Файл: Быстрова, В. И. Проектирование механизмов и приборов для целлюлозно-бумажных производств учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в2,5—5 раз выше собственной частоты этого объекта. Однако по­ мимо вредных воздействий, вибрация имеет и полезное применение

втехнике. Например, на принципе использования вибрации осно­ ваны вибрационные преобразователи (выпрямители), вибраторы

для ускорения химических реакций.

Ультразвуковые

колебания

с частотой более 20 000 Гц с успехом

используются для

контроля

уровня жидкости, для регулирования концентрации волокнистых

масс и т. д.

Отсюда ясно, насколько важно знание природы этого явления, а также путей устранения вредного воздействия механических ко­ лебаний различных систем.

Основные параметры колебательного процесса

Колебательный процесс характеризуют следующие параметры. Смещение х — это отклонение или мгновенное значение координа­ ты колеблющейся точки. Первая производная по времени от сме­ щения называется колебательной скоростью v=dx/dt. Колебатель­ ное ускорение — вторая производная от смещения по времени: / =

= d2x/dt2.

Вибрация называется периодической, если все значения колеба­ тельной величины, характеризующие процесс, повторяются через одинаковые промежутки времени (Т) в одинаковой последователь­ ности. Период колебаний Т измеряется временем, в течение кото­ рого колеблющаяся точка совершает полный цикл колебательного движения. Величина, обратная периоду, называется частотой коле­ баний v = l/r . Число полных колебаний, совершаемых за 2 я еди­ ниц времени, называется круговой частотой: со = 2 л/Т или o)= 2nv.

Колебательный процесс, который характеризуется только угло­ выми смещениями колеблющейся точки, представляет собой кру­ тильные колебания. Вибрация называется прямолинейной, или однокомпонентной, если колеблющаяся точка находится на одной прямой. Вибрация в плоскости называется плоскостной, или двух­ компонентной. Вибрация в некотором пространстве носит название пространственной, или трехкомпанентной.

§2. ВИДЫ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Втехнике обычно встречаются четыре вида колебательных про­ цессов: собственные (свободные), вынужденные, параметрические

иавтоколебания.

Собственные колебания

Собственные (свободные) колебания возникают в изолированной системе в результате воздействия на нее внешнего однократного, импульса (возмущения). Таким образом, при собственных колеба­ ниях системы энергия поступает извне только во время этого воз­ мущения, и далее характер колебательного процесса зависит толь­

165.

ко от свойств самой системы, если не принимать во внимание тре­ ние и сопротивление среды. Отклонения системы от положения равновесия при этом происходит по закону синуса или косинуса. Собственные колебания, таким образом, являются гармоническими.

 

В качестве примера рассмотрим собствен­

 

ные колебания системы, состоящей из гру­

 

за 1 (рис. 109), подвешенного на винтовой

 

цилиндрической пружине 2 к неподвижному

 

звену. Если отвести вниз груз 1 на некото­

 

рую величину х0 и затем отпустить его, воз­

 

никнут собственные колебания системы.

 

Винтовая пружина, растянутая возмущаю­

 

щей силой, будет стремиться к уменьшению

 

деформации растяжения за счет упругих

 

свойств, и груз начнет перемещаться вверх

 

к положению равновесия. При этом движе­

 

нии возникает кинетическая энергия, благо­

 

даря которой в момент прохождения поло­

 

жения равновесия, груз будет иметь мак­

 

симальную скорость. Под действием этой

 

скорости груз пройдет положение равнове­

Рис. 109. Система с гар­

сия и будет продолжать

подниматься до

некоторого крайнего верхнего положения,

моническими собствен­

сжимая при этом винтовую пружину.

ными колебаниями.

 

Теперь пружина за счет своих упругих

 

свойств будет стремиться

снова вернуться

в первоначальное состояние, т. е. начнет растягиваться, перемещая систему к положению равновесия. При достижении положения рав­ новесия груз опять будет обладать наибольшей скоростью, он прой­ дет через положение равновесия вниз и т. д. Таким образом возни­ кают собственные колебания. Если на систему при этом не будет влиять трение и сопротивление среды, то эти колебания будут про­ исходить без рассеивания энергии, т. е. будут незатухающими.

Дифференциальное уравнение движения этой системы может быть записано на основании принципа Даламбера следующим об­

разом: mx-j-qx = 0. Разделим все члены уравнения на коэффициент при первом члене:

X -1----— X = 0 . :

1 т

Введем обозначение qjm = &\, где q — жесткость упругого элемента

системы; т — масса

груза (подвижной

системы);

со0 — частота

собственных колебаний. Тогда получим х+соох = 0.

Решение этого

дифференциального

уравнения найдем

в виде

x = a 1cosco0£+

+ a 2sinco0^, где й[ и й2 — постоянные интегрирования, определяемые

из начальных условий при t = 0 х = х0; х = х 0 (t — время).

Если к рассматриваемой системе приложена сила сопротивле­ ния, колебания будут затухающими. В том случае, когда подвиж­ ная система спроектирована с успокоителем и сила сопротивления,

166

создаваемая этим успокоителем, пропорциональна скорости движе­

ния системы,

дифференциальное уравнение

системы будет тх-\-

-\-сх-\-дх = 0, или, если обозначить —с/т = 2е,

получим

 

х

2 s х ~|- wo

— б.

 

(12Л)

Второй член

уравнения

учитывает

влияние

силы

сопротивления

(успокоения).

Здесь с — коэффициент успокоения

(см. § 6 гл. 11);

с — половина приведенного коэффициента успокоения.

Решение однородного дифференциального уравнения (12.1)

будет

 

 

 

y .._

ш°'

-)- ахе

( 12.2)

х = е - в‘[а3е г

где е — основание натурального

логарифма; а3, а4

постоянные,

определяемые из начальных условий.

Уравнение (12.2) описывает собственные колебания груза на пружине при наличии сопротивления. Характер колебаний может быть различным в зависимости от соотношения е и со0. При е<сйо.

имеет место слабое затухание. Решение

(12.2) запишется в

виде

х х= е~г ‘(Ьхcos шх t -f- b2sin Wj t).

(12.3)

Здесь a)x

 

 

 

Отсюда видно, что oji< ;coo. Период колебаний при этом будет

 

2 я

2 -

Т

 

Тг = -

V

э2/“о

 

 

 

т. е. Т\~>Т. Сопротивление вызывает замедление движения. Коле­ бания становятся затухающими. Назовем 7^ условным периодом колебаний при действии на систему силы сопротивления. Учитывая начальные условия, выражение (12.3) можно представить в виде x ,= /le _s<sin(coK+a), где Ае~-‘ — амплитуда колебаний; a — угол*

называемый фазовым сдвигом, или углом сдвига фазы.

Пусть в момент 7Кот начала колебаний амплитуда была Ае -et„ тогда через полный условный период Т\ амплитуда колебаний

будет Л К “(<кт7'1), Разделим первое значение амплитуды на второе, получим

- Е t „

,

— Е t „

Ае

Ае

Z =

 

е<к °'Т1

Ае E^ +Tl)

Ае

Прологарифмируем полученное отношение г:

In г = In егГ>= еТх = А.

Величину A = e7’i называют логарифмическим декрементом. Для каждой колебательной системы она постоянна. В выражении через круговую частоту логарифмический декремент А запишется в виде

А= е 7’1= ■ 2 я г ] / " о -

16Г

■о

Рис. 110. Собственные колебания при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости.

а — е<со0; б, в — е>соо

Колебательный процесс при е<со0 представлен на графике рис. ПО, а. При е > ю 0 имеет место сильное затухание. Уравнение

(1 2 .2 ) примет вид

 

х 2 = е~г 1(аьеш*1-j- аве ~т*{),

где а5, а6 — постоянные интегрирования

(определяемые из началь­

ных условий при t = 0 х = х0, х = 0); ш2 —

е2 — u>o-

Учитывая начальные условия, получим решение

х = х°

sh(TC

1+ Arth

)’

где В= , А

x = (£>0t. Движение системы, соответствующее этому

У X3—4- к "

 

 

 

 

решению, является апериодическим. Система возвращается мед­ ленно, не переходя ни разу через положение равновесия в исход­

ное положение

(рис. 1 1 0 , 6 ), либо,

в зависимости от

начальных

условий,

может

перейти один раз

через

положение

равновесия

(рис. ПО,

в). При е—шо уравнение

(12.2)

имеет вид

 

х 3= е~Е((a7t -f- а8).

Учитывая начальные условия, приходим к решению

■*3 = x0e~et( s t + 1).

(12.4)

Характер колебательного процесса подвижной системы при этом

1G8

аналогичен предыдущему, различие только в количественных от­ ношениях. Затухающий колебательный процесс вида (12.4) при

е= (о0 носит название критического затухания.

Втехнике довольно часто встречаются случаи колебательного движения системы при сухом внешнем трении (трении между твердыми телами). Рассмотрим движение системы, на которую действует сила сопротивления в виде силы сухого трения. Она при­ нимается постоянной и не зависящей от скорости движенияДиф­

ференциальное уравнение движения системы будет mx-\-qx±F—-О, или

х

«ол: ±

=

0,

(12.5)

где <7 — жескость пружины;

F — сила

трения,

направленная про­

тив скорости.

(12.5)

запишем в виде

 

Решение уравнения

 

 

 

 

 

F

(1 2 .6 )

х = а9cos о)0 1-f- al0 sin ш0^ + — .

Поскольку последний член уравнения меняет знак при изменении направления скорости, для нахождения постоянных интегрирования «э и а10 следует задаваться начальными условиями для каждого

полупериода. Так, при £ = 0 для первого полуколебания х = х 0 , х = 0,

для второго полуколебания при * = я/со0 х = х и х = 0 и т. д. Тогда уравнение (1 2 .6 ) будет приведено последовательно к следующим уравнениям:

-^ = (-^0 — l f ) sin( V

+

i r ) +

-7-

ПРИ

<=

°.

. х = —

+ -y-j sin^m0^ +

-

 

при t =

iu>0,

X = [хг-

sin(o>0* +

-2-j +

-у-

при

t = 2т.:ш0

и т. д.

Амплитуды свободных колебаний по абсолютной величине прини­ мают значения х0; —х0+ 2 F/q\ х0— 4F/q\ — х0+ 6 F/q и т. д., т. е. представляют собой арифметическую прогрессию с разностью 2F/q. При этом период колебаний Г= 2я/со0 не меняется. Геометрическим местом вершин колебаний является прямая. Область, ограниченная прямыми с ординатами F/q (рис. 111), носит название области застоя. Величина этой области в измерительных приборах с сухим трением характеризует порог чувствительности. Как только ампли­ туда колебания х, станет меньше значения F/q, т. е. окажется внут­ ри области застоя, движение подвижной системы прекратится. Чтобы уменьшить область застоя, следует избегать или уменьшать сухое трение.

169

Смотрите также файлы