Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

и их с и с т е м

Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных

и,

Данное уравнение с несколькими

переменными

F (х, у,

z..........

v) — 0 решается

относительно

одного из этих переменных, на­

пример, V. После этого исследуется функция v — f (х, у, z,

. . . , и).

Пример

1.

Решить в целых числах уравнение ху = х + у.

Из данного

уравнения получаем

У

= 1 +

у ф 1 -

У— 1

у - У

Теперь понятно, что х будет

целым только в том случае, если

дробь—

г — целое число. Но дробь— —г — целое

число,

если

1

У— 1

У— 1

у — 1 = 1

или у — 1 = — 1 .

г/2 =

0,

и

мы

получим

два

ответа:

Следовательно,

ух = 2,

1) Ху = 2, уу = 2 ; 2) х2 = 0, у2 = 0.

Пример 2. Определить натуральные корни уравнения

17 (xyzt +

ху + xt + zt +

1) — 54 (yzt + у + t) — 0.

Решим это

уравнение относительно

х:

17’х =

54 •

17 (zt + 1)

yzt +

у +

Г

Отсюда

54— 17 х =

17

( 1)

У +

zt Т"

у,

Правая

часть

уравнения

(1)

целая

и

положительная,

так как

z, t, х — натуральные числа.

Поэтому х

3.

2 равно 20,

При х = 1 левая часть уравнения (1) равна 37, при х =

при х = 3 равно 3.

Итак, теперь

нужно решить в натуральных числах уравнения:

37 =

17

(2)

У +

___t _

zt +

1

20 =

17

t

(3)

У+

z t+ 1

3 = -

17

t

(4)

У +

zt -f-

1

Из уравнения (2)

получаем

37 t

37 у +

371

=

17 или

1 7 - 3 7 у.

(5)

zt + 1

zt +

1

то

Так

как при

1

правая

часть

уравнения (5)

отрицательна,

это

уравнение

может

иметь натуральные решения

только

при

У = 0.

уравнение

Но

т

17

или

t —

--—--:— = 1 7

37 — 172

zt + 1

t

не

имеет целых

корней,

так

как

не

равно целому

числу

при

z =

0, 1, 2.

(3)

не

Аналогичным образом показывается, что и уравнение

имеет натуральных

корней.

Из уравнения

(4) имеем

3у

3/

17 или

17 — 3у —

31

’ 1 7 - 3 0 =

+ zt + 1

z t+

1

1

‘

z +

Очевидно,

что

0 <

< 3

Z +

(г и t — натуральные числа). Поэтому 0 <

17 — Зу <

3.

Отсюда

14

^

17

,

Тогда

— < у < — - т - е- У = 5-

г +

-у- = 2, т. е. г +

= 1 + 4 "-

t

Следовательно, 2 =

1, t

=

2.

3, z =

1,

t — 2, у = 5 .

Окончательно получим х =

Разложение на множители выражений, входящих в уравнение

Пример 3.

Доказать,

что уравнение х3— 5х2 = 13 не имеет реше­

ний в натуральных числах.

Преобразуем данное

уравнение к виду

х-х (х — 5) =

1 • 1 • 13,

(6)

Пример 4.

Найти целые числа х и у такие,

что х > у '> 0 и

+ 1у = У3+ 7*.

(7)

Преобразуем данное уравнение к

виду

х3— г/3 = 7х — 7у или

{х — у)

(х2 + ху + г/2) = 7 (х — у).

Но так как х Ф у, уравнение (7) эквивалентно

уравнению

х2 -Ь у2+ ху — 7 или

(х — у)2 = 7 — Ъху.

Теперь

ясно,

что 7 — Ъху > 0, т. е.

< 7 : 3 .

Но

это возможно только в следующих случаях:

1)

х =

1,

у = 2;

2)

х =

2,

у = 1 .

Окончательно

получим

х = 2 ,

у = 1,

так

как по

условию

задачи х > у.

Упражнения

1.

Доказать,

что уравнение

х2+ у2= 1971 не имеет решений

в

целых

числах.

2.

Решить в целых положительных числах уравнение 36х — 49у =

2.

числах.

3.

Доказать,

что уравнение x3 = 2 + 3i/2 не имеет решений в целых

4. Решить в целых положительных числах уравнение

х4 + 2х7у — х14 — t f = 7.

5.

Найти все целые решения уравнения х2 — 6х//+13(/2 = 100.

6.

Найти целые решения уравнения х2 — 6хг/ +

5(/2 =

121.

7.

Доказать,

что уравнение х2 -f- г/2 -J- г2 = 28 не имеет решений в натураль­

ных числах.

х3 + 5х2— 13 =

а имеет

8.

При каких отрицательных значениях а уравнение

решение в натуральных числах?

§

3.

О п р е д е л е н и е р а ц и о н а л ь н ы х корне й

у р а в н е н и й

Теорема о рациональных корнях уравнения

Теорема. Если несократимая дробь - Р —

является корнем

много­

члена

м п (х) = апхп +

i* " -1 + ... + а гх + а0

(1)

с целыми коэффициентами, то

о0 делится

на р, а ап— на q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть x0 = p : q — корень

данного много­

члена Л4„ (а). Подставив

в

равенство

(1)

вместо

х число

p :q

и приведя его к общему знаменателю, получим

апрп+ an^ p n~lq +

.. . + '<hpq”- 1+ ад" =

0.

(2)

Отсюда

р (anpn- 1 +

• ■• + а д " - 1) =

— ад"-

Так как числа qn и р взаимно простые,

то а0 делится на р.

Теперь преобразуем уравнение (2) к виду

а„рп = — q (а„_ip,1—1 + . . .

+

а д " '1)-

ных корней целых функций с целыми коэффициентами.

Пример 1.

Определить

рациональные корни

уравнения

а-4 — 5а3 + 8а2 — 7а -f 3 = 0.

Здесь

an = 1,

а0 — 3.

Поэтому

рациональные

корни

данного

уравнения

следует искать среди

чисел

1,

— 1, 3,

— 3.

что

Подстановкой этих чисел в

данное уравнение

убеждаемся,

только числа 1 и 3 являются его корнями.

эти

корни кратными.

Нужно

только

выяснить,

не являются

ли

Для этого

разделим левую

часть

уравнения на (а — 1)

(а — 3). По

теореме Безу это можно сделать. Получим

а4— 5а3 + 8а2 — 7а + 3

а2 — а +

1 ;

А =т^=1,

А

3.

(А— 1) (Х

3)

Отсюда

А4— 5А3 -}- 8а2 — 7А -|- 3 = (А — 1) (А — 3) (А2 — А + 1) = 0.

Уравнение

а2 — а +

1

=

0

не

имеет

целых

корней,

и

корни

хг = 1,

а2 = 3

являются

однократными.

Пример 2.

Определить

рациональные корпи уравнения

8а4 + 4а3 — 1 Оа2 — 9а — 2 = 0.

В этом

уравнении ап = 8, а0=

— 2.

Число

8 делится

на

1,

— 1,

2, — 2,

4,

— 4,

8, — 8,

число — 2

делится

на

1,

— 1,

2,

— 2,

поэтому рациональные корни уравнения нужно

искать

среди чисел;

2 ’

2 ’

4 ’

4 ’

8 ’

8 '

Подстановкой

этих чисел

в

данное уравнение

убеждаемся,

что

только

а =

— 0,5

является его корнем.