Файл: Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf

Р>0 (стратификация устойчива), то решением будут^ инер­ ционно-гравитационные волны, затухающие под действием

диссипативных сил, т. е. при щ Ф 0 будет пг< 0 и первая часть принципа не нуждается в специальном доказательстве. На­ хождение нетривиального установившегося решения при отрицательной стратификации будет в определенном смысле

ности раздела между конвективным слоем и вышележащими

ности температура поддерживается постоянной и равной 0ь так что возмущение температуры должно обращаться в нуль.

показать, что все высшие производные четных порядков, от # и w должны также обращаться в нуль при 2 = 1'.

Покажем, однако, что'условие прилипания на дне может быть заменено на условие d2w/dz2 = Q при 2=0. Тангенциаль­ ные напряжения на дне, вообще говоря, пропорциональны выражениям Pxz= dw/dx+du/dz, Pyz— dw/dy+dv/dz. Посколь­ ку дно считается горизонтальным и на дне <а = 0, то, очевид­

вместо скольжения на дне можно было бы выполнить точ­

ное условие прилипания, однако скольжение в данном случае представляется более естественным, так как наблюдения

указывают на существование придонного теплового погра­ ничного слоя толщиной порядка нескольких метров. По­ скольку мы рассматриваем крупномасштабную конвекцию в слоях порядка сотен метров, то граничные условия ставятся фактически на внешней границе придонного пограничного слоя. Забегая вперед, заметим, что влияние вращения Земли

18

цессов рассматриваемого здесь масштаба, что относительные изменения критических параметров конвекции, связанные с тем или иным видом граничных условий, практически не­ ощутимы.

Итак, приняв условие скольжения на дне, потребуем, что­ бы Ф и w (а также и четные производные высших порядков)

где w, v — постоянные амплитудные множители. Подставляя выражения (1.3.3) в (1.3.1) и сокращая на #=^0, получим:

[а (п -f Ра)2 + P'zS2] (п + а) + (а —s2) (п + Ра) G = 0,

сующего нас случая неустойчивой стратификации, очевидно, Р > 0, так как 0i—0о<О. Параметр Qz характеризует роль вертикальной компоненты параметра Кориолиса. Уравнение (1.3.5) позволяет теоретически определить периодичность (но не симметрию) циркуляционных ячеек. Фактически возникаю­ щая стационарная конвекция соответствует таким значениям

Наименьшим действительным положительным корням этого

уравнения соответствует минимальное значение s = n, (К= 1). Полагая в (1.3.7) Qz= 0, находим один нетривиальный ко­

Зя2

рень

2 2

Rc рэлеевское приближение (Rayleigh, 1916):

Re = Зос2= - j - л4 ^657,5.

Заметим, что если вместо условия скольжения использовать условие прилипания на граничных поверхностях, то в ка­ честве собственных функций получим вместо sinsz линейную комбинацию гиперболических функций. Соответствующие вычисления, проделанные без учета вращения системы коор­ динат Пелью и Саусвеллом (Pellew, Soushwell, 1940) и дру­ гими авторами, дают значение Rc^1708. Если принять условие скольжения на верхней граничной поверхности и условие прилипания на нижней, то получается некоторое промежуточное значение Rc = 1100. Таким образом, прилипа­ ние на твердых стенках, как и следовало ожидать, оказы­ вает стабилизирующее действие и увеличивает критическое значение числа Рэлея, при котором оказывается возможной установившаяся конвекция. Ниже будет показано, что при значениях Qz, соответствующих”реальным условиям в океане, величины критических чисел Рэлея практически зависят толь­

ко от Qz, однако прежде рассмотрим пространственную структуру конвекционных ячеек в рэлеевском приближении.

Предполагая квадратной структуру ячеек в горизонталь­ ной плоскости (поскольку теоретически определить симмет­ рию все равно нельзя), получим:

/2 + fn2 —о, —s2 = — s2 —s2 = — .

больше вертикальных, так как на расстоянии длины волны возмущения К укладываются две конвективных ячейки.

Пусть теперь Qz=^=0. Приведем несколько числовых при­

20

= 2т2 = ас—s2.) Для Qz = 0,2-106 получим Rc= 33075, A=0,91 h.

Таким образом, действие вертикальной составляющей пара­

(п + а) Ф = — w.

Здесь уже заранее принято 1=т, так как только вхождение в виде квадратичной комбинации o — l2 + m2 + s2 позволяет понизить степень получающихся алгебраических уравнений.

dR

Из минимизирующего условия----= 0 находим:

da

а2

21