ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 43
Скачиваний: 0
Т а б л и ц а 7
Т е н з о р ы т р е т ь е г о р а н г а п ь е з о э л е к т р и ч е с к о г о э ф ф е к т а
Симметрия Подчинен
тензора ные
группы
1—
т—
2—
3 —
т т 2 |
— |
оо6
4
т—
3т —
|
|
Вид тензора |
|
|
|
|
||
«111 |
«122 |
«133 |
«123 |
|
«131 |
|
«112 |
|
«211 |
«222 |
«233 |
«223 |
|
«231 |
|
«212 |
|
«311 |
«322 |
«333 |
«323 |
|
«331 |
|
«312 |
|
«111 |
«122 |
«133 |
0 |
|
0 |
|
«Ц2 |
|
«211 |
«222 |
«233 |
0 |
|
0 |
|
«212 |
|
0 |
0 |
0 |
«323 |
|
«331 |
|
0 |
|
О |
О |
О |
«12з «131 0 |
|
||||
О |
О |
О |
«223 |
|
«231 |
0 |
|
|
«311 |
«322 |
«333 |
0 |
|
0 |
|
«312 |
|
«111 — «111 |
0 |
«123 |
|
«131 |
— 2<?222 |
|||
— «222 |
«222 |
0 |
«223 |
'—«123 |
— «111 |
|||
«311 |
«311 |
« з з з |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
e i31 |
0 |
|
|
О |
О |
О |
« 2 2 3 |
|
0 |
|
0 |
|
«311 |
«322 |
«333 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
О |
О |
О |
«12з |
«131 |
0 |
|||
О |
О |
О |
«131 |
—«123 |
0 |
|||
«эн |
«эн |
«ззз |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
е12з |
^i3i |
0 |
|
||
0 |
0 |
0 |
— ^131 |
^123 |
0 |
|
||
е3ц —fan |
0 |
0 |
|
0 |
|
ез12 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
«131 |
—'2«222 |
|||
—«222 |
«222 |
0 |
«131 |
0 |
|
|
0 |
227 |
«811 |
«311 |
«ззз |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
П р о д о л ж е н и е |
табл. 7 |
||||||
Симметрия |
Подчинен |
|
|
Вид тензора |
|
|
||||
тензора |
ные |
|
|
|
|
|||||
|
группы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222 |
|
0 |
0 |
0 |
е12з |
0 |
О |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
е231 |
О |
|||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
«312 |
|||
3/т |
|
«111 |
— |
«111 |
|
0 |
0 |
0 |
— |
2 г>222 |
|
|
'«222 |
|
«222 |
0 |
0 |
0 |
— |
2(5j I l |
|
|
|
О |
|
о |
о |
о |
о |
о |
|
|
32 |
|
«111 — |
«111 |
0 |
|
«123 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
— «123 |
'- 2 . |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
«123 |
0 |
0 |
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
«123 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
«312 |
||
|
|
0 |
0 |
0 |
«123 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
— |
«123 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
6 т 2 |
|
« ш |
—«in |
О О О |
|
о |
||||
|
|
О |
О |
О О О |
—2еп1 |
|||||
|
|
О |
О |
О О О |
|
О |
||||
4 3 m |
23 |
О О О |
ei23 |
|
О |
О |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
е123 |
О |
||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
«123 |
||
долж ны оставаться теми же, т. е. ej22 = |
e/ i22. |
Одновре |
||||||||
менно эти соотношения будут выполняться только в |
||||||||||
том случае, когда |
6 1 2 2 —е ' 122 = |
0 . |
Следовательно, если |
|||||||
228 в кристалле присутствует |
ось симметрии второго но- |
|||||||||
рядка вдоль оси Z, то пьезоэлектрическая константа ei22= 0.
То же самое можно проделать со всеми 18 незави симыми пьезоэлектрическими константами и устано вить разные по симметрии матрицы тензоров пьезо электрического эффекта (табл. 7).
Как мы уже говорили, пьезоэлектрическим эффек том могут обладать только кристаллы без центра сим метрии. Но среди приведенных выше тензоров нет имеющего симметрию 432, хотя эта кубическая группа не имеет центра симметрии. В чем же дело? В этом случае мы снова сталкиваемся с отсутствием доста точности основных законов кристаллофизики: отсут ствие центра симметрии является только необходи мым условием существования пьезоэлектрического эффекта. Но конкретный анализ влияния симметрии на вид матрицы тензора третьего ранга показывает, что все компоненты этого тензора для класса 432 рав ны нулю.
Для того чтобы показать, как работают тензоры третьего рапга, рассмотрим пьезоэлектрический эф фект в конкретном кристалле— в классическом пьезо электрике кварце. Именно па кристаллах кварца братья Кюри экспериментально открыли пьезоэлект рический эффект.
Кварц принадлежит к гексагональной системе, класс 32. Следовательно, пьезоэлектрический эффект в этом кристалле описывается тензором третьего рап га (см. табл. 7), который имеет следующий вид:
|
|
' l l |
г 2 2 |
г з з |
Г 23 |
г 31 |
г 1 2 |
|
P |
i |
е 1 1 1 |
— е |
111 |
0 |
е 1 2 3 |
0 |
0 |
Р |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
е 1 2 3 |
— 2 е т |
|
|
|
|
|
|
|||
Р з |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
229 |
|
|
|
|
|
|
|
или в развернутом виде:
Р 1 = |
е 1 1 1 г И — е 111г 22 ~Ь е 323г 23> |
| |
|
Т2 = |
— е12зг31 — 2еш г12; |
| |
(57) |
Р3=0 . |
j |
|
|
Из уравнений (57) сразу видно, что как кристалл кварца ни сжимай и ни растягивай, по оси 3 никогда не вызовешь поляризацию. Если же кристалл квар ца растягивать вдоль осп X , т. е. если на него дейст вует деформация ni, то
Pi = ешги -
Таким образом, поляризация возникает вдоль той же оси X (рис. 53, а).
А если теперь кристалл деформировать вдоль оси У? Тогда
P i— е111г22 ■
Опять поляризация возникает вдоль оси X, но с об ратным знаком (см. рис. 53, б). Поэтому ось X (она же ось 2) в кварце называют электрической осью.
Как же можно вызвать поляризацию вдоль оси У? Очень просто [см. уравнение (57)]: или сдвиговой де формацией Гз1 в плоскости, перпендикулярной к оси У (см. рис. 53, в), или сдвиговой деформацией г^ в плоскости, перпендикулярной к оси Z (см. рис. 53, г).
Интересно посмотреть теперь на пьезоэлектриче ский эффект в кварце с точки зрения симметрии.
Характеристическая симметрия деформации в анизотропных средах описывается предельной груп пой oo/mm. Наложим эту группу на группу симмет рии кварца 32 так, чтобы ось оо совпала с осью 2 (рис. 54). Тем самым мы па языке симметрии описа ли деформацию кварца вдоль оси X. В соответствии с принципом Кюри симметрия кристалла кварца по-
230 низится до группы 2, причем эта ось будет направ-
лена вдоль кристаллофизической оси X. Полученная полярная группа допускает возникновение поляриза ции вдоль этой оси.
Р и с. 53. Прямой пьезоэлектрический эффект в кристаллах кварца
Теперь попытаемся деформировать кварц вдоль оси Y. Опять наложим в этом направлении группу оо/тт, чтобы ось оо совпала с осью Y. Снова полу чим группу 2 и ось второго порядка, направленную вдоль оси X, так как у группы оо/тт бесконечное множество осей второго порядка, одна из которых и совпала с осью 2, перпендикулярной к оси Y.