Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 0
где О — абсолютная организация системы; Нм — максимальная неопределенность системы; Н — текущая неопределенность системы.
Пусть в системе продолжается процесс уменьшения текущей неопределенности. Тогда в конечном итоге в ней будет реализована вся возможная неопределенность, т. е. система станет детерминиро ванной:
0 = Нт. |
(1.11) |
Таким образом, детерминированные системы можно сравнивать между собой по величине реализованной в них максимальной неопределенности, т. е. по логарифму числа возможных состояний, по мере сложности (1.1).
Энтропийную оценку уровня абсолютной организации системы можно получить на статистике принятия системой состояний, на ста тистике условных вероятностей чередования состояний, т. е. вообще на статистике формирования различных групп состояний.
Используя введеное К. Шенноном понятие избыточности, Г. Ферстер предложил оценивать организацию системы следующей мерой [5]:
я = 1 -----S - . |
(1.12) |
п т |
|
Очевидно, что мера R характеризует величину относительной организации системы и лежит в пределах
0 « Д < 1 . |
(1.13) |
Для детерминированной системы относительная организация рав на единице, для полностью дезорганизованной — нулю. Введение понятия относительной организации позволяет сравнивать между собой различные системы. Относительную меру (1.12) можно полу чить из оценки абсолютной организации, если обе части равенства (1.10) поделить на величину максимальной неопределенности Нт.
Метод расчета сложности и организации систем. Расчет слож ности и организации можно провести применительно к биосистеме, находящейся на любом уровне иерархии. Если биосистема имеет некоторое число дискретных состояний, то, применяя квантование времени, можно подсчитать относительные частоты состояний систе мы. Принимая эти частоты равными вероятностям, нетрудно опре делить текущую неопределенность системы. Чтобы делать выводы о сложности системы, о ее максимально возможной дезорганизации, поступают следующим образом. Принимая число дискретных состоя ний системы, которое наблюдалось при подсчете относительных ча стот, за полное число состояний, рассчитывают сложность системы как логарифм числа состояний (1.1) и принимают эту величину за максимально возможную неопределенность Нт при расчетах уровня организации.
Следует указать на то, что система в различных условиях (нор ма — патология, спонтанная — вызванная, активность) может при нимать различное число состояний. Поэтому обычно необходимо
15'
наблюдать работу системы в разных условиях, и для расчета мак симальной неопределенности, характеризующей максимально воз можную дезорганизацию ее, принимать максимальное из всех наблю давшихся число состояний системы.
Если необходимо получить оценку организации биосистемы по некоторому непрерывному показателю, то поступают следующим образом [6]. Пусть для всего множества состояний биосистемы и на бора условий, в которых она действует, непрерывный параметр (координата, показатель) принимает некоторое максимальное и ми нимальное значение так, что
■^mln -^maxi (1• 14)
я точность измерения параметра, характерная для данной методики его измерения, равна Ах. Тогда число состояний биосистемы будет определяться формулой
Лшах Л:т1п |
(1.15) |
|
П = = -------- ------------’ |
||
|
||
а сложность |
|
|
tfm = logrt = lo g ^ I H ^ |
(1.16) |
Пусть наблюдения показывают, что биосистема в хг и состоянии на протяжении наблюдения находилась mt раз при полном числе наблюдений N. Тогда неопределенность функционирования биосистены относительно изучаемого показателя будет
ГС SW м |
ГС |
fJl |
ffl |
(1.17) |
Я = - £ Pi\ogPl = |
- £ |
- f l o g -^ Ц |
||
i=i |
(=i |
|
|
|
а уровень абсолютной и относительной |
организации |
определяется |
||
обычным путем по формулам (1.10), (1.12) при условии, что слож ность (1.16) равна максимальной неопределенности.
Если биосистема при однообразных условиях (например, вход ных воздействиях) дает ряд различных реализаций выходной коор динаты во времени, то ее работа может быть интерпретирована как случайный процесс. При этом возможна следующая схема анализа. Рассматривается вся совокупность реализаций выходной координа
ты системы для дискретных моментов времени х/ (t{), / = 1, N,
і — 0, k (где N — число реализаций, k — число дискретных момен тов времени). Для каждого момента времени рассматривается сово
купность чисел Xj (J — 1, N) и с учетом точности измерения выходной координаты Ах определяется число состояний щ. Далее по формулам (1.16) и (1.17) рассчитывается сложность и неопределенность. Затем определяются относительная и абсолютная организации системы. В результате получаем ряд чисел, характеризующих сложность и организованность поведения системы относительно изучаемого по казателя для каждого дискретного момента времени. Рассматривая
ряды чисел Нт‘ , R( (і = 1, k), можно более полно говорить о динами
16
ке организации системы и ее параметрах. При оценке сложности и
детерминизма системы можно |
принимать во внимание |
max (Htn) |
и min (Ri). |
биосистем изменение их |
выходных |
Для большого количества |
||
координат подчиняется закону |
нормального распределения. В этом |
|
случае неопределенность системы по данному показателю можно рассчитать по формуле [7]
(1.18)
где ст — среднеквадратичное отклонение закона нормального рас пределения.
Оценки сложности и организации применимы к значениям вы ходной координаты системы, а также к таким обобщенным харак теристикам ее работы, как математическое ожидание и среднеквад ратичное отклонение. Последнее целесообразно, если изменение выходной координаты системы представляется в виде случайного процесса.
Кроме того, оценки сложности и организации могут строиться не только на числе состояний системы и вероятностях принятия ее состояний, но и на различных сочетаниях этих состояний.
3. Об адекватном математическом описании биосистем
Так как сложность и организованность систем являются наибо
лее содержательными показателями их работы, то |
параметры Нт |
и R выбираем основными. Можно предположить, |
что определен |
ным значениям Нт и R соответствует свой адекватный математи |
|
ческий аппарат, наилучшим образом подходящий |
для построения |
математического описания, модели, теории. Понимая трудность этой задачи и учитывая то, что для большинства биосистем аде кватное математическое отображение еще не найдено, в качестве первого приближения можно рекомендовать использовать существу ющие математические приемы для описания работы биосистем с различными значениями параметров Нт и R. Опыт изучения био систем показывает, что если R, вычисленное по гистограмме распре деления отклонений изучаемого показателя (или системы показа телей) от его математического ожидания, лежит в пределах от 1,0 до 0,3, то это — детерминированная биосистема. К таким относятся системы управления внутренними органами, в основном системы гормонального (гуморального) управления. Элемент нервной систе мы — нейрон, органы внутренней сферы, системы обмена тоже могут быть отнесены к детерминированным биосистемам. Математические модели таких систем составляются на основе физико-химических взаимоотношений между элементами или органами систем. Модели рованию в этом случае подлежит динамика изменения входных, про
межуточных и выходных показателей. Таковы, нап |
|
. биофизи- |
2 :4-82з |
ІГ |
. 1,7 |
|
С.' |
|
ческие модели нервной клетки, сердечно-сосудистой системы, систе мы управления сахара крови и др. Математическим аппаратом, адек ватно описывающим поведение таких детерминированных бносисгем, является теория дифференциальных и интегральных уравнений. В этом случае для описания динамики системы вполне допустимо применение системы дифференциальных уравнений к математиче скому ожиданию значения выходной координаты. На основе мате матических моделей биосистем, используя методы теории автомати ческого управления, можно успешно решать задачи дифференциаль ной диагностики и оптимизации лечения. Область моделирования детерминированных биосистем развита наиболее полно. Если орга низованность биосистем по отношению к изучаемому показателю (или системе показателей) лежит в пределах 0,3 ± 0 ,1 , то такие биосистемы являются вероятностно-детерминированными (квазиде терминированными). К ним относятся системы управления внутрен ними органами с явно выраженной компонентой нервной регуляции (например, система управления частотой пульса), а также системы гормональной регуляции в случае расстройства нормальной работы. При описании динамики таких систем уже нельзя обойтись исполь зованием аппарата линейных дифференциальных уравнений приме нительно только к математическому ожиданию выходной координа ты. Однако процесс изменения выходной координаты во времени с учетом случайных отклонений может быть описан системой диффе ренциальных уравнений для параметров (математическое ожида ние и координатные функции) канонического разложения случайной функции. Адекватным математическим аппаратом может служить также представление динамики изменения показателей дифференци альными уравнениями с коэффициентами, подчиняющимися опреде ленным законам распределения. Моделирование таких биосистем раз вито сравнительно слабо, хотя и представляет значительный инте рес для целей медицинской кибернетики.
Вероятностные биосистемы характеризуются значением орга низованности R, лежащим в пределах от 0,1 до 0. К вероятностным относятся биосистемы, определяющие взаимодействие анализаторов и поведенческие реакции, включая процессы обучения при простых условно-рефлекторных актах и сложных взаимодействиях между сигналами окружающей среды и реакциями организма. Адекватным математическим аппаратом для моделирования таких биосистем яв ляется теория детерминированных и случайных автоматов с детерми нированными и случайными средами, теория марковских и случай ных процессов и эвристическое программирование. Модели простых вероятностных биосистем в настоящее время успешно разрабатыва ются.
Моделирование биосистем охватывает предварительную стати стическую обработку экспериментальных результатов, изучение сложности и организованности биосистем, выбор адекватной мате матической модели и определение числовых значений параметров ма тематической модели по экспериментальным данным. Последняя
18
задача в общем случае достаточно сложная. Для детерминированных биосистем, модели которых могут быть представлены линейными дифференциальными уравнениями, определение наилучших пара метров модели (коэффициентов дифференциального уравнения) мож но проводить методом спуска в пространстве параметров модели по интегралу от квадрата ошибки. В этом случае требуется применить процедуру спуска по параметрам ах, а2, ..., ап для минимизации сле дующего функционала:
1 т
J = -J-\[У*(аг, . .. , ап) — у\2 dt,
о
где Т —• период, характерное время для показателя у\ у — экспе риментальная кривая изменения показателя биосистемы; у* — ре шение математической модели.
Если необходимо получить наилучшее в смысле интеграла от квадрата ошибки приближение работы математической модели к работе биосистемы по нескольким показателям уъ у2, ..., ут, по раз личным внутренним состояниям биосистемы или для различных ха рактерных внешних воздействий, то, применяя метод спуска в про странстве параметров модели, можно минимизировать сумму част ных функционалов
т |
(1.19) |
2 М ъ , . . . , ап), |
|
і=і |
|
где Jt (і = 1, т) — функционал для частных состояний биосистемы. При использовании такой процедуры выбора параметров мате матической модели повышается вероятность получения единствен ного набора коэффициентов модели, соответствующих принятой
структуре модели.
4.Сравнительная характеристика математических моделей
Функциональные модели. Метод «черного ящика» стал символом кибернетического подхода к изучению систем. Этот подход имеет свои особенности, преимущества и недостатки. Рассмотрим их.
Прежде всего метод «черного ящика» является абстрактно математическим. Его применение не требует знания физико-хими ческих основ работы моделируемой системы. Для построения модели требуется лишь знать значения входных воздействий и выходных координат системы, заданных в виде таблиц, графиков и т. д. Ставит ся задача отыскать систему функций, преобразующую входные воз действия X в выходные координаты у.
Обычно вид оператора функционального преобразования задает ся, т. е. задается его структура и соответственно количество па раметров, требующих определения. Часто, если есть подходящий
2* |
19 |