Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

критерий, по которому можно сравнивать между собой работу моделей, имеющих различную структуру, то можно осуществить процедуру автоматического поиска наилучшей и по структуре и по параметрам математической модели. При этом необходимо все же задавать класс функций, в котором ищется математическая модель. Например, мо­ дель может быть задана в классе полиномиальных функций, а кон­ кретный вид полинома и его коэффициенты определяются алгорит­ мом поиска модели и поиска параметров модели. Критерием сравне­ ния моделей может служить, например, сумма квадратов отклоне­ ний от экспериментальных данных или отношение дисперсий. При осуществлении таких процедур следует задавать также критерий, по которому можно было бы осуществить остановку процедуры поиска.

Координаты, которые для данной системы считаются выходными, могут быть связаны между собой и со входными воздействиями за счет внутренних связей подсистем системы. Указанное обстоятель­ ство не влияет на выбор системы функций модели. Именно поэтому функциональная модель не может претендовать на раскрытие ин­ тимных механизмов, действующих в системе. Таким образом, для построения функциональной модели нет необходимости задумывать­ ся над сутью процессов, протекающих в системе. Важно лишь удач­ но подобрать функциональное преобразование входов в выходные координаты.

Функциональные модели используются при изучении различных типов биологических и медицинских систем, от детерминированных до вероятностных. Функциональные модели связаны с аппроксима­ цией качественных свойств и количественных данных изучаемых систем. Примером одной из таких моделей, аппроксимирующей экспериментальные данные и получившей мировое признание, мож­ но назвать модель ионных процессов возбуждения аксона нервной клетки, разработанную А. Ходжкиным и Д. Хаксли [10]. Эта в це­ лом аппроксимационная модель, учитывающая, однако, и некоторые элементарные электрические свойства мембраны нервной клетки, широко использовалась физиологами при изучении процессов воз­ буждения.

Преимущество функциональных моделей оборачивается их не­ достатком при попытках выйти за рамки условий тех экспериментов, на базе которых они построены. В 1965 г. [11] мы с сотрудниками построили функциональную модель потенциала действия нервного ствола, раздражаемого короткими электрическими импульсами. Форма потенциала действия хорошо описывалась решением следую­ щего дифференциального уравнения второго порядка:

где у — потенциал действия; и0— возбуждающий прямоугольный электрический стимул; т — время действия стимула; аг, а0, /г0 — коэффициенты пропорциональности и размерности.

20

Расширение модели для получения ряда свойств возбуждения нервного ствола, связанных с абсолютной и относительной рефрактерностью и с зависимостью амплитуды потенциала действия от амп­ литуды стимула, потребовало существенного усложнения первона­ чального варианта. Это усложнение связано с подбором функций специального вида, учитывающих указанные свойства. В результа­ те мы пришли к следующей функциональной модели [11]:

абсолютную рефрактерность; ф — свойство изменения амплитуды. Как видно, чисто функциональная модель каждый раз для уче­ та условий и результатов нового опыта, по которым она не строи­

лась, требует усложнения. Вместе с тем труд, затраченный на поиск специальных функций, осуществляющих преобразование входа в выход, часто может быть потрачен более продуктивно. Речь идет о построении структурно-функциональных моделей, которое обычно связано с предварительным изучением внутренних подсистем «черно­ го ящика».

Однако прежде чем перейти к рассмотрению особенностей этих моделей отметим еще одно свойство процедуры построения функцио­ нальных моделей. Функциональная модель системы строится на всем доступном массиве входных воздействий и выходных координат. Выходные координаты, которые являются переменными модели, доступны измерению. Координаты системы, которые влияют на вы­ ходные, но недоступны измерению, не принимаются в расчет. Это условие позволяет поставить в корректной форме задачу поиска коэффициентов модели, что очень важно для строгого математическо­ го решения задачи синтеза модели.

Структурно-функциональные модели. Для биологических систем характерно внутреннее структурирование. Например, функцио­ нальные системы регуляции уровня сахара в крови или регуляции частоты пульса содержат внутренние подсистемы, представляющие органы, образованные в ходе эволюции организма. Такое естественное структурирование при построении модели трудно не учитывать. В этом случае приходится иметь дело не с системой типа «черный ящик», а с системой, содержащей несколько взаимодействующих между собой блоков. Если входы и выходы всех блоков системы из­ вестны и могут быть измерены, то применительно к каждому блоку может быть поставлена задача поиска функциональной модели.

21

При этом мы возвращаемся к уже рассмотренной задаче, а модель ■системы представим системой уравнений, описывающих функцио­ нальные преобразования координат в блоках. И здесь при решении вопроса поиска структур и параметров математических моделей блоков задача может быть поставлена в математически корректной форме.

Совсем другое положение создается, когда, с одной стороны, система распадается на очевидные, например, с точки зрения физио­ логии структурные подсистемы (блоки), а с другой, входы и выходы всех или части блоков не поддаются контролю и не могут быть изме­ рены. Здесь мы сталкиваемся с противоположными требованиями. Требования физиологии, чтобы математическая модель давала воз­ можность изучить не поддающиеся физиологическому контролю структурные блоки системы, с точки зрения математики, создают условия, в которых невозможно корректно поставить задачу поиска моделей блоков и их параметров. Для того чтобы удовлетворить этим противоречивым требованиям, приходится идти на компромисс. Для описания работы каждого блока можно применить минимальное ма­ тематическое описание. Такой путь позволяет получить систему уравнений, описывающих работу блоков моделируемой системы. Для определения коэффициентов системы уравнений имеется непол­ ная информация — известна только выходная координата либо вы­ ходная и некоторая часть промежуточных координат. Ясно, что в этом случае задача является в принципе математически некоррект­ ной. Для одних и тех же неполных экспериментальных данных мож­ но, очевидно, определить некоторое множество наборов коэффициен­ тов системы уравнений с примерно одинаковой точностью, удовле­ творяющих заданному критерию поиска коэффициентов.

Для уменьшения множества наборов коэффициентов должны быть в полной мере использованы качественные сведения физиоло­ гии. Эти сведения позволяют для выделенных блоков почти всегда определить направление и знаки связей с другими блоками. Такое качественное уточнение во многих случаях уменьшает неопределен­ ность выбора коэффициентов, приближая ее к нулю, а коэффициен­ ты — к единственно возможным значениям. Однако полностью быть уверенным в том, что данный набор коэффициентов является един­ ственно возможным, почти никогда нельзя. Чтобы укрепить уверен­ ность в правильности выбора структурно-функциональной модели системы, следует проверить ее работу в условиях, которые не были использованы в качестве базовых для определения коэффициентов. Если и в этих «новых» для модели условиях она дает качественное и количественное совпадение с опытом, то модель определена пра­ вильно.

И все-таки найденная при математически некорректно поставлен­ ной задаче структурно-функциональная модель имеет большое зна­ чение при относительных сопоставлениях. Так, по такой модели можно изучать возможные количественные сдвиги в работе блоков при нормальной и патологической работе системы. При этом количе­

22

ственные изменения коэффициентов и будут характеризовать раз­ личие между нормой и патологией.

Структурно-функциональная модель такого типа является фено­ менологической моделью системы по отношению к структурно вы­ деляемым блокам.

Математическая модель, построенная на основе основных физико­ химических законов. Коротко рассмотрим особенности таких моде­ лей. Конечно, самым трудным при их построении является опре­ деление закона, которому подчиняется система или ее блоки. Если же закон известен, то возникает задача нахождения опреде­ ленной математической трактовки закона применительно к данной системе и, конечно, с учетом особенностей и специфики ее работы. Удачно подобранную модель такого рода можно не без основания назвать теорией работы системы. К сожалению, физико-химические законы применимы к биосистемам в ограниченном масштабе и почти всегда требуют новой интерпретации. Что касается выбора парамет­ ров уравнений, определяющих работу системы, то при построении такой модели мы можем получить и математически корректную, и математически некорректную задачи. Это зависит от глубины модели и массива имеющихся экспериментальных данных. Пример построе­ ния такой модели рассмотрен далее в гл. 7.

5. Общий алгоритм построения функциональных моделей

Рассмотрим вначале обобщенный алгоритм построения математи­ ческих моделей.

1.Анализ объекта исследования. Выявление причинно-след­ ственных отношений в объекте. Определение систем независимых и зависимых переменных, входов и выходов объекта. Определение пере­ менных, зависящих от времени. Формулировка цели моделирования.

2.Эксперимент. Постановка и проведение экспериментов по вы­ явлению изменений зависимых переменных от независимых, снятие динамических кривых входов и выходов. Составление таблиц экспе­ риментальных данных, снятие осциллограмм.

3.Статистическая обработка данных эксперимента. Определение математического ожидания выходной величины, дисперсии и сред­ неквадратичного отклонения. Для динамических переменных — по­ строение динамики изменения этих вероятностных показателей. Построение гистограмм распределения отклонений от математиче­ ского ожидания, в том числе для различных фиксированных момен­ тов времени.

4.Определение степени сложности и организации системы вход­ ных и выходных переменных. Вычисление чисел состояний, в кото­ рых могут находиться входы и выходы объекта. Вычисление уров­ ня организации входных и выходных переменных, в том числе для различных фиксированных моментов времени. Анализ получен­ ных результатов. Отнесение системы входных величин и объекта

23