Файл: Теория автоматического регулирования и управления учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

~

169

-

 

 

 

функции

W*(p)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»Л'

 

 

 

 

 

 

 

 

W(p)

в полюсах pt .

(13-4)

где

 

вычеты функции

 

 

 

Отсюдэ видно, что W*(p) есть

дробно-рациональная фунь-

ция от Z*ep

и мотет быть

записана в виде

 

 

 

 

W * ( z ) - 4 w z r t

>

( z * e pT),

 

 

 

 

 

 

А*Ш

 

 

 

(13-5)

где

А *(г) и

В *(г) - полиномы.

 

 

 

 

 

Передаточная

функция

импульсной системы W * (z) облада­

ет

рядом характерных особенностей

(свойств):

е т

*

 

1.

W *(2) периодична

по р

 

 

с мнимым периодом J ~jr'

Это сразу следует из выражения

(13—За).

 

■ХП

 

2.

Из (13-36)

следует, что при р * 0 {Z*1 ) и P “J

^ ( Z - - / ) передаточная функция W*(Z$ принимает действительные значения.

Импульсная система устойчива, если все полюсы ее переда­ точной функции W*(p) лежат в левой полуплоскости (соответ­ ственно все полюсы YV*(z) лежат внутри единичного круга).

Полюсы W*(Z) являются нулями ее характеристического иного - члене - A*(Z) . Условия устойчивости импульсной системы ио - гут быть сведены к условиям Гурвица, если яримевить прэобра - зевание

z - la-

i

 

(13-6)

отоОразтющее внутренность единичного круге на леву»

аояупло -

скесть. При этой уравнение

A *(Zj~0

переходит в

уравнение

At(cd)-G ( к которому непосредственно

применим критерий

Гурзица.

Рассмотрим замкнутую импульсну» систему, представленну» на рис. 13-2. Передаточная функций импульсной замкнутой систе­ мы равна

l - t - W ( z )

(13-7)

- 170 -

'о----------

,,(г,Т)

--------

y(t)

Рис. 1 3 - 2

о---------- у(пТ)

—

# 9,

' у М

 

 

Рис. 13 - 3.

Для исследования устойчивости замкнутой системы может

быть применен критерий, аналогичный критерию Найквиста для

непрерывных систем.

 

 

 

 

В случае, когда разомкнутая система устойчива,

 

форму­

лировка такова: замкнутая импульсная система устойчива тог­

да я только

тогда,

когда

годограф

вектора v W *(z)

при из­

менении р

вдоль

отрезка

( 0 ,J %

) мнимой оси (или

измене­

нии вдоль верхней полуокружности единичного круга)

не

охва­

тывает критическую

точку ( - 1,0).

 

 

 

3

работе исследуются импульсные системы,

построенные п

структурной

с х е т

рис. 13-3. Импульсный элемент содержит фик

сирующее устройство, т .е . формирует прямоугольные

импульсы

\

 

 

 

-

1 71 -

 

 

 

длительности

Т

, Передаточная функция формирующего фильт­

ра,

соответствующего такой

форме

импульса, равна

■'

 

 

 

 

 

1- егр г

 

(13-8)

 

 

 

 

 

р

 

 

 

Исследуем систему при треу различных передаточных функ­

циях непрерывной

части:

 

 

 

 

 

I .

 

W „fp) =

к

 

 

(13-9)

 

 

 

1 + рТ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Передаточная функция приведенной непрерывной части рав­

на

 

 

 

 

_рТ

 

 

 

 

•

 

,

(4~ е

) к

 

 

 

 

 

W fp )= — r-.------=-\------v

(13-10)

 

 

 

 

P ( 1 + P ri )

 

 

Переде точная функция

разомкнутой

импульсной системы на­

ходится по формуле (13-4)

 

 

 

 

 

 

ФУ*(z) = к (1 - е*)

 

>

(I3-II)

где

z * e

t

р-

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г,

Далее, по формуле (13-7) определяем передаточную функцию, замкнутой импульсной системы

к (1 - efi)

(Z )*

(13-12)

Характеристическое уравнение системы после выполнения преобразования (13-6) имеет вид

a4w + a o*0,

(13-13)

где

а , =

(к + * )(1 -е ‘А),

 

а 0 =

-А

 

f + e fi- к l'1- ё '') .-

Так как (Х^>0 , условие устойчивости имеет вид

1 + ё * ~ к ( 1 - е * ) > 0

(13-14)

Отсюда следует, что коэффициент усиления в устойчивойгойчивои системе должен быть меньше предельного

е / _ /

(13-15)

 

Годограф частотной характеристики разомкнурой системы представлен на рис. 13-4.

Аналогично предыдущему случаю.последовательно получим

Wfp)>

(1- ё рТ)Ц_

'

(13-16)

 

Р *

W*(z)=

к Т

.

(13-17)

 

z - 1

 

w ; w -

k Tz

„

(13-18)

z + ( и Т - 1 )

Условие устойчивости замкнутой системы имеет вид

К < 2 = Н „ р

(13-19)

w - 4 » - T , Т ^ Ш '

w

~ m

Передаточная функция приведенной непрерывной части рав­

на

 

-

173

-

 

Пользуясь

таблицами

Z

-преобразований

[l,2 ] , полу-

чин

 

 

 

 

 

IN * ( z ) -

K (6tZ +&*)

(13-22)

 

 

 

 

где

 

 

 

 

1 - ё А- Те*

т -и -е~А

 

А *

ъ г

 

4 = -

 

 

 

V

 

На рис. 13-5 изображен годограф частотной характеристи­

ки W *[z) при

K=T,=T*f .

Поскольку годограф

не охватыва­

ет

точку (-1 ,

0 ), замкнутая система устойчива. Предельный

коэффициент усиления замкнутой системы равен КПр = 2,41.

 

Значения

выходного процесса устойчивой импульсной систе­

мы

в дискретные моменты времени

могут быть определе­

ны по формуле

 

 

ц [пТ ]=21 V b[(n -m )T ]x[п Т ]~ £ . Ъд[тТ]х[{п-П))Т]. m»Q

Выходной процесс может быть также вычислен по передаточ-г ной 'функции W * (z) . Простейший метод такого вычисления со­ стоит в разложении y* u h vrt* )X * iz) в ряд по отрицательным степеням Z (например, делением многочленов числителя ■ знаменателя друг на друга). При этом коэффициентами разложе­ ния, согласно формуле (13-2), будут как раз значения у [п Т ]. '

Вычислим, например, выходной процесс в разомкнутой си -

стеме 2 при воздействии на вход

G -функции. Поскольку

X * {zh i, для вычисления

искомой

реакции

необходимо разложить

в ряд

по степени Z *

функцию (13-17).

Имеем

 

 

кТ

к Т г '

~п

 

У*(г)= \N*(z)

г - 1 л

1 - г *

K T z 'Z z ,

 

п*о *

откуда

получим

 

 

(13-24)

 

 

 

 

уС о ]= 0 , у [ п Т ]~ к Т ;

 

(13- 25)

Остановившийся процесс может быть вычислен по второй ив

формул

(13-21), где верхний предел в сумме нужно положить

равным

о о .

Смотрите также файлы