу гораздо более простой и поддающейся теоретическому рассмотрению, по сравнению, например, с задачей о зимней вертикальной циркуляции в поверхностных слоях океана, где существенно изменение притока тепла во времени, и нижняя граница конвективного слоя является фактически неизвестной.

С другой стороны, как было видно из приведенных выше примеров, в глубоководных впадинах сдои отрицательной стратификации имеют значительную вертикальную протяжен­

обычное приближение Буссинеска, состоящее, грубо говоря, в том, что изменения плотности (или температуры) учитывают­ ся только в архимедовых силах, может быть использовано и

практически не налагает никаких ограничений на рассматри­ ваемую толщину конвективного слоя (очевидно, это не так при рассмотрении вертикальных движений большого масшта­ ба в атмосфере, где относительные изменения плотности могут быть порядка единицы). Как будет показано в следую­ щих параграфах, большой вертикальный масштаб движения приводит к тому, что учет вращения Земли и ускорений Ко­ риолиса играет решающую роль при установлении критиче­ ских параметров конвекции. Более того, толщина конвектив­

13

ного слоя и горизонтальные размеры ячеек имеют одинако­ вый порядок величины. Поэтому возникает необходимость учета и горизонтальной, и вертикальной компоненты силы Кориолиса, если не ограничиваться предельным случаем очень высоких широт (заметим, что большая часть глубоко­ водных впадин находится как раз в низких широтах). В обоб­ щении задачи Рэлея на случай возможно более полного уче­ та вращения Земли состоит теоретическая часть результатов, излагаемых ниже. По-видимому, это единственный пример океанографической задачи, в которой учет вертикальной ком­

поненты силы Кориолиса (или горизонтальной компоненты вектора угловой скорости вращения Земли) имеет реальное значение.

§ 1.2. Конвекция Рэлея на вращающейся Земле. Формулировка задачи

На основании замечаний, сделанных в предыдущем параграфе, мы будем пренебрегать изменения­ ми солености и сначала рассмотрим чисто термическую кон­ векцию. Верхней границей конвективного слоя будем считать поверхность, на которой градиент потенциальной температуры

переходит через нуль, а-нижней границей—дно океана. Будем также считать эти границы бесконечно протяженными и гори­ зонтальными.

Векторное уравнение движения и уравнение теплопровод­ ности могут быть записаны в виде:

скорости, о) — вектор угловой скорости вращения Земли, р' — давление, р — плотность, Т — потенциальная температура, g— ускорение силы тяжести, k' — единичный вектор по вертикали,

сятся к размерным переменным. Легко усмотреть, что в слу­ чае однородных условий по горизонтали вертикальный гра­ диент температуры в стационарных условиях и при отсутствии конвекции должен быть постоянным, так что распределение температуры будет иметь вид:

14

температур малыми, можно записать приближенное уравне­ ние состояния в виде:

где р0 — значение плотности при характерной температуре 0О, а — коэффициент термического расширения морской воды. Если расположить начало координат на дне и направить ось 2 вертикально вверх, то при отсутствии конвекции и распреде­ лении температуры (1.2.3) статическое распределение давле­ ния будет, очевидно, иметь вид:

где у= ag, р0= —gpo^+const — статическое давление при тем­ пературе 0.

Обозначим далее через ^ и — отклонения в распределе­ нии температуры и давления, связанные с возникновением конвекции, от невозмущенных значений (1.2.3) и (1.2.5), т. е. положим:

р' (*', у', z’, f ) = Рст(z) + <р' (х\ у', г', Г)

и

Г (х', у', г', t') = %{z') Г (x',y',z', П .

Считая эти отклонения и соответствующие скорости возмущен­ ного движения малыми, можно записать полную линеаризи­ рованную систему уравнений для малых возмущений в сле­ дующем виде:

dv’

kA’v — рш',

df

Po = Pol1 — a (0 — 6o)I-

15

Здесь fz= 2coz, fy=2(i)y — составляющие параметра Кориолиса на вертикаль и меридиан (ось у' — направлена на север, ось х ' — на восток, так что сож= 0), и/, v', w' — компоненты ско­

рости по осям у, х, z'\ При выводе системы использовано приближение Буссинеска, обычное в задачах свободной кон­ векции. Для выяснения минимального числа существенно не­ зависимых безразмерных параметров задачи, перейдем к сис­ теме новых безразмерных переменных по формулам:

Тогда система (1.2.6) приводится к виду:

Граничные условия наиболее естественным образом могут быть сформулированы для вертикальной компоненты скорости и возмущения потенциальной температуры ф. Поэтому из системы (1.2.8) целесообразно исключить и, ■&, ф, после чего получим-

16

§ 1.3. Решение задачи для предельных случаев высоких и низких широт

Исследование системы (1.2.10) в общем виде затруднительно, поэтому мы ограничимся рассмотре­ нием предельных случаев Fy или Fz (высокие и низкие широ­ ты). Полагая Fy = 0, вместо (1.2.10) получим

(L12 + F2z) -^=- = — АX (Loo — G#),

dz2

(1.3.1)

— A~j O'= — w.

Ввиду однородности физических условий по горизонталь­

ным осям решение должно быть периодической функцией х, у, иначе говоря, будет иметь ячеистую структуру и вопрос о

граничных условиях по х, у не возникает. Поскольку коэффи­ циенты в рассматриваемой системе не зависят от времени, как это обычно бывает в задачах гидродинамической устой­ чивости, целесообразно искать решение в виде:

В этом выражении волновые числа I, т по определению действительны и характеризуют пространственную структуру

колебания будут нарастать с течением времени. Таким обра­ зом, возникновение неустойчивости связано с обращением пг в нуль при переходе от отрицательных к положительным значениям. Для нас наибольший интерес представляет тот случай, когда конвективная циркуляция является установив­ шейся, т. е. когда пг= п {= 0. Пеллью и Саусвелл (Pellew, Soushwell, 1940) смогли доказать, в случае отсутствия вра­ щения, что если щ ф 0, то пг< 0, т. е. осциллирующее движе­ ние может быть только затухающим. С другой стороны, если tir>0, то п; = 0 и порог неустойчивости соответствует значе­ нию п = .п г= П{= 0. В этом состоит так называемый принцип изменения устойчивости. При наличии вращения строгое до­ казательство становится затруднительным и нам не удалось его найти. Тем не менее мы будем использовать этот принцип как эвристический принцип, основанный на достаточно веских физических соображениях ’. Во всяком случае ясно, что если

1 Для предельного случая низких широт этот принцип может быть строго доказан.

>-Tt > hlS4C'C'!-- я I