Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Используя равенство (249), определим параметры ß/ и вектор

c . i + 1 .

(s0‘

 

 

4

т

+ і

I**) =

 

= WY;A

дд (xty

+ .ß f/ ( s / ) * ^ =

0;

/ =

1, 2, . . . .

і.

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда, используя формулу (247), получим выражение для

искомых параметров:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(; у

л dq(xty

I

dq(xty

dqjx1

ty Y

dq(xty

 

^

дх

l

дх

 

 

dx

)

dx

 

 

(sty* As1

 

 

aj-i (s’Y As’

 

 

Принимая во внимание условие ортогональности, окончательно

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß/ =

0, / =

1,

2 ............. і

— 1;

 

 

 

 

dq (xty V I dq (xty \

 

 

 

 

 

 

ß! =

dx

 

dx

' =

ß £.

 

(250)

 

 

щ . 1 (s1)* A s 1

 

 

 

 

 

 

Выражение для параметра а, можно получить, подставляя

формулы (245) и (247)

в условие (248):

 

 

 

 

 

О =

Щр( S ' .r =

J

(*Sд<£ ±r

 

-

 

= * М

Л * ' ) =

 

д х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ( т ?

11 р+г ѵ1)

 

w^ A s * .

дх

дх

— а

(s*)*Tis*.

' dq (Xl~ty \* dq (xl~ty

 

Следовательно,

/ dq (х‘~-ty)*dq(x‘-ty

а і - і

\

дх

/

дх

 

 

 

sl*As{

 

 

 

 

 

 

(251) следует

 

 

/

dq(xty

) * (

dq (xty

\

ßi

[

дх

) {

dx

j

( dq (xe~ty )* (d q (x ‘~ t y V

 

 

 

дх

 

дх

 

(251)

(252)

108

Подставляя выражения (250), (251), (252) в формулу (245), получим окончательные соотношения для метода сопряженных градиентов:

г*-И

я“1 = X ~ a iSl+1, і =

где

 

dq ( х 1)

2

1

 

 

а.

д х

•

 

R. —

 

(8{+'Уа*<+1’

^

0, 1, 2, , . .,

d q ( x ‘ )

 

дх

(253)

d q { x l *) 2 > f

д х

і — 1, 2, . . ., S1 -

dq (л:0)

д х

Расчетные формулы (253) могут оказаться неудобными, так как для их использования требуется знание матрицы вторых произ­ водных А при вычислении а,-. Учитывая выражение (246), можно представить формулы (253) в виде:

1 _ д д ( х ° )

д х

. г+і _

дд(У)

Р,«*-

’

д х

dq ( х 1)

2

 

д х

2 ’

 

dq (У “ 1)

 

д х

 

 

q (X1_cc.si+1) = min q(xl —asi+1).

а

В эти формулы матрица А не входит, но при реализации ре­ куррентной последовательности требуется вычисление градиента функции q (X) и определение точки минимума функции q (х) в на­

правлении s‘+1.

Из последних соотношений следует, что рассматриваемый метод может быть применен к функции произвольного типа [129]. Ана­ лиз сходимости показывает, что метод сопряженных градиентов имеет примерно, такую же широкую область сходимости, что и метод наискорейшего спуска, но скорость сходимости квадратич­ ная. В случае применения метода к неквадратичным функциям це­ лесообразно время от времени производить «обновление», метода

т. е. после ряда итераций (порядка п) в точке хк вновь выбирать

k + i _ _ d F j x k )

I-7 7 ’ 63J-

д х

Метод сопряженных градиентов относится к группе методов сопряженных направлений. Другие методы этой группы являются

109

более сложными в реализации, но имеют повышенную скорость сходимости [124, 119].

Все перечисленные методы характеризуются одним существен­ ным недостатком: они позволяют найти только локальный минимум. Легко показать, что если функция выпуклая, т. е. для любых

точек X1 и X2 и произвольного 0

А sg; 1

имеет место неравенство

F (Ах1 + (1 — А) X2) <

АF (х1) +

(1 — А) F (х2),

(254)

то любой локальный минимум одновременно является и глобаль­ ным. Однако часто на практике бывает трудно проверить спра­ ведливость выполнения условий (254), так как аналитический вид функции может быть очень сложным или вообще неизвестным.

Единственная возможность нахождения глобального экстре­ мума заключается в применении вышеизложенных локальных ме­ тодов при различных точках начального приближения х°. После проведения достаточного числа процедур поиска локальных ми­ нимумов следует выбрать точку с минимальным значением функции.

6. Минимизация функций при наличии ограничений. Условия оптимальности

В практике проектирования систем автоматического управ­ ления минимизация функции при наличии ограничений является широко распространенной задачей, так как в реальной системе всегда имеются определенные ограничения на управляющие пара­ метры, связанные с ограниченностью прочностных характеристик, затрат энергии, возможной фиксацией фазовых координат объекта в начальный или конечный момент времени и т. д. В общем случае задача нелинейного программирования формулируется следующим

образом:

требуется выбрать вектор-параметр х+ = (хі1-, x t ,

■ ■ ■

. . ., x t )

из условия

минимума

заданной

функции F 0 (х)

при

наличии

ограничений:

 

 

 

 

 

f ; (х)

О, і ~

1 , 2 , . . . ,

т.

(255)

Обозначив через D множество точек «-мерного евклидова про­ странства Еп, для которых удовлетворяется условие (255), пред­ ставим задачу нелинейного программирования в виде

F0(x+) = minF0(y).

(256)

y£D

 

Задача (256) оказывается качественно более трудной по сравне­ нию с задачей безусловной минимизации, в соответствии с чем условия оптимальности для задачи (256) имеют более сложную формулировку, чем условия (217).

Ограничение (255) в виде системы неравенств является общим случаем ограничений. В частности, ограничение типа равенства

h (х) = О

ПО

всегда может быть представлено в виде двух ограничений типа не­ равенств:

h (х) О,

— h (X) -п 0.

Одним из простейших по своей идее методов решения задачи нелинейного программирования является метод штрафных функ­ ций или метод нагружения [56], предложенный Курантом для решения некоторых специальных экстремальных задач.

Метод штрафных функций, примененный для решения задач (255) и (256), состоит в сведении исходной задачи к безусловной минимизации нагруженной функции Ф (х, а):

 

т

 

Ф (х, а) = F0{x) +

£ Ф К Fi (*)),

(257)

 

І—1

 

где ер (а, г) — произвольная непрерывно дифференцируемая функ­ ция, удовлетворяющая условию

Ііш ф (а, z) = I

0’

2 ^

\

оо,

2 > 0.

Одним из возможных вариантов функции ф (а, г) является

Ф(а, г) = 4: е“2.

Тогда выражение для нагруженной функции Ф (х, а) будет

иметь вид

т

 

Ф ( X, а) = F0 ( X) + 2 4 -

t aF‘ ix).

(258)

 

 

1=1

 

 

Естественно ожидать, что при достаточно больших значениях

параметра

а наличие в формуле (257)

нагрузочных

слагаемых

Ф (а, Ft (х)) приводит к тому,

что точка минимума х+ должна вы­

бираться

внутри области D.

Действие

нагрузочных

слагаемых

будет соответствовать штрафу, накладываемому за нарушение на­ ложенных ограничений.

Рассмотрим параметрическую задачу безусловной минимиза­ ции функции Ф (х, а), определяемой формулой (257), по пара­ метру X в функции параметра а. Точка минимума х (а) этой функ­

ции будет зависеть от а. Предположим,

что, существует такая по­

следовательность {а/}, что Ііш аі = оо.

При этом последователь-

/->00

 

ность \х (а')} имеет предел

 

lim X (а') = X “ ,

(259)

/ -> с о

 

причем

 

Ііш Ф (х (аі), а і) <

оо.

/->СQ

 

111

Тогда в соответствии с теоремой о методе штрафных функций [56] точка л:- принадлежит множеству (255) и является решением задачи (256). При этом

Fq(х~) = lim Ф (х (аі), а');

(260)

/->со

ж- = х+.

Сформулированная теорема позволяет получить решение ис­ ходной задачи нелинейного программирования в виде предела решения задачи безусловной минимизации функции (257). Для определения минимума функции (257) можно применить один из численных методов, изложенных в п. 1—5 настоящей главы.

Используя метод штрафных функций в наглядной, но не совсем строгой форме, получим необходимое условие оптимальности для задачи нелинейного программирования. Построим функцию Ф (х, а) в виде выражения (258).

Тогда очевидно, что для точки минимума этой функции должно

выполняться

условие

 

 

 

 

 

 

 

дФ(х’, а')

__ dF0 (x') .

V I

ос/>. (xi)

dF (xf) _

n

 

 

 

dx

 

dx

i=I

 

 

dx

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где для

краткости

обозначено

х1

—

х (аі).

Предположим,

что

функции

dF- (х)

(і = 0, 1, 2, . . .,

т)

непрерывны.

Тогда,

пе­

—

 

реходя к пределу в равенстве (260) и учитывая формулу (259), получим

д Р

о ( * + )

/п

lim (ea,F‘ (*/}) дРі (*+)

п

(261)

+ У

 

дх

Ы

дх

 

 

Обозначим

 

і->а

 

 

 

 

 

 

 

limea/F‘ (хі) = K t ,

(262)

/->00

 

тогда легко видеть, что

Kt = 0, если /C(*+) < 0;

Kt Зг 0, если Ft (х+) = 0.

Можно показать, что предел (262) существует, если множество D, задаваемое системой ограничений (255), содержит хотя бы одну внутреннюю точку (условие Слейтера). С учетом принятых обо­ значений равенство (261) может быть представлено в следующем виде:

Смотрите также файлы