Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
А. Б.-ВАСИЛЕВСКИЙ
Методы
решения
задач
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования БССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей педагогических институтов
Издательство «Вышэйшая школа» Минск 1974
51
В 19 |
: |
научно-техи те сн а я |
УДК 51(075.8) |
| |
библиотека СССР |
|
ЭКЗЕМПЛЯР |
ЧИТАЛЬНОГО ЗАДА
Рецензенты:
Кафедра геометрии и методики математики Могилевского государственного педагогического института, доктор физико-математических наук профессор кафед ры геометрии Ленинградского ордена Трудового Красного Знамени государствен ного педагогического института имени А. И. Герцена А. Л. Вернер.
0222—134 В М304(05)-7418-74
© Издательство «Вышэйшая школа», 1974 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга представляет собой учебное пособие для студентов мате матических специальностей педагогических институтов.
В ней рассматриваются общие и частные методы решения тех математических задач, которые имеются в школьных учебниках и с которыми встречаются учащиеся на олимпиадах, конкурсных экзаменах и т. д.
Новыми программами для математических факультетов педин ститутов предусматривается проведение на третьем и четвертом курсах практикума по решению задач. Этот практикум состоит из четырех частей (алгебра, геометрия, тригонометрия и решение кон курсных и олимпиадных задач).
Многие темы, непосредственно связанные с преподаванием мате матики в школе, изучаются в курсах алгебры, математического ана лиза и геометрии, поэтому практикум по алгебре, геометрии и три гонометрии включает только темы, недостаточно представленные в этих курсах и занимающие важное место в школьной математике. Имеется также в виду, что нужный для решения задач (на практи кумах) теоретический материал студенты изучают в курсах высшей математики.
Новые школьные программы по математике включают ознаком ление учащихся с такими важными понятиями, как производная, интеграл, геометрические преобразования, вектор, координатный метод и т. п. Существенным образом меняются методы изучения тра диционного материала. Особое внимание уделяется изучению функ ций. В школьное преподавание вводится язык теории множеств. В связи с этим расширяется круг задач, доступных ученикам сред ней школы. Это, во-первых. Во-вторых, ученики знакомятся с более общими методами их решения. Поэтому в пособии особое внимание уделено функциональному подходу к решению задач как по алгеб ре, так и по геометрии. Показывается также, в каких случаях при менение производной упрощает доказательство тождеств, доказа тельство и решение неравенств, а также исследование кррней урав нений, содержащих параметры,
3
Графики функций используются не только для получения при ближенного ответа, но главным образом для упрощения решений многих уравнений и неравенств, особенно тех, которые содержат параметры.
Обучение учащихся математической деятельности в процессе ре шения задач является неотъемлемой частью обучения, поэтому в книге много внимания уделяется комплексному использованию построений, измерений, вычислений и доказательств.
В конце каждого параграфа имеются упражнения для самостоя тельного решения.
Часть сложных упражнений построена по такому принципу: не которые задачи формулируются для частных случаев; рассмотрев их, мы находим метод, которым можно решить эти задачи и в общем виде. Большинство упражнений снабжено ответами, указаниями
или решениями. |
из различных журналов |
Задачи для этой книги заимствованы |
|
и пособий для поступающих в вузы (см. |
список литературы), при |
чем многие из них подверглись существенной переработке.
Пособие может быть использовано также на семинарах по изу чению методов решения математических задач, при проведении кружковых и факультативных занятий в школе.
Автор искренне благодарен А. Л. Вернеру, Ф. А. Войтовичу, Н. М. Рогановскому и А. А. Столяру, прочитавшим рукопись и дав шим ценные советы по ее улучшению.
Ч а с т ь ! . А л г е б р а и э л е м е н т а р н ы е фу нкции
Г л а в а I. ЧИСЛА
§ 1. Д е л и м о с т ь ч и с е л 1
Разложение на множители
Выражение с переменной раскладывается на множители. После этого показывается, что данное выражение и делитель имеют общие множители.
При решении задач этим методом часто находят применение формулы:
|
а" — Ьп = (а — Ь) |
(а"~1 + |
an~2b -f- ап~яЬ2 |
Ьп~ '), |
(1) |
|||||
где п — любое натуральное число, |
|
|
|
|
|
|||||
|
а" + 6" = (а + Ь) |
(а"-1 — ап~2Ь+ |
. . . + |
( — 1)п—’б"- *), |
(2) |
|||||
где |
п = 2/е + |
1 ; k — любое натуральное |
число. |
|
|
|
||||
|
Для того чтобы убедиться в справедливости формул (1) и (2), |
|||||||||
достаточно перемножить выражения, стоящие в скобках. |
на |
6 при |
||||||||
|
Пример 1. |
Доказать, |
что |
число |
17" — 11" |
делится |
||||
любом натуральном п. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
По формуле (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17" — 11" = |
(17— 11) (17я- 1+ |
17"-М 1 -Ь 17Л 3-112 + |
|
||||||
, + |
. . . + 11я- 1) = |
6 (17я- 1+ |
17«“ 2-11 + |
17я- 8. il* + ... + И " -1). |
||||||
|
Выражение, стоящее |
в скобках,— целое положительное |
число; |
|||||||
Теперь утверждение задачи очевидно. |
|
1 делится на 3 |
при любом |
|||||||
|
Пример 2. |
Доказать, |
что число 2 • 7я + |
|||||||
натуральном |
п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-7" + 1 = 2 (7я — 1) + 3. |
|
|
|
||||
|
Применив формулу (1), получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
2 (7я — 1) + 3 — 2 (7 — 1) (7я- 1 + 7я- 2 + ' . . . + 1) + 3 = |
|||||||||
|
|
= 3 [4 (7я- 1 + 7я- 2+ . . . -t- 1) + 11- |
|
|
||||||
|
Утверждение задачи доказано. |
|
|
|
|
|
||||
|
1 Рассмотрим только те методы решения задач по теории делимости, |
которые |
||||||||
по своим идеям близки к школьной математике. |
|
!' |
|
|
§
Пример 3. |
Доказать, |
что число 32л+1 + |
2Л+2 делится на 7 при |
||||||
любом натуральном п. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32л+‘ |_ 2«+2 = |
дн.з -f 2л-4 = 3 (9" — 2”) + |
3-2" + 4-2" = |
|||||||
|
|
= |
3 (9" — 2") + |
7-2". |
|
|
|
||
Применив формулу (1), получаем |
|
|
|
|
|
||||
3 |
(9" — 2") + |
7 • 2" = |
3 (9 — 2) (9"—1 + 9' - 2• 2 + |
|
|||||
_). gn-з. 22 + . .. + 2«—*) + 7 • 2" = 7 [3 (9 "-1 + 9"-2• 2 + |
|||||||||
|
|
+ 9"-3-22 + |
. . . + |
2Л_1)] + |
2". |
|
|||
|
Метод математической |
индукции |
|
||||||
Математическая |
индукция — метод |
доказательства, |
основанный |
||||||
на следующем принципе: |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) некоторое свойство X верно при k = \ \ |
обладает |
какое-либо |
|||||||
2) из предположения, что свойством |
X |
||||||||
натуральное |
число |
& > |
1, следует, |
что этим свойством обладает |
число k + 1 .
Тогда свойство X имеет всякое натуральное число.
Пример 4. Доказать, что число вида 8Л+ 6 кратно 7 при любом
целом л > 1. |
утверждение задачи верно. |
|
|
|
|||
При п — 1 |
справедливо |
при |
п = k |
||||
Допустим, |
что |
утверждение |
задачи |
||||
(k > 1), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8* + |
6 = |
7т, |
|
|
(3) |
где т — натуральное |
число. |
|
задачи верно и при п = |
k + 1, |
|||
Проверим теперь, что утверждение |
|||||||
т. е. верно равенство |
|
|
|
|
|
||
|
|
8*+' + |
6 = |
7t, |
|
|
(4) |
где t — натуральное |
число. |
|
|
|
|
|
|
Из равенства (3) |
8* = 7 т — 6, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
8*+> + |
6 = 8-8fc + |
6 = |
8 (7m — 6) + 6 = |
|
|
|
= 7-8т — 42 = 7 (8m — 6), т. е. t = 8m — 6. |
|
|
|||||
Таким образом, t — натуральное |
число и, следовательно, |
в силу |
|||||
равенства (4) утверждение задачи доказано. |
|
|
|||||
Пример 5- Доказать, чтд при любом |
натуральном п |
выражение |
|||||
32»+2-_j_ 2бп-н делится ра 1 1 . |
|
|
|
|
|
6
При п — I |
утверждение |
задачи очевидно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
32.1+2 _|_26,+i = |
2 0 9 = |
11-19. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Допустим, |
что это утверждение |
справедливо |
при |
п — k (k > |
1), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т. |
е. |
|
3^ + 2 + 26*+) = |
11 т, |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
т — натуральное |
число. |
|
|
|
|
верно и при n = k-\- 1, |
|
|
|||||||||||||||
Докажем, |
что утверждение |
|
задачи |
т. |
е. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
32 (ft+o+2 |
|
26(ft+i)+i = |
ц |
Pt |
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||
где р — натуральное |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из равенства |
(5) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
32*+2= |
|
11 т — 26*+‘. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||
С учетом равенства |
(7) |
сумму 32(*+1>+2 + |
26<fe+ ,)+1 |
можно |
пре |
||||||||||||||||||
образовать |
к |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
32(А+1)+2 _(_ 26<*+1>+1 = |
32-32<*+1>+ |
26<A+I)+I = |
З2 (11 |
т — |
|
|
||||||||||||||||
_ 2 6*+i)_|_26<a+ i>+1 = |
32-11 |
т — 32-2-2G* + |
27-20ft = |
З211 |
т + |
|
|||||||||||||||||
|
|
26А(27— 2-32) = |
З2-11 |
т + 2е*-110= |
11 (9 m + 10 -26fe). |
|
|
||||||||||||||||
Итак, |
показана верность равенства |
(6); р = |
9 m + |
10-26*. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод остатков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть |
|
и |
N2— натуральные |
числа |
и - N — Nx + N 2. |
Если |
|||||||||||||||||
Nх — qtix + Рх |
и |
N 2= qn2+ Pi |
(Я> |
«i. +г> рг, |
р2— натуральные |
||||||||||||||||||
числа), |
то |
N = (qtix + |
Рх) + |
(?ла + Pi) = Я |
(«1 + |
п2) + |
(рг + р2). |
||||||||||||||||
Поэтому |
число N = Nx + Nz делится без остатка |
на |
q, если |
сумма |
|||||||||||||||||||
остатков рх и р2 |
от |
деления |
|
и |
N2 на q также |
делится на |
q, |
||||||||||||||||
т. е. |
если Рх + Pi = qk |
(k — натуральное |
число). |
|
|
|
п |
число |
|||||||||||||||
Пример 6. |
Доказать, |
что |
|
для |
любого |
натурального |
|||||||||||||||||
2-7л + 1 |
кратно 3. |
1 = |
2 (6 + |
|
1)л + |
1. После применения к (6 + |
1)л |
||||||||||||||||
Очевидно, |
2-7" + |
|
|||||||||||||||||||||
формулы |
бинома |
Ньютона |
станет |
очевидным, |
что |
при |
делении |
||||||||||||||||
(6 + |
1)" на |
3 |
получим в остатке 1 . Следовательно, при делении |
||||||||||||||||||||
2-7" |
на |
|
3 |
получаем |
в |
|
остатке |
2. |
Итак, |
2-7л + 1 |
= |
(3 -т + |
|||||||||||
+ 2) + 1 = 3 (т + 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 7. |
Доказать, |
что ни при каком натуральном |
п |
выраже |
|||||||||||||||||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
212л+ 1 + |
172л+! + |
15 не делится |
на |
19. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
212л+ 1 + 172л+> + |
15 = (19 + 2)2л+' + (19 — 2)2л+1 + 15. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Применив |
к |
выражениям |
|
(19 + 2)2л+! |
и |
(19 — 2)2л+* формулу |
|||||||||||||||||
бинома Ньютона, |
убеждаемся, |
|
что |
при |
делении |
(19 + |
2)2л+1 |
на |
19 |
7
йоЛучаем в остатке 22л+*) |
а при делении |
(19 — 2)2л+1 |
на 19 полу |
|
чаем в остатке ( — 2)2л+1. |
Но 22,'+1 + ( — 2)2л+| = 0. |
Поэтому |
при |
|
делении выражения 212п+ 1 + |
172л+1+ 15 на 19 получаем в остатке |
15. |
||
Утверждение задачи доказано. |
|
|
|
|
Доказательство методом от |
противного |
|
|
Допускаем, что утверждение задачи неверно, т. е. данное выра жение с переменной не кратно данному натуральному числу. Полу ченное в результате этого допущения противоречие доказывает
справедливость утверждения |
задачи. |
|
|
выражение |
|||||
Пример 8. |
Доказать, что |
ни |
при каком целом п |
||||||
/г2+ 3 я + 5 не делится |
на |
121. |
|
|
|
|
|||
Допустим, что утверждение задачи неверно, т. е. существует |
|||||||||
такое целое число ///, что |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/г2 + |
3/1 + |
5 = |
121 ш. |
|
(8) |
|
Разрешив |
уравнение |
(8) |
относительно /г, получаем |
|
|||||
п2 + 3/г + |
(5 — 121 т) = 0, |
Я|,2 = |
— 3 ± 1 / 11 (44/п — 1) |
||||||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
условию задачи /г — целое число. Поэтому |
необходимо, чтобы |
|||||||
11 (44 т |
— 1) = (11/г)2, |
т. |
е. |
чтобы |
44 т — 1 = |
11/г2 |
(к — целое |
число). Левая часть последнего равенства ни при каком значении m не кратна 1 1 , поэтому уравнение (8) не имеет целочисленных
решений. |
противоречие и доказывает утверждение задачи. |
|||||||||||
Полученное |
||||||||||||
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|||
1. |
Доказать, |
что 4-6л + 5л — 4 кратно 5 при любом целом п > 1. |
|
|||||||||
2. |
Доказать, |
что при любом целом неотрицательном п: |
|
|
|
|||||||
а) 42л+ 1+ Зл+2 делится на 13; |
б) |
б2" ^ 1+ |
4Л+2 делится |
на 21. |
|
|||||||
3. |
Доказать, |
что 56ft i'5 + 76^ + |
6 |
делится |
без остатка |
на |
9 при любом на |
|||||
туральном к. |
что ни при каких |
целых |
положительных |
значениях п и к (при |
||||||||
4. |
Доказать, |
|||||||||||
1) |
число Зл* + 1 |
не делится на 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Доказать, |
что для |
любого |
натурального |
п число 52п—1•2П'*"1+ |
Зл“'~1х |
||||||
X 2 2л—1 делится |
на |
19. |
|
|
|
значениях п число |
11" + 7л делится |
|||||
6. |
Установить, |
при каких натуральных |
||||||||||
на 9. |
Определить, |
при |
каких |
|
|
) |
|
значениях |
п |
число |
13л + я |
|
7. |
натуральных |
делится на 12.
8