Файл: Скуба, В. Н. Исследование устойчивости горных выработок в условиях многолетней мерзлоты.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 82
Скачиваний: 0
Предполагая, что Ф не зависит от 0Х, имеем Tret=0. Тогда условие (IV.25) после подстановки (IV.24) дает уравнение для определения Ф:
ф „ _ 1 -f- sin р ^_Ф_' |
2к ctg р |
1 — sin р г |
1 — sin р |
Отсюда получаем общий интеграл для Ф:
Ф = |
Рг2 |
Аг«+® |
+ £, |
2 (1 - б) |
1 + 6 |
||
где |
|
|
|
|
1 + sin р |
2к ctg р |
|
|
1 — sin р ’ |
Р = 1 — sin р * |
|
(IV.27)
(IV.28)
Подставляя Ф в уравнения (IV.24) и учитывая граничные условия (IV.23), находим'постоянные А г= А 2 и В = В Х для об
ласти I. Постоянную В = В г можно приравнять нулю, |
ибо она |
||||||||||||
на напряжение |
не |
влияет. Тогда + 1=P+/cctgp1, |
где |
рх |
и кх |
||||||||
— параметры |
Мора для |
области /. |
Если |
обозначить сг[ = |
|||||||||
<Т2 = овр |
получим |
следующие |
выражения |
для компонент на |
|||||||||
пряжения в области I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
о[ + |
A: ctg Pl = ( - 1){ 1 |
1 + |
sinpl |
(Р + кг ctg Pl) r«s |
(IV.29) |
||||||||
|
|
|
|
(1 — г)г —sm pL |
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
2 sin P! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 —sin pT |
|
|
|
|
|
||
В |
области |
I I |
функция |
напряжений |
Ф |
выражается |
той |
||||||
же формулой (IV.28), а постоянная |
А = А 2 находится |
из |
гра |
||||||||||
ничных |
условий |
(IV. 23), |
|
которые являются |
условиями |
||||||||
непрерывности |
напряжений |
при |
переходе |
через |
границу |
||||||||
зоны Ьт. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А 2 = |
[k2ctg р2 — A^ctg pi + |
(Р + кх ctg рх) г?1] г^~ Ьг\ |
(IV.30) |
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6, |
1 + |
sin Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — sin р2 ' |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
58
Таким образом, компоненты напряжений в области I I опре деляются из уравнения
ОV + /с2 Ctg р2 = ( — !) * |
А 2 |
i — 1 + |
sin р2 гД, |
(IV.31) |
|
(1 — i)1 |
— sin р2 |
||||
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
_ |
2 sin р2 |
|
|
||
^2 |
1 — sin р2* |
|
|
||
Исходя из метода К. В. Руппенейта (1954), определяем пе ремещения на границе выработки и границу пластического де формирования. При этом для определения напряжений в упру гой зоне (в области III) необходимо решить уравнение упруго пластической границы L.
В области I I I компоненты напряжения должны удовлетво
рять условию совместности деформаций, |
которое при xret = О |
|||
запишется в виде |
|
|
|
|
- | r [rsi?(ff1.- O 0 I)] = |
О, |
(IY.32) |
||
откуда |
|
|
|
|
R |
= |
С3 |
|
|
|
|
|
||
г2 (°г ~
Связь напряжений и перемещений с учетом несжимаемости в пластической зоне может быть представлена в виде
ди |
R . |
|
и |
|
|
R . |
|
|
|
дг “ |
4Gc |
а0*)’ |
~ Г |
“ |
4GC(а01 ~ |
^ |
|
||
откуда выражение перемещения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
“ = - 4 § Т - |
|
|
|
|
(1V.33) |
||
В области I I I |
функция напряжения Ф |
должна удовлетво |
|||||||
рять уравнению совместности |
|
|
|
|
|
|
|
||
___ д_ |
j _ |
e а2_\ |
|
|
|
дФ |
|
j _ |
а2Ф \ |
• г ' дг |
"*■ г |
* 302 J ^ |
дг* |
1 |
г |
дг |
+ |
г |
* 502 J ” 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV .34) |
59
и условиям на бесконечности
С7°°) |
|
|
т^ 4 = Х'усрН г sinr0i. (IV.35) |
|
М (Яз — A, cosrGj yCptfr; |
||||
CTeJ |
|
|
|
|
Условия будут удовлетворены, если задать компоненты |
||||
напряжения |
в форме |
|
||
Or = |
У с р # г |
[я,3 (1 — а г ~ 2) — V |
(1 — 2 Ь г~ 2 + c r - 4) cos 2 0 j; |
|
cre4 = |
уср# г [Яз (1 |
— ar~2) -f X' (1 -f- cr~k) cos 2 0 х] ; |
||
^re, = |
Уср#Д' (1 + |
br~ 2 — сг~4) sin 20х. |
||
|
|
|
|
(IV.36) |
Постоянные а, в, с определяются из условий равенства компо нентов напряжений в упругой и пластической зонах на границе
L. Уравнение |
определяется |
в виде |
|
|
|
|
rL = r0 + kr1(Q1)t |
(IV.37) |
|
где г и |
не известны. |
|
|
|
Предполагается X' — малый параметр, поэтому справедливы |
||||
следующие равенства: |
|
|
|
|
|
Гь 2 = |
Го 2 [1 |
— 2Xr0 \ (6 j)]; |
|
|
гГ ‘ = |
г5-4 [1-4Х 'г5"Ч (в1)]; |
(IV.38) |
|
|
rL = |
ro [1 + |
аХго 1г1 (©!)]. |
|
Подставляя (IV.38) в (IV.29) и (IV.36) и уравнивая при ма лом параметре А, получаем следующие уравнения для опре деления а, в, с, т*0, 71(0 4 :
1 4~ Ьго2 — сго4 = 0;
4 2a 2ro2~Vi (0 i) 4 - усрЯ г [( 1 — 2Ъг^24- c r ^ ) cos 2 0 х —
— 2X3a r^3r 1(0Х)] = 0;
у42г? 2 — к ctg р2 — уСрЯДз (1 — а г^2) = 0 ;
Л (1 4 - sin р2) г? 2 — (1 — sin р2) к2ctg р2 — уср# Д з (1 +
4 ~ar^2) (1 — sin р2) = 0 ;
А 2(1 -f sin р2) a 2r£2“ Vi (04 — [(1 4- сг^к) cos20i —
2X3a r^3r1 (0 j) (1 — sin yp2) ycp# r = 0 .
(IV .39)
60
Отсюда
JX t |
1 — sin p2 |
|
|||
r0 |
|
-------- J~ |
(^зТср^г + k2cl& Рг)> |
|
|
|
|
" sin p2 |
|
||
|
|
V cp |
(Л з7 ср # Г + k2 Ctg p2) ; |
(IV.40) |
|
|
|
ЭУсрЯрГо cos 20! |
|||
|
(0i) = |
|
|
||
|
4 sin |
HT + k2ctg f |
|
||
b = |
2r20; |
c = |
3rJ. |
|
|
Таким |
образом, уравнение границы L |
|
|||
r L |
= |
r 0 |
' 4 j______ 3^Ycptfrcos 20! |
(IV.41) |
|
|
4 sin p2 (Яд7 срЯг + k2ctg p2) |
||||
|
|
|
|
|
|
при г=гь, т. e. на упругопластической границе R = 1, тогда
: - |
а 34,г£‘*+2), |
(IV.42) |
или приближенно |
|
|
с3 = - |
a 2A / ^ +i). |
(IV .43) |
Окончательно уравнение для определения перемещения на контуре выработки принимает следующий вид:
(a2+2) |
(IV.44) |
“ “4G7 |
|
Для проверки полученных теоретических результатов на ЭВМ «НаириС» был произведен машинный расчет перемеще ний по формуле (IV.44) и
определены границы пласти ческих деформаций L. На рис. 24 показан график гра ницы L для следующих слу чаев физических и геомет рических параметров зада
чи: |
уср = 3 т/м3; |
|
U =0,9; |
|
|
X' |
=0,1; |
р ^ Б 0; |
р2=30°; |
|
|
кх = 117,2 |
кГ/см2; |
/с2= |
|
||
=792 кГ /см2. Для # г=500м |
|
||||
построены Гь при Гт—4 (кри |
рис ^ Изменение положения пла- |
||||
вая |
и .при гх |
1,о (кри- |
стических деформаций при различ- |
||
вая В 2). Для Н т~ |
700 м пост- |
ных начальных условиях. |
|||
61