Файл: Степчков, А. А. Задачник по прикладной гидрогазовой динамике учебное пособие.pdf

Применяя к элементарному объему жидкости теорему об нзме* нении количества движения системы материальных частиц, полу­ чим дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости:

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера. В векторной

Известно, что дифференциальные уравнения движения в форме Эйлера в общем виде не интегрируются. Интегралы дифферен­ циальных уравнений могут быть найдены только для частных случаев.

Такими частными случаями являются потенциальные течения и случаи установившегося движения жидкости. В потенциальном течении вектор угловой скорости равен нулю

со = — rot w — О,

2

а следовательно, его составляющие по координатным осям также равны нулю

14

откуда следует, что для потенциального течения

Равенства (1.36) дают основания утверждать, что для потен­ циального течения можно подобрать такую функцию ср(х, у, z), частные производные которой по соответствующим осям будут равны проекциям скорости на эти оси

Функция ф(х, у, г) называется потенциалом скорости. Исполь­ зуя потенциальную функцию, можно частные производные по вре­ мени в уравнениях Эйлера записать в следующем виде:

Для преобразования прадиента давления в уравнениях Эйлера введем некоторую функцию давления П(х, у, z, t) таким образом, чтобы сохранялись следующие равенства:

15

Ёсли эти уравнения соответственно умножить на dx, dy, dz и сложить, то в правой части равенства будет полный дифферен­ циал от трехчлена ib скобках, следовательно, в левой части равен­ ства тоже должен быть полный дифференциал от некоторой сило­ вой функции U(х, у, г, /), являющейся элементарной работой массовых сил. После этого уравнения Эйлера можно записать:

d U ^ d i n -I- — + - ^ Л . V 2 dt j

Интегрируя и подставляя значение функции давления П,

Этот интеграл называется интегралом Лагранжа и, как видно, является решением дифференциальных уравнений Эйлера для по­ тенциального неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

dtp

Если движение установившееся, то — = 0 , а произвольная функ- dt

ция C(t) превратится в константу. В этом случае интеграл Ла­ гранжа

Этот интеграл называется интегралом Лагранжа — Бернулли. Константа С в (1.41) имеет постоянное значение для всей масссы жидкости.

5. Уравнение количества движения.

2-й закон Ньютона гласит: если к некоторой массе приложена сила, то импульс этой силы равен изменению количества движения

Rdt = d(Gw).

В таком виде уравнение количества движения записывается для твердого тела. Для жидкости, применяя метод Эйлера, удобнее следить не за самим телом, а за секундными массами жидкости, проходящими через контрольные поверхности. Тогда, в проекции на ось х,

Rx = 0 2wx2 — GiWxl.

Для струйки тока, когда

G2= G\ = const;

16

Для прямолинейной струйки постоянного сечения идеальной жидкости уравнение количества движения

Для лопаточных машин или каналов с осевой симметрией удоб­ нее записывать уравнение моментов количества движения в поляр­ ных координатах. В этом случае момент относительно оси

Так как

Мм = LG,

то, подставив значение момента М и угловой скорости со, получим уравнение для-работы колеса лопаточной машины

ЗАДАЧИ

1.1.Определить, во сколько раз скорость звука у земли при стандартных условиях больше скорости звука на высоте 11 км.

1.2.Определить скорость распространения звука в таких

средах:

j ЧИТАЛЬНОГО ЗА/

ё) в этиловом спирте (модуль упругости К = 120 600 Н1см2, от­ носительная плотность 0,790);

ж) в керосине (модуль упругости /(= 1 6 8 600 II1см2\ относи­ тельная плотность 0,820).

У к а з а н и е. Скорость звука а2= — можно вы- dp

разить через модуль упругости по формуле а2 = —.

Р

Это уравнение справедливо для жидкости н газа.

1.3.Баллон емкостью 40 л с воздухом, находящимся в нем при давлении 760 мм рт. сг. и / = 15° С, имеет массу 74 кг. Определить, как изменится масса баллона с воздухом, если давление последнего изотермически повышено до 2 • 107 н!м2.

1.4.При Т — 273 К манометр, подключенный к баллону с воз­ духом, показал 2000 Па. Как изменится показание манометра, если

температура находящегося в баллоне воздуха от 273 К повысится до 338 К?

1.5. Пустой баллон емкостью 50 л имеет массу 75 кг. После того как в него накачали воздух, масса баллона е воздухом стала 85 кг. Определить давление и плотность воздуха в баллоне, если темпера­ тура его 288 К.

1.6. Определить, насколько изменится масса баллона емкостью 90 л, если в него накачать воздух до 2- 107 Па при 7’= 290 К.

1.7. Определить, во сколько раз увеличится удельный объем воздуха, который изобарически нагревается в камере сгорания дви­

'777777777777777777777

Рис. 1.1. Трубка полного напора

нпотоке

1.9.Па переднюю часть погруженного в реку тела, находящегос на глубине 5 м, действует максимальное 'Избыточное давление, рав­ ное 0,815 бар. Определить скорость течения реки на этой глубине.

18