Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

где л (t) — центрированный вектор-столбец; х* (t) — транспони­ рованный вектор или вектор-строка.

Усредняя уравнение (5), получим дифференциальное уравнение относительно математического ожидания вектора х (t):

дифференциальное уравнение относительно центрированной со­

Дифференцируя левую и правую части равенства (6) по / и используя уравнение (8), получим дифференциальное уравнение относительно дисперсионной матрицы вектора фазовых кординат исследуемой системы:

^ = Л (0 Д Д 0 + А ^ М * (0 +

Для вычисления математических ожиданий двух последних слагаемых выражения (9) проинтегрируем уравнение (8):

7

Тогда, принимая во внимание некоррелированность вектора начальных условий с возмущающим воздействием и используя выражение (10), получим

t

М [X(/) I (/)] = j А (т)Mix (г) g (/)] dx +

Выполняя интегрирование выражения (11) с использованием свойств «белого» шума и умножая обе части этого равенства справа на В* (t), имеем

Среднее значение (14) можно вычислить, если известен одно­ мерный закон распределения xv (t). Для вычисления средних значений (15) необходимо располагать совместным законам рас­ пределения каждой выходной координаты xt (t) с хѵ (t).

Если предположить нормальными совместные распределения

ния уравнений (7) и (9) определяются все необходимые параметры, от которых зависят плотности распределения.

Вычислим средние значения (15), предполагая нормальными совместные распределения хѵ (t) со всеми xt (t) и используя выра­ жение совместной плотности распределения через ортогональные полиномы Чебышева-Эрмита [50, 74]:

i = 1, 2 ,..., n

С учетом формул (18) и (20) выражение (17) принимает вид

где diy — корреляционный момент связи хі (t) и xv (t)\ k(2) — эк­ вивалентный коэффициент усиления нелинейного элемента по

9

случайной составляющей процесса на входе, вычисленный вторым способом по формуле (4).

Принимая во внимание выражения (12) и (13) и используя формулу (21) при совместном нормальном распределении х{ (t) и

ского ожидания и дисперсии процесса на входе нелинейного эле­ мента

которые для различных типов нелинейных функций можно опре­ делить заранее [39].

Уравнения (7) и (22) необходимо решать совместно, так как для определения выражений (23) в каждый момент времени необ­ ходимо иметь соответствующие значения тх и dvv. Таким обра­

зом, задача сводится к решению уравнений (7) и (22), связанных зависимостями (23), которые можно проинтегрировать только с помощью вычислительных машин. При этом однократным реше­ нием этих уравнений определяются математическое ожидание и дисперсионная матрица вектора фазовых координат.

В общем случае решение уравнений (7) и (22) может быть вы­ полнено только на цифровых вычислительных машинах (ЦВМ), что обусловлено трудностями реализации на аналоговых вычисли-

10

Тельных машинах нелинейных зависимостей (23), (так как при этом требуются нелинейные блоки двух переменных) и высоким по­ рядком решаемой системы уравнений. В частном случае, когда порядок исходной системы невысок и математическое ожидание процесса на входе нелинейного элемента равно нулю, эти уравне­ ния можно решить на аналоговых вычислительных машинах, так как реализация зависимостей (23) в этом случае осуществляется на обычных нелинейных блоках.

При численном интегрировании уравнений (7), (22) на ЦВМ

значения фо и k\ вычисляются по определяемым на каждом шаге интегрирования значениям тХѵ и dvv.

Заметим, что векторная форма не только позволяет сделать запись уравнений более компактной, но и упрощает алгоритм решения задачи на ЦВМ, так как правая часть уравнения (22) в про­ цессе его решения определяется на каждом шаге интегрирования с использованием стандартных программ сложения и умножения матриц.

Изложенный выше метод можно применять для анализа точ­ ности систем с постоянными параметрами. При исследовании точ­ ности установившихся режимов стационарных систем дифферен­ циальные уравнения (7) и (22) сводятся к алгебраическим. Если в системе (5) матрицы А, В, В х и неслучайное воздействие по­ стоянны, а система устойчива, то в установившемся режиме тх и Dx — постоянны и дифференциальные уравнения (7) и (22) пре­ вращаются в алгебраические:

Система уравнений (24) может быть решена методом последо­ вательных приближений на ЦВМ.

Рассмотрим примеры составления уравнений, определяющих математические ожидания и элементы дисперсионной матрицы вы­ ходных координат систем управления.

Пример 1. Нелинейная система, изображенная на рис. 1, а, в момент вре­ мени t = 0 возмущается распределенным нормально [стационарным случайным процессом z (t) и неслучайным воздействием г (t). Предполагается, что среднее значение г (t) равно нулю, а спектральная плотность мощности имеет вид

где dz — дисперсия процесса z (t).

Построим систему дифференциальных уравнений для приближенного опре­ деления математического ожидания и дисперсии процесса на выходе системы в переходном режиме.

Используя метод формирующих фильтров, сведем исследуемую систему к эк­ вивалентной, которая в момент времени t = 0 возмущается стационарным белым

11