Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Гла в а 2.

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

§ 1. Н е к о т о р ы е с в о й с т в а ф у н к ц и й

Свойства непрерывных функций

В этом параграфе рассматриваются

свойства функций, с помо­

щью которых можно значительно упростить

решения

многих урав­

нений,

неравенств,

доказательство тождеств

и других

задач. Наи­

более

известные

свойства

функций

формулируются

без доказа­

Свойство 3.

Если

функция у = f(x)

определена и непрерывна на

[а, Ь\ и на концах этого промежутка принимает

значения разных

знаков, то существует такая точка хй6 (а, Ь),

что f(x0) = 0.

Пример 1.

у = х3 + х2-, — 5 < х < 5

(рис. 1).

0.

Числа 0 и — 1

у ( — 5) <

0;

у (5) >

0; у (0) =

0

и

у ( — 1) =

принадлежат

интервалу

( — 5,5).

у = f (х)

определена,

непрерывна

Свойство 4.

Если

функция

и монотонна (в строгом смысле слова)

на [а, Ь] и на концах этого

промежутка принимает значения

разных

знаков,

то

существует

такая единственная точка х06 (а, Ь),

что f (х0) — 0.

Пример 2.

у = sin х;

л •< х <

3-

л

(рис. 2).

Функция у = sin х на

л монотонно убывающая, по­

Преобразуем ее к

вщгу

У= х2 (х — 3) +

2;

у (0) =

2 >

0.

При уменьшении

х

от 0

до

— оо функция ух — х2 монотонно

увеличивается

от 0 до

+ со, а

у2 — х — 3 монотонно уменьшается

от — 3 до —

со.

Рис. 1.

Рис. 2.

Поэтому у = х2 {х — 3) + 2

с уменьшением

л;

от

0

до — оо

монотонно изменяется от 2 до

— оо.

х06 ( — оо,

0),

Следовательно, существует единственная точка

которая является корнем данного уравнения.

и

непрерывна

Свойство 5. Пусть функция

у = f (х) определена

в некотором промежутке (замкнутом или нет, конечном

или

бес­

конечном). Если в двух точках

х = а и х = Ь

(а <

6) этого про­

межутка f (х) принимает неравные значения: f (а) =

А

и f (b) = В,

то, каково бы ни было число С £ (А, В), существует

такая точка

с £ (а, Ъ), что f (с) = С.

Пример 4. Доказать, что уравнение

Теперь ясно, что при я -> 0

и х-*- + оо функция £/-> +

оо.

Для доказательства утверждения задачи достаточно

показать,

что на

интервале

(0, + оо)

существует

такая

точка

х0,

что

у (х0) <

10.

что

в качестве

хй можно

взять

х — 1,

так

как

Очевидно,

у (1) = 2 < 10.

Таким образом,

положительные корни данного урав­

нения принадлежат

интервалам

(0,1) и (1, +

оо).

Рис. 3.

График функции у = —

—

(при * > 0 ) показан на рис. 4.

Свойство 6.

Пуешь функция

у =

/ (х)

определена,

непрерывна

и монотонна (в строгом смысле слова) на [а, Ь].

Пусть f (а) =

A, f (Ь) = В.

Каково бы ни было число С 6 [А В],

существует такая

единственная точка с £

[а, Ь],

что f

(с) =

С.

Пример 5.

Решить уравнение

у' х — 1 -|-у / л :+ 14 = 3.

Рассмотрим функции

уг = у гх — 1

и t/3 = угх + 14.

Функция

уг

определена

на

[1,

+ оо),

функция

уг — на

[ — 14, +

оо). Поэтому областью определения функции

y = yi + y%

является

[1,

+

оо).

и

корни четвертой степени). Поэтому на основании свойства

1

функция

У х — 1 -)- у х + 14 = 3.

Нетрудно заметить, что х — 2.

определена,

монотонно воз­

Свойство 7.

Если функция у = f (х)

растает (убывает) и непрерывна на [а, Ь], то

на [/ (a),

f (b)]

существует обратная функция

у = ср (х),

также

монотонно воз­

растающая (убывающая) и непрерывная.

П р и м е ч а н и е .

В этой теореме

имеется

в виду

монотонная функция f (х

в строгом смысле слова.

Свойство 8. Пусть функция f (х) определена

на

некотором про­

межутке и во внутренней точке х0 этого

промежутка принимает

наибольшее (наименьшее) значение. Если существует

двусторонняя

конечная производная f (х0), то необходимо f'

(х0)

= 0.

Свойство 9. Функция f (х) удовлетворяет следующим требова­

ниям: а) определена и непрерывна на

[а, Ь]; б) существует конеч­

ная производная /' (х), по крайней мере на (а,

Ь); в)

f (а) — f (Ь).

Тогда существует такая точка х0( (а, Ь), что f

(х0) = 0.

Свойство 10. Функция f (х)

определена

и

непрерывна на [а, Ь]

и имеет конечную производную на (а, Ь). Для

того чтобы f (х)

была

на, [а,

Ь]

постоянной,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

Г (х) = 0, если х £ (а, Ь).

Пример 6. Доказать, что

(

х

i

______

я

arccos х + arccos I

— |- - у

у 3 — Зх2

З- ’

если

0,5 -< х <

1.

Рассмотрим функцию

/ (я) = arccos х + arccos

/

X

1

Г______

I - у +

у 3 — Зх2

? А. Б. Василевский

!

С'нЗяиотека

|

3H3Ell?inj

В силу свойства 10

тождество доказано.

Пример 7. Доказать

тождество

2 (sin6х + cos6х) — 3 (sin4х + cos4х) + 1 =

0.

Рассмотрим функцию

у = 2 (sin6х +

cos6х) — 3 (sin4х + cos4х) +

1 .

Она определена на (— оо,

+ со). Кроме того, у (0) =

0.

у' =

12 sin6х cos х — 12 cos8х sin х — 1 2 sin3xcosx +

+

1 2 cos3xsinx = 1 2 sinxcosx (sin4x — cos4x —

— sin2x + cos2x) = 0.

Свойство- l l . Функция f (х)

определена и

непрерывна на [а, Ь]

и имеет конечную производную

/' (х) на (а,

Ь), Для того чтобы

ком

смысле,

необходимо

и

достаточно,

чтобы /'

(х) >

0 (< 1 0)

на (а, Ь).

12. Функция f

(х) определена

и

непрерывна

на [а, Ь]

и

Свойство

имеет конечную производную f

(х)

на (а,

Ь).

Для того чтобы

f

(х)

была монотонно возрастающей (убывающей)

в строгом смысле,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

f (х)^-О (-^.0)

для

х £( а, Ь)

и р (х) не равнялась тождественно нулю ни в каком

промежутке,

составляющем часть [а, Ь].

0,

то

имеет место неравенство

Пример 8.

Доказать, что если а

ая +

За2 + 15 >

13а.

Рассмотрим функцию

у = / (а) = а3 + За2 — 1 За + 15