Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

П пл. COD. Трехгранный угол ODBM — прямоугольный, причем

МОВ=90° — а,

А

угол

при

ребре

ОМ трехгранного

угла

ODBM

равен

BOD — a. Двугранный

0 , 5 х . Для

определения 0,5х из трехгранного

угла

ODBM применить

одну из

формуле.

186. 47.

Обозначить

сторону

тетраэдра — х,

основание высоты — Я.

Построить сечение шара и тетраэдра плоскостью,

проходящей

через середину М

стороны [АВ] и высоту [DH];

О £ [DH],

Итак, | С О | = а ,

DO = b\

\DC\

найдем из треугольника DOC. Но

для

этого

нужно определить

HDO,

равный

А

Это

можно

сделать

так.

Выразим

через а- |Я С |.

Очевидно,

| НС \ =

ODC.

= хУ 3 : 3

sin HDC=

| НС| : | DC \ = /3~:

3.

49.

Пусть (ОК) х (АВ) ,

(OP) X

х(ВС), (ОН) х (BD);

а ОКБ щОНВ s

Л ОРВ.

Поэтому

высота

[ВТ]

пира­

миды образует конгруэнтные

углы

с

ребрами [ВЛ],

[В£>],

[ВС].

Из

прямо­

угольных треугольников АТВ, CTD и DTB следует,

что

I АВ| =

IDBI== \ ВС|.

Пусть [ОХ] х (AD), (OY) х (CD),

[О/И]

± (АС). На

основании теоремы о трех

перпендикулярах

[7'}/] j_ (DC),

[ГМ]

J_ (/1C),

(TX)x(AD).

На

основании

теорем

о

наклонных

и

их

проекциях

I ХОI=

1ОМ \=

I OY I.

Теперь

ясно

что | ЛО] = |ОС| =

|ЛС |. 52.

3)=>4);

4) =>

3);

5) = > 1 ),

2),

3),

4),

6),

7),

О ’

12),\

=>

2)>

3)'

4),

7),

11),

12,

13);

7)

=>

1);

8)

=>

1))

11);

13)

=>

1);

10) => 1); 12 = > 3),

4);

13) = >

1),

2),

3),

4),

6)/

7),

11),

12).

S3-

О =>12); 3) = > 4 ),

5),

7), 8).

И),

16);

4 )= > 7 ),

8);

5 )= > 4 ),

7),

8);

7) => 4)• 8); 8)=>4), 7);

9) =>

1), 4),

7),

8),

12), 13),

17),

18);

10) => 1),

2);.

11) = > 4 ),

7), 8); 12) => 1);

13 - > 4 ) ,

7),

8);

14) => 1), 2), 3),

4),

5),

7),

8),

9),

10),

11), 12), 13),

15), 16),

17),

18);

15) = > 1),

4),

5),

7),

8), 9)/

12),

13),

V’

0> 6). У), 14),

13),

?7.8): 17)=>1)-

1*4)-

7)'

9) ' 12Ь

13).

18);.8) => 1),

17).

Упражнения к гл. 6

1. Если бы такая прямая существовала, то по обе

стороны

от

нее лежало

бы одно и то же число вершин многоугольника. 2.

Рассмотрим все треугольни­

ки с вершинами в данных точках.

Выберем один

из тех, в которые

попадает

наибольшее число точек.

Обозначим его

АВС.

Проведем

прямые (АВ),

(ВС) и

(СА). Они разбивают плоскость на

области трех типов:

треугольник,

углы,

от­

крытые

области. Исследовать каждую из этих

областей. 3. На основании зада­

чи 2 среди пяти точек плоскости, никакие три

из

которых

не

лежат на одной

прямой, есть четыре, образующие

выпуклый

четырехугольник.

Рассмотрим все

возможные группы по 5 точек,

выбранные из данных п точек.

Таких групп бу­

дет Съп. В каждой группе найдется

по крайней мере одна четверка точек,

обра­

зующих выпуклый

четырехугольник.

Но

каждый такой

четырехугольник

мог

С5

Теперь докажите, что С®: (л — 4 ) > С ^ _ 3. 4. Пусть Р у— любая

менее — -—

п ■— 4

прямых имеют общую исходную точку Pj,

то по

точка. Так как пять отрезков

крайней мере три из них одного цвета, например [РхРЦ,

[Й1Й3], [TV^]. Пусть

они будут белыми. Тогда, если хоть один

из

отрезков

[Р2А ].

[А Л 1.

[Й4Р2]

белый, например [йоРд],

то треугольник PjPoP3 белый.

Если все эти

отрезки

черные,

то

треугольник

Р2Р3Р4 черный.

5.

Через две произвольные точки

провести

прямую. Через

все

остальные точки

провести

прямые,

параллельные

этого многоугольника. 7.

Нельзя, потому что каждая костяшка покрывает одно

белое и одно черное поле,

а из доски

вырезано два черных

поля. 8. Пусть

А — общая^точка'кругов. Соединить А

с центрами

кругов и

рассмотреть наи­

меньший из образовавшихся углов. Доказать,

что отрезок, соединяющий соот­

ветствующие центры 0 1 и О.,,

лежит

целиком

в одном из кругов.

9.

Десять

способов. 10.

Каждая фигура закрывает либо три белых клетки,

либо три чер­

ных, а всего фигур 25. 11. Куб A BC D A 1B 1C 1D 1 можно разбить на

пять

тэтра-

эдров: BjDj+C, A^AB-JD, CxCB^D, ВВ^АС, DD^AC. Докажем,

что

на

меньшее

число тетраэдров куб разбить нельзя.

Пусть куб с ребром 1 разбит

на

некото­

рое число тетраэдров. Есть не менее двух нз

них,

основания

которых

лежат

на грани ABCD (грань куба — квадрат и поэтому не может быть

гранью одного

тетраэдра). Есть не менее двух тетраэдров,

основания которых

лежат

на гра­

ни AxBxCxDx. Эти тетраэдры отличны от первых двух,

ибо у тетраэдра

нет па­

раллельных граней. Очевидно,

общий объем этих четырех тетраэдров

не боль­

ше двух третей объема куба.

Поэтому есть по крайней мере еще один тетраэдр.

12. Всего прямых

= 10. Через каждую точку, например С,

проходит четыре

прямых. Поэтому нз каждой точки выходят

шесть

перпендикуляров.

Рассмот­

рим две точки В и С. Перпендикуляры, опущенные из В на прямые,

проходя­

щие через С,

пересекают все перпендикуляры,

опущенные из С.

Из С

выходят

три прямых,

не проходящих через В.

Следовательно, из В на них можно опус­

тить три перпендикуляра. Они пересекаются с перпендикулярами

из С

в 3-6 =

= 18 точках.

Всякий другой перпендикуляр из В к остальным трем прямым, не

проходящим через В,

пересекает пять перпендикуляров

из С,

ибо

с

одним он

не пересекается, потому что опущен с

ним на

одну

сторону.

Получается еще

15 точек. Итак, перпендикуляры, проведенные

из двух

точек,

пересекаются в

18 + 15 = 33 точках. Из пяти точек

можно

составить

10 пар.

Поэтому точек

пересечения не более чем 33-10 = 330.

Но часть нз них совпадает.

Так,

любые

в одной точке. Мы эту точку учли три

раза.

Всего таких

треугольников С? =

= 10. Следовательно, десять точек было учтено по три

раза.

Итак,

всего то­

чек пересечения не более чем 330 — 30+10=310.

16.

1. а) Обозначить данные точ­

ки Л, В , С, D, Е и предположить, что из точки А выходят три красных

от­

резка. Пусть, например, отрезки [АВ], [АС],

[Л£>]. Тогда, по условию

зада­

чи, отрезки [ВС], [DB], [CD] должны

быть

синими.

Треугольник

DBC

полу­

чился синим, а это противоречит условию задачи;

б)

по предыдущему

нз точ­

ки А исходят два отрезка одного цвета, например,

красного,

[АВ]

и

[.4С].

Тогда [AD] и [АЕ] — синие отрезки. Из условия задачи

вытекает,

что

[ВС] —

синий, a [DE] — красный. Из точки D

исходит еще один красный отрезок — ли­

бо [CD], либо [DB]. В обоих случаях цвета остальных

отрезков определяются

однозначно. 2. Искомая линия: ABEDCA,

ADBCEA,

ABDECA,

ADCBEA.

17. Рассмотрим произвольную продольную или поперечную прямую.

Она

делит

доску на две области, в каждой из которых имеется четное

число

клеток.

Из

них четное число (может быть,, нуль) покрыто

костяшками,

не

пересекающими

границу областей. Значит, границу может пересекать только

четное

число кос­

ми, а остальные — средними.

На крайнее поле можно попасть конем только со

среднего. Если конь обошел

все поля с соблюдением условий задачи, то 2п

15*

227

четное число.- 20. При каждом разрезании число

кусков

бумаги увеличивается

на один, поэтому после к разрезов будет,, (k + 1)

кусок.

При каждом разреза­

будем иметь еще К + 1 — 100

кусков. Каждый из этих кусков

имеет не меньше

трех вершин. Следовательно,

общее число вершин во всех кусках не меньшее,

чем 100-20 + (К — 99)-3. Но это число не больше, чем 4/С + 4.

Поэтому 4/( +

+ 4 > 100-20 + (К — 99)-3. Отсюда К >

1699. Таким образом,

нельзя получить

100 двадцатиугольннков, если выполнить

меньше 1699 разрезов. Получить 100

двадцатиугольннков, сделав 1699 разрезов, можно следующим

образом: разре­

заем квадрат при помощи 99

разрезов на сто прямоугольников.

Каждый прямо­

Рис. 169

Рис. 170

Рис. 171

Рис. 172

Рис. 173

лосы, образованной перпендикулярами к прямой (АВ) в точках /1

п В, образует

с точками А и В невырожденный тупоугольный треугольник. Для

каждой пары