Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

[О, л ] . 2 8 .

х = - j -

-|- 2 й л .

2 9 .

Е сли а ф (2к + 1 ) л , т о

л: = (—

1)" - ^

+

л п -

а

> если

а —(2ft ~г 1 ) я ,

то д: — лю бое

д ей с тв и т е л ь н о е

ч и сл о .

П р е о б р а зо в а т ь

2

л ев у ю

часть

у р а в н ен и я

в

п р о и зв ед ен и е .

3 0 .

Е сли

__5 < а

< 3 ,

т о

х—

= (

1)* arcsin ()^ 4

а

2)

-)- як.

О б о зн ач и ть

sin х = у

и п о с тр о и ть

граф и к

ф ун кц и и

а = —у- —4уна

п р о м е ж у тк е

[—

1,

1].

31 . Е сли

а ——

^ , то

л: =

=

я

2& я.

Д а н н о е

у р а вн ен и е

эк в и в а л е н т н о

систем е

у р авн ен и и :

~2

~+

sin

х=

1,

1

—2 < а <

8 , т о

co s ах=

1.

J

а > у " 8

а <

х=

3 2 .

Е сли

реш ений

нет;

если

или

—

фл8, т о

=

±

a rcc o s (У 2)°

® +

2 я л ;

если

—

] ^ 8

<

а <

—

2 ,

т о

х =

=

±

a rcc o s 0 ^ 2 ) °

1

2а

8

-f 2 л п .

О б о зн ач и ть

у — logo co s х.

3 3 .

2кк < х <

< 0 , 5 я +

2 £ я .

И з

всего п р о м е ж у тк а

[ 0 ,2 л ]

л е в а я

часть

н ер ав е н с тв а

оп ределен а

т о л ь к о на

[

л

я

34 .

= (—

+ 2 /гя ,

I =

~2~

+ (— l) f t - g - -)-

0 ,

~2

х1

l)ft -д -

h

+

(2 п — к) л ;

х2

( - 1 ) * +

' - 2 - +

2kn,

yt = —

+ <-1)*“1Г + (2'г-

/г)л-

П р е о б р а зо в а т ь

д а н н о е

у р а вн ен и е

с

д в у м я

переменны ми

к

ви д у

Д а л е е ,

х+ У

х— у

„ х+ у

„

2co s

g

cos

-

2

■= 0 , 5 +

2 c o s2 —

О тсю д а

х-гУ 1

X— у

У

cos

* +

=

0 ,2 5 .

2

cos

— COS ■

Обозначим

X+ у

= и,

X— у

Тогда

уравнение

принимает вид

cos — 7,—

cos

2

= t.

и (I —и) = 0 ,2 5 .

О тсю да

t

0,25 +

«а

( М| < 1).

и

Построив график последнего уравнения,

убеждаемся, что его решениями

являются tii = — 0,5;

tx = — 1; н3 =

0,5; t2 =

1 •

Таким образом,

данное уравнение эквивалентно двум системам уравнений:

cos

х + у

- 0 ,5 ;

cos

х + у

=

0,5;

2

2

cos

х —У

cos

х — у

2

2

35.

a = kn(k = 0,

± 1 ,

± 2 ,

...).

36.

х = ± - ^ - ,

г/ =

Т ~ Р а с с м о т р е т ь

случаи:

х

> 0,

у > 0;

х < 0, (/ <0;

х >

0,

у < 0;

х

< 0,

у > 0.

Во всех

четырех случаях система уравнений решается методом подстановки.

39.

Шесть.

40.

л: =

0.

41. х —

+

2/гя.

42. х1 = 0,4Ы,

x2 = (2k +

1) я;

У (хг) = у (х2) = 1.

4 3 .

х =

±

ЗТ

Применить формулу

1 +

cos 2х =

2cos2x.

44.

х — любое

—g - + 2kn.

действительное число,

кроме

х =

kjt

45.

х = ± 3 ,

у =

я (4k— 1)/18. Решить

—•

Очевидно,

что

корень существует только

тогда,

если cos х =

0

или

c o s x = l .

Во всех других

случаях под корнем отрицательное число.

5 0 .

х = 0;

я

5л

—g—; —g -.

51 .

а — рациональное число. Данное уравнение эквивалентно системе уравнений:

sin ах =

0 ,

|

cos х =

1 .

J

52. Е сли а ф ± У 2 , т о

Я

+ /гя; если

а =

,—

, т о

х =

я

Е сли

х = —

у 2

+ 2 я п.

__

, т о

х =

Я

+

я (2п -f

1); k, п =

0,

± 1, ± 2 ,

. . . Р а ссм о тр еть случ аи :

а = — У 2

- 4-

о

= 0; cos х ф — а и

sin х ф — а

.

5 3 . х =

я (2k +

1)

/

я

\

-----^-------- ; у I

1=4. 5 4 . хг=

.=

—

х 2 = - ? р

c o s 2 x

= 2 c o s 2x —

1.

П о это м у

п е р в о е

у р а в н е н и е

с в о д и т с я к

уравнению 3

2cos * — 32cos x 1= -g-. 55.

cp =

—g-; m = 2. Выразить сначала tgcp

через cos 2cp.

56.

;

x 2 = 2. Целые

значения x находятся среди решений

системы неравенств:

1 — sin х > О,

-I

— 3* 2 + 10х — 3 > 0. |

— Зх2 + 10.v — 3 ф 1. J

Рис.

164

Рис.

165

57.

sin ^ arcsin

+

arcsin - | - j

=

sin ^arcsin -g -j cos ^ arcsin —

j

+

+

cos ( ascsin -i_ ) sin ( arcsin - L j

=

_ L

j /

j _

sin2( arcsin _|_j

+

+

" j/

1 — sin2 |arcsin -g- j

=

-g -"j/

1

_3 \ 2

J _ \2 _3_

4

+ >

3

4

I 'T +

3 ]/"8

=

З л — 10.

59.

1)

Рнс. 1G3; 2)

— ж

я

л.

60.

1) Рис.

164

--------- 12--------- • 58-

2)

x =

0,75.

61.

х =

- = - Ц ^

- .

62.

1) Рис.

165;

2) л: =

0,5

] /

6

3 .

х =

=

0,5.

cos (arccos х У З -j- arccos x )= c o s -y

и

т.

д.

64~.

1)

co s-j^ -

<

х < 1;

2)

/

Ц

=

-

<

х <

1.

65.

1) Рис.

166; 2) х =

0.

6 6 . хг = 0,

х2=

1,

х3 =

— 1.

67.

2)

0 <

х <

1. 6 8 .

1) Рис.

167;

2)

2йл <

х ■< 2йл +

-g- .

69. 1) — 1

<

х <

<

1 — У з +

2- 0’5 ;

1 + У " з +

2 - ° - 5 <

х <

3;

2)

0

<

х < 1;

3)

0

< а: < 2 ;

4)

х <

1; 5) 0 < л: <

1; 6) — 0,5 <

х < 0; 0 <

х < 0,5;

7)

если

— 1 <

а < 0, то

— 1 < х <

1;

если

0 < а < 1 ,

то

— 1 < х < 1 — 2 а2;

при

а = 0

решении

неравенство

не

имеет;

8 )

если

а < 0 ,

то

решений

неравенство не

имеет;

если а > О,

то

х > - ^ - а .

70.

I)

х = л (~*Г ~ к ~

У= я [“IT +

-|- А + “4“);

2 )

* =

2 лй,

// =

л (2т -|-

1); 3) из первого уравнения следует

cos (.¥ + (/) =

0 ,

т.

е.

х +

у = —jj- +

яга.

Дальнейшее решение системы очевидно;

в суммы получим cos (Зд: + у)

= cos (х +

Зу).

Откуда Зд: +'(/ =_±

(л; + 3у) + 2яп.

„

очевидно.

71.

х = arctg

З + У Г

■яга.72. 0 < ж <

Дальнеишее решение системы

-----g-----

/ F — 1

/ 5 —1

я

я

я

< arccos-------5------ . 73.

------- я------ < а « 1.

74. -т^- < х <

—р ;

-т - < д: <

Т

Т

< -у ^ г.

75. 0 < а- <

arctg

( / 2 — 1); arctg

0,5 < х <

я

<

д: <

arctg ( / 2 —

— 1) +

я;

arctg 0,5 +

5я

76.

Если 0 < | а | <

2

-

я < х < —у— .

- у

или 1 < i а | < / 2 ,

то система уравнений

решений не имеет;

если

2

или

| а \ =

/—

то си-

| а | = -д -

у 2

,

2

< | а \ < 1 ,

—

<

| а | <

3

или

стема уравнений имеет одно решение; если -д -

/ 2

4k — 3 <

I а \ < 4k — 1

(А =

2,

3, 4,

...),

то

система

уравнений

имеет два

ре­

шения.

Если 4р — 1

<

| а | <

4р + 1 (р =

1,

2,

3, ... ),

то

система

уравнений

имеет четыре решения.

Гл.

4

§ 1

_

1.

40 км.

2. Ya b .

3.

По условию задачи 2пху — 2яд:2 =

2я.

Отсюда у =

— x - j - x ~ l . 4.

| ЛВ|

=

30км;

vx =

30 км/ч, о2 = 20км/ч. 5.

| ЛВ | =

1008

км.

6 . Иванов в первую

и

во вторую

неделю

вырабатывал

по

28 деталей

в час.

Петров

в первую неделю вырабатывал 28 деталей в час, а во вторую и третью —

по 32 детали в час.

Новиков

вырабатывал

(в третью неделю)

22 детали в час.

В первую неделю план

был

выполнен

на

114,8%,

во вторую — на

100,6%,

в третью — на

109,6%.

7.

1,1 ц.

8 . 25 раз

и 15 раз.

9.

«2» — 11,

«3»— 7,