Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 68

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

А. Б.-ВАСИЛЕВСКИЙ

Методы

решения

задач

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования БССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей педагогических институтов

Издательство «Вышэйшая школа» Минск 1974

51

В 19

:

научно-техи те сн а я

УДК 51(075.8)

|

библиотека СССР

 

ЭКЗЕМПЛЯР

ЧИТАЛЬНОГО ЗАДА

Рецензенты:

Кафедра геометрии и методики математики Могилевского государственного педагогического института, доктор физико-математических наук профессор кафед­ ры геометрии Ленинградского ордена Трудового Красного Знамени государствен­ ного педагогического института имени А. И. Герцена А. Л. Вернер.

0222—134 В М304(05)-7418-74

© Издательство «Вышэйшая школа», 1974 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга представляет собой учебное пособие для студентов мате­ матических специальностей педагогических институтов.

В ней рассматриваются общие и частные методы решения тех математических задач, которые имеются в школьных учебниках и с которыми встречаются учащиеся на олимпиадах, конкурсных экзаменах и т. д.

Новыми программами для математических факультетов педин­ ститутов предусматривается проведение на третьем и четвертом курсах практикума по решению задач. Этот практикум состоит из четырех частей (алгебра, геометрия, тригонометрия и решение кон­ курсных и олимпиадных задач).

Многие темы, непосредственно связанные с преподаванием мате­ матики в школе, изучаются в курсах алгебры, математического ана­ лиза и геометрии, поэтому практикум по алгебре, геометрии и три­ гонометрии включает только темы, недостаточно представленные в этих курсах и занимающие важное место в школьной математике. Имеется также в виду, что нужный для решения задач (на практи­ кумах) теоретический материал студенты изучают в курсах высшей математики.

Новые школьные программы по математике включают ознаком­ ление учащихся с такими важными понятиями, как производная, интеграл, геометрические преобразования, вектор, координатный метод и т. п. Существенным образом меняются методы изучения тра­ диционного материала. Особое внимание уделяется изучению функ­ ций. В школьное преподавание вводится язык теории множеств. В связи с этим расширяется круг задач, доступных ученикам сред­ ней школы. Это, во-первых. Во-вторых, ученики знакомятся с более общими методами их решения. Поэтому в пособии особое внимание уделено функциональному подходу к решению задач как по алгеб­ ре, так и по геометрии. Показывается также, в каких случаях при­ менение производной упрощает доказательство тождеств, доказа­ тельство и решение неравенств, а также исследование кррней урав­ нений, содержащих параметры,

3

Графики функций используются не только для получения при­ ближенного ответа, но главным образом для упрощения решений многих уравнений и неравенств, особенно тех, которые содержат параметры.

Обучение учащихся математической деятельности в процессе ре­ шения задач является неотъемлемой частью обучения, поэтому в книге много внимания уделяется комплексному использованию построений, измерений, вычислений и доказательств.

В конце каждого параграфа имеются упражнения для самостоя­ тельного решения.

Часть сложных упражнений построена по такому принципу: не­ которые задачи формулируются для частных случаев; рассмотрев их, мы находим метод, которым можно решить эти задачи и в общем виде. Большинство упражнений снабжено ответами, указаниями

или решениями.

из различных журналов

Задачи для этой книги заимствованы

и пособий для поступающих в вузы (см.

список литературы), при­

чем многие из них подверглись существенной переработке.

Пособие может быть использовано также на семинарах по изу­ чению методов решения математических задач, при проведении кружковых и факультативных занятий в школе.

Автор искренне благодарен А. Л. Вернеру, Ф. А. Войтовичу, Н. М. Рогановскому и А. А. Столяру, прочитавшим рукопись и дав­ шим ценные советы по ее улучшению.

Ч а с т ь ! . А л г е б р а и э л е м е н т а р н ы е фу нкции

Г л а в а I. ЧИСЛА

§ 1. Д е л и м о с т ь ч и с е л 1

Разложение на множители

Выражение с переменной раскладывается на множители. После этого показывается, что данное выражение и делитель имеют общие множители.

При решении задач этим методом часто находят применение формулы:

 

а" — Ьп = (а — Ь)

(а"~1 +

an~2b -f- ап~яЬ2

Ьп~ '),

(1)

где п — любое натуральное число,

 

 

 

 

 

 

а" + 6" = (а + Ь)

(а"-1 — ап~2Ь+

. . . +

( — 1)п—’б"- *),

(2)

где

п = 2/е +

1 ; k — любое натуральное

число.

 

 

 

 

Для того чтобы убедиться в справедливости формул (1) и (2),

достаточно перемножить выражения, стоящие в скобках.

на

6 при

 

Пример 1.

Доказать,

что

число

17" — 11"

делится

любом натуральном п.

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17" — 11" =

(17— 11) (17я- 1+

17"-М 1 -Ь 17Л 3-112 +

 

, +

. . . + 11я- 1) =

6 (17я- 1+

17«“ 2-11 +

17я- 8. il* + ... + И " -1).

 

Выражение, стоящее

в скобках,— целое положительное

число;

Теперь утверждение задачи очевидно.

 

1 делится на 3

при любом

 

Пример 2.

Доказать,

что число 2 • 7я +

натуральном

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-7" + 1 = 2 (7я — 1) + 3.

 

 

 

 

Применив формулу (1), получаем

 

 

 

 

 

 

2 (7я — 1) + 3 — 2 (7 — 1) (7я- 1 + 7я- 2 + ' . . . + 1) + 3 =

 

 

= 3 [4 (7я- 1 + 7я- 2+ . . . -t- 1) + 11-

 

 

 

Утверждение задачи доказано.

 

 

 

 

 

 

1 Рассмотрим только те методы решения задач по теории делимости,

которые

по своим идеям близки к школьной математике.

 

!'

 

 

§

Пример 3.

Доказать,

что число 32л+1 +

2Л+2 делится на 7 при

любом натуральном п.

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32л+‘ |_ 2«+2 =

дн.з -f 2л-4 = 3 (9" — 2”) +

3-2" + 4-2" =

 

 

=

3 (9" — 2") +

7-2".

 

 

 

Применив формулу (1), получаем

 

 

 

 

 

3

(9" — 2") +

7 • 2" =

3 (9 — 2) (9"—1 + 9' - 2• 2 +

 

_). gn-з. 22 + . .. + 2«—*) + 7 • 2" = 7 [3 (9 "-1 + 9"-2• 2 +

 

 

+ 9"-3-22 +

. . . +

2Л_1)] +

2".

 

 

Метод математической

индукции

 

Математическая

индукция — метод

доказательства,

основанный

на следующем принципе:

 

 

 

 

 

 

 

1) некоторое свойство X верно при k = \ \

обладает

какое-либо

2) из предположения, что свойством

X

натуральное

число

& >

1, следует,

что этим свойством обладает

число k + 1 .

Тогда свойство X имеет всякое натуральное число.

Пример 4. Доказать, что число вида 8Л+ 6 кратно 7 при любом

целом л > 1.

утверждение задачи верно.

 

 

 

При п — 1

справедливо

при

п = k

Допустим,

что

утверждение

задачи

(k > 1), т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8* +

6 =

7т,

 

 

(3)

где т — натуральное

число.

 

задачи верно и при п =

k + 1,

Проверим теперь, что утверждение

т. е. верно равенство

 

 

 

 

 

 

 

8*+' +

6 =

7t,

 

 

(4)

где t — натуральное

число.

 

 

 

 

 

Из равенства (3)

8* = 7 т — 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

8*+> +

6 = 8-8fc +

6 =

8 (7m — 6) + 6 =

 

 

= 7-8т — 42 = 7 (8m — 6), т. е. t = 8m — 6.

 

 

Таким образом, t — натуральное

число и, следовательно,

в силу

равенства (4) утверждение задачи доказано.

 

 

Пример 5- Доказать, чтд при любом

натуральном п

выражение

32»+2-_j_ 2бп-н делится ра 1 1 .

 

 

 

 

 

6

При п — I

утверждение

задачи очевидно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.1+2 _|_26,+i =

2 0 9 =

11-19.

 

 

 

 

 

 

 

Допустим,

что это утверждение

справедливо

при

п — k (k >

1),

 

 

 

 

 

 

т.

е.

 

3^ + 2 + 26*+) =

11 т,

 

 

 

 

 

 

(5)

т — натуральное

число.

 

 

 

 

верно и при n = k-\- 1,

 

 

Докажем,

что утверждение

 

задачи

т.

е.

 

 

 

 

 

 

32 (ft+o+2

 

26(ft+i)+i =

ц

Pt

 

 

 

 

 

 

(6)

где р — натуральное

число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из равенства

(5)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32*+2=

 

11 т — 26*+‘.

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

С учетом равенства

(7)

сумму 32(*+1>+2 +

26<fe+ ,)+1

можно

пре­

образовать

к

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32(А+1)+2 _(_ 26<*+1>+1 =

32-32<*+1>+

26<A+I)+I =

З2 (11

т —

 

 

_ 2 6*+i)_|_26<a+ i>+1 =

32-11

т — 32-2-2G* +

27-20ft =

З211

т +

 

 

 

26А(27— 2-32) =

З2-11

т + 2е*-110=

11 (9 m + 10 -26fe).

 

 

Итак,

показана верность равенства

(6); р =

9 m +

10-26*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод остатков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

и

N2— натуральные

числа

и - N — Nx + N 2.

Если

Nх — qtix + Рх

и

N 2= qn2+ Pi

(Я>

«i. +г> рг,

р2— натуральные

числа),

то

N = (qtix +

Рх) +

(?ла + Pi) = Я

(«1 +

п2) +

(рг + р2).

Поэтому

число N = Nx + Nz делится без остатка

на

q, если

сумма

остатков рх и р2

от

деления

 

и

N2 на q также

делится на

q,

т. е.

если Рх + Pi = qk

(k — натуральное

число).

 

 

 

п

число

Пример 6.

Доказать,

что

 

для

любого

натурального

2-7л + 1

кратно 3.

1 =

2 (6 +

 

1)л +

1. После применения к (6 +

1)л

Очевидно,

2-7" +

 

формулы

бинома

Ньютона

станет

очевидным,

что

при

делении

(6 +

1)" на

3

получим в остатке 1 . Следовательно, при делении

2-7"

на

 

3

получаем

в

 

остатке

2.

Итак,

2-7л + 1

=

(3 -т +

+ 2) + 1 = 3 (т + 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7.

Доказать,

что ни при каком натуральном

п

выраже­

ние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

212л+ 1 +

172л+! +

15 не делится

на

19.

 

 

 

 

 

Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

212л+ 1 + 172л+> +

15 = (19 + 2)2л+' + (19 — 2)2л+1 + 15.

 

 

 

Применив

к

выражениям

 

(19 + 2)2л+!

и

(19 — 2)2л+* формулу

бинома Ньютона,

убеждаемся,

 

что

при

делении

(19 +

2)2л+1

на

19

7

йоЛучаем в остатке 22л+*)

а при делении

(19 — 2)2л+1

на 19 полу­

чаем в остатке ( — 2)2л+1.

Но 22,'+1 + ( — 2)2л+| = 0.

Поэтому

при

делении выражения 212п+ 1 +

172л+1+ 15 на 19 получаем в остатке

15.

Утверждение задачи доказано.

 

 

 

Доказательство методом от

противного

 

 

Допускаем, что утверждение задачи неверно, т. е. данное выра­ жение с переменной не кратно данному натуральному числу. Полу­ ченное в результате этого допущения противоречие доказывает

справедливость утверждения

задачи.

 

 

выражение

Пример 8.

Доказать, что

ни

при каком целом п

/г2+ 3 я + 5 не делится

на

121.

 

 

 

 

Допустим, что утверждение задачи неверно, т. е. существует

такое целое число ///, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/г2 +

3/1 +

5 =

121 ш.

 

(8)

Разрешив

уравнение

(8)

относительно /г, получаем

 

п2 + 3/г +

(5 — 121 т) = 0,

Я|,2 =

— 3 ± 1 / 11 (44/п — 1)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

условию задачи /г — целое число. Поэтому

необходимо, чтобы

11 (44 т

— 1) = (11/г)2,

т.

е.

чтобы

44 т — 1 =

11/г2

(к — целое

число). Левая часть последнего равенства ни при каком значении m не кратна 1 1 , поэтому уравнение (8) не имеет целочисленных

решений.

противоречие и доказывает утверждение задачи.

Полученное

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

 

1.

Доказать,

что 4-6л + 5л — 4 кратно 5 при любом целом п > 1.

 

2.

Доказать,

что при любом целом неотрицательном п:

 

 

 

а) 42л+ 1+ Зл+2 делится на 13;

б)

б2" ^ 1+

4Л+2 делится

на 21.

 

3.

Доказать,

что 56ft i'5 + 76^ +

6

делится

без остатка

на

9 при любом на­

туральном к.

что ни при каких

целых

положительных

значениях п и к (при

4.

Доказать,

1)

число Зл* + 1

не делится на 5.

 

 

 

 

 

 

 

5.

Доказать,

что для

любого

натурального

п число 52п—1•2П'*"1+

Зл“'~1х

X 2 2л—1 делится

на

19.

 

 

 

значениях п число

11" + 7л делится

6.

Установить,

при каких натуральных

на 9.

Определить,

при

каких

 

 

)

 

значениях

п

число

13л + я

7.

натуральных

делится на 12.

8

Смотрите также файлы