Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

недостатки. Обладая большей точностью вычислений, ЭЦВМ требуют значительной предварительной работы по программированию, хуже работают в реальном масштабе времени, результаты расчетов менее наглядны. АВМ позволяют оперативнее проверять возникающие гипотезы, работают в реальном масштабе времени, дают более на­ глядные результаты, однако имеют меньшую точность и меньшие воз­ можности в проведении сложных расчетов.

Проблемы биологической и медицинской кибернетики. Все био­ логические и медицинские системы весьма условно можно разде­ лить на детерминированные и вероятностные. К детерминированным с большим основанием можно отнести системы управления внут­ ренними органами, определенными совокупностями внутренних ор­ ганов, возникновение и развитие эпидемических процессов. К ве­ роятностным относят сложные анализаторные системы, мозг, орга­ низм в целом, системы медицинского обслуживания населения. Применительно к этим двум крупным категориям систем рассмотрим проблемы, стоящие перед исследователями биологической и меди­ цинской кибернетики. Проблемами изучения детерминированных биосистем являются: построение модели «внутренней сферы» орга­ низма; совершенствование экспериментальных методик, позволяю­ щих получить достоверные данные относительно работы биосистем «внутренней сферы»; разработка экспериментальных установок; определение критериев или системы критериев, динамически сме­ няющих друг друга и характеризующих целевые функции биосистем «внутренней сферы»; разработка методов выбора коэффициентов математической модели системы по экспериментальным данным.

При изучении вероятностных биосистем на первый план выдви­ гаются такие проблемы: получение достоверных данных, касающих­ ся одновременной работы групп нейронов и больших их совокупно­ стей, отделов анализаторных систем и систем анализаторов; раз­ работка адекватного математического аппарата, позволяющего непротиворечиво связать данные о поведенческих реакциях орга­ низма, интегральные показатели активности мозга (например, ЭЭГ) и нейрограммы отделов мозга и анализаторных систем; определение критериев, характеризующих усложнение структурной и функцио­ нальной организации мозга при обучении, переобучении, в онтоге­ незе и т. п.

При изучении медицинских систем возникает целый ряд специ­ фических проблем. Исследование работы систем организма в пато­ логических условиях требует следующего: получения достоверных данных, характеризующих патологию; построения математических моделей патологических процессов; разработки методов отбора наи­ более важной информации; разработки алгоритмов диагностики; синтеза управляющих систем, позволяющих оптимизировать работу системы при патологии с помощью организации внешних управляю­ щих сигналов.

Для организации системы медицинского обслуживания необхо­ димо: 1) унифицировать разнородную информацию, с которой име­

10

ют дело врачи и медицинские учреждения; 2) разработать методы сжатия информации для ввода ее в ЭЦВМ; 3) разработать методы выявления параметров информационных массивов; 4) разработать методы анализа различных вариантов системы обслуживания; 5) разработать методы оптимизации системы обслуживания по за­ данному критерию.

Отличительные особенности биологических и медицинских си­ стем. Существенной особенностью изучаемых систем является их сложность. Проявления сложности многообразны и связаны с боль­ шим количеством состояний и трудностью определения самого поня­ тия «состояние». Многомерность — вторая особенность этих си­ стем, проявляющаяся, с одной стороны, в достаточно большом числе взаимодействующих в рамках данной системы подсистем, а с дру­ гой, в большом количестве главных и второстепенных факторов, влияющих на работу каждой из подсистем. Для биологических и ме­ дицинских систем характерна динамичность и связанное с ней изме­ нение как основных показателей работы системы, так и внутренних их свойств. Работа организма в изменяющейся среде, необходимость

свойства проявляются в отсутствии единообразия реакций системы в равных внешних условиях.

Все перечисленные качества затрудняют анализ работы этих систем и делают весьма трудоемким и своеобразным решение задачи синтеза моделей.

Математические методы биологических исследований — это со­ вокупность математических приемов, применяемых при изучении биологических объектов. Вследствие многообразия биосистем, раз­ нородности свойств, связанных с физическим и химическим суб­ стратом жизни, разнообразием и сложностью взаимодействия со сре­ дой, при их исследовании применение находят практически все мето­ ды классической и современной математики.

Математические методы используются прежде всего при обработ­ ке результатов экспериментального изучения биосистем. Методы математической статистики направлены на выделение в исследуемом явлении, процессе детерминированной и вероятностной составляю­ щих, на изучение достоверности результатов наблюдения. Вычисле­ ние математического ожидания позволяет выявить детерминирован­ ную составляющую реакции биосистем. Вычисление дисперсии, определение доверительных интервалов дает возможность изучить вероятностную составляющую исследуемого процесса и косвенно су­ дить о степени детерминизма системы. Статистический анализ дает тем более точные результаты, чем. большее количество данных од­ нотипного опыта подвергается обработке.

При определении взаимосвязи во времени между предыдущими и последующими значениями одного показателя работы биосистемы используется вычисление коэффициента автокорреляции или авто­ корреляционной функции, а для изучения взаимосвязи двух или

11

большего числа показателей — коэффициент взаимной корреля­ ции или кроскорреляционная функция. Распространенным методом анализа данных биологических экспериментов является построение гистограмм распределения экспериментальных величин. Гистограм­ мы можно использовать для расчета уровня организации биосистемы и’ для аппроксимации экспериментальных данных подходящим за­ коном распределения. Параметры закона распределения часто яв­ ляются показателем состояния или работы биосистемы. Расчет уров­ ня организации биосистем может служить основой для выбора адекватной математической модели.

Обработка экспериментальных данных является основой изу­ чения биосистем. Для достаточно детерминированных биосистем, если требуется провести анализ взаимосвязи различных показателей в динамике, математическое исследование может быть проведено на основе применения методов теории дифференциальных уравнений, теории автоматического управления, вариационных принципов клас­ сической механики. При большом количестве показателей работы биосистемы и при изучении в основном статистических соотношений возможно применение теории абстрактных автоматов. Анализ струк­ турных особенностей биосистем можно провести при помощи теории графов и сетей и методов теории информации В то же время необ­ ходимость изучения взаимосвязи между разнородными показателя­ ми (например, определение взаимосвязи между активностью отдель­ ных нейронов и динамикой вызванных потенциалов) и сложных интегративных показателей типа электрокардиограмм, электромиограмм, электроэнцефалограмм, нейрограмм и импульсных потоков требует разработки новых методов анализа. Сейчас еще трудно указать на установившиеся и эффективные методы такого анализа, однако ведутся их интенсивные поиски.

Исследование недетерминированных биосистем представляет со­ бой весьма сложную задачу биокибернетики. Познание сложных актов обучения, приспособления, развития биосистем тормозится трудностью экспериментального их изучения и отсутствием матема­ тических методов, разработанных специально для этой цели. Лишь частично этот пробел восполняют теория случайных процессов, тео­ рия автоматов, теория стохастических дифференциальных уравне­ ний, теория распознавания образов и теория информации. Потре­ буется, по-видимому, существенное развитие методов современной математики, прежде чем будет разработан подходящий аппарат для анализа сложных актов недетерминированных биосистем.

2. Меры сложности и организации систем

Мера сложности. Что может служить мерой сложности системы? Единого ответа на этот вопрос у исследователей нет. Однако ближе всех, на наш взгляд, подошел к такому ответу У. Р. Эшби, и большинство ученых склоняется к этой точке зрения.

12

Согласно У. Р. Эшби, сложность системы можно характеризовать ее разнообразием [1]. Под разнообразием обычно понимают количест­ во состояний, которое может принимать система. Определяемое таким образом разнообразие является вполне приемлемой оцен­ кой для сравнения различных систем.

Число состояний достаточно сложной системы (а к таким, повидимому, можно отнести все биологические системы) велико. По­ этому под количественной мерой сложности понимают не само число состояний системы, а логарифм этого числа. Таким образом, если число состояний равно п, то сложность системы определяется фор­ мулой

Неопределенность и организация. Оценка сложности относитель­ но числа состояний системы ничего не говорит о том, в каком из возможных состояний находится система и в какое состояние она перейдет в следующий момент времени. Для того чтобы это устано­ вить, необходимо наблюдать систему длительное время. Пусть систе­ ма может принимать т структурных состояний sx, ..., sm. Пусть так­

достаточно длительное наблюдение, то по частоте появления струк­ турных и функциональных состояний можно приближенно судить о вероятностях пребывания системы в этих состояниях. Обозначим эти вероятности через р (s;), р (/у). Для общей оценки системы по вероятностям К. Шеннон ввел удачное эвристическое понятие неопределенности или энтропии. Это понятие оказалось достаточно содержательным при рассмотрении работы абстрактных автоматов, оно позволило связать процессы преобразования информации с из­ вестными законами термодинамики [2].

Пусть проведено измерение относительных частот (которые при большом числе наблюдений стремятся к вероятностям) для струк­ турных и функциональных состояний системы. Для простоты анали­ за считаем, что принятие системой некоторого функционального состояния не зависит от ее структурного состояния. Тогда все струк­ турные и функциональные состояния образуют полную систему со­ бытий и выполняются соотношения

Под неопределенностью (энтропией) дискретных величин р (st) и р (//) понимают следующие величины:

13

когда р (s^ = 1, при подсчете энтропии получаем нуль, а система становится детерминированной. Если система «безразлична» к своим состояниям («системе все равно в каком состоянии находиться»), то вероятности становятся равными друг другу, а неопределенность, вычисленная по формулам типа (1.4), приобретает максимальное значение. Таким образом, неопределенность системы находится в

Систему можно характеризовать и вероятностью принятия ею структурно-функционального состояния (г, /). В этом случае при независимости этих состояний выполняются соотношения

РіІ ~ PiPh

Если вероятности рц равны, то неопределенность становится мак­

Полная максимальная неопределенность системы равняется сум­ ме полной максимальной структурной и полной максимальной функ­ циональной неопределенности системы.

Неопределенность системы характеризует ее хаотичность, неор­ ганизованность. При равных вероятностях принятия системой своих состояний она может считаться полностью дезорганизованной, так как в любой момент с равной возможностью может перейти (или на­ ходиться) в любом состоянии. В этом случае система обладает мак­ симальной неопределенностью, которая в свою очередь совпадает с мерой сложности системы — логарифмом числа состояний (1.1) или логарифмом произведения числа структурных и функциональных состояний (1.9).

Если система начинает предпочитать некоторые состояния дру­ гим, то закон распределения вероятностей отличается от закона рав­ ных вероятностей, а неопределенность системы уменьшается при сохранении прежнего числа состояний. В этом случае уменьшение неопределенности можно связать с увеличением организации систе­

14