Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

тем же, если изменить тело Fh у края поверхности F на рас­ стоянии, не большем й/sin а, где а — угол между обра­ зующими и плоскостями оснований.

Построим две конические поверхности Ft и Р г с той же осью, что и у F, с образующими в осевом сечении параллель­ ными образующими F, отстоящими

от них на расстоянии h (рис. 231). Наше изменение тела F,, будет со­ стоять в том, что мы его заменим телом F'h, которое ограничено ко­ ническими поверхностями Fl и F2 и плоскостями оснований исходной

v;=±пн {(к.+яУ+(я.+иУ («.+яУ+

длина образующей поверхности F. Таким образом, площадь боковой поверхности F усеченного конуса S■=я (Rt + /?,) /.

Площадь боковой поверхности не усеченного, конуса

.получается, если в этой формуле положить R 2=0.

§ 30. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ ГЕОМЕТРИИ

Первые геометрические результаты относятся к глубокой древности и имеют опытное происхождение. Они были отмечены людьми в связи с их практической деятельностью. Геометрия как эмпирическая наука в ранний период дос­ тигла особенно высокого уровня в Египте в связи с земле­ мерными и ирригационными работами.

205

В первом тысячелетии до нашей эры геометрические све­ дения от египтян перешли к грекам, в Древней Греции на­

гатили геометрию многочисленными новыми результатами, но предприняли также серьезные шаги к строгому ее обо­ снованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330—275 гг. до н. э.) в его знаменитом труде «Начала». Это сочинение дает первое дошедшее до нас строгое по­ строение геометрии. В нем изложение настолько безупреч­ но для своего времени, что в течение двух тысяч лет с мо­ мента появления «Начал» оно было единственным руковод­ ством для изучающих геометрию.

«Начала» Евклида состоят из тринадцати книг. Из них восемь книг посвящены собственно геометрии, а остальные арифметике. Каждая книга «Начал» начинается опреде­ лением понятий. В первой книге «Начал» за определениями следует постулаты и аксиомы. Например:

По с т у л а т I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую.

По с т у л а т V. Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует

сними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той сто­ роны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Ак с и о м а I. Равные порознь третьему равны между собой.

А к с и о м а II. Если к равным прибавить равные, то получим равные.

И постулаты и аксиомы представляют собой утвержде­ ния, принимаемые без доказательства. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к ак­ сиомам, неизвестно. В современном изложении мы все такие утверждения называем аксиомами. Вслед-за акси­ омами идут теоремы и задачи на построение под общим названием «Предложения». Они расположены в строгой последовательности так, что доказательство (решение) каж­ дого последующего предложения опирается на предыдущие.

В связи с таким построением геометрии возникло естест­ венное желание у геометров свести число постулатов и ак­ сиом, т. е. утверждений, принимаемых без доказательств, до минимума. Поэтому сам Евклид и многие геометры после Евклида пытались вывести некоторые постулаты и аксио­

206

мы из других постулатов и аксиом. В частности, многие геометры, начиная с Евклида, пытались доказать пятый постулат. Было предложено много доказательств пятого по­ стулата. Однако во всех этих доказательствах авторы ис­ пользовали то или другое утверждение, не содержащееся в других постулатах и аксиомах, эквивалентное пятому постулату. Вот некоторые из таких утверждений:

1. Все перпендикуляры к одной стороне острого угла пересекают другую его сторону.

2. Существуют подобные и не равные треугольники.

3.Существуют треугольники сколь угодно большой площади.

4.Существуют треугольники с суммой углов, равной двум прямым.

5.Параллельные прямые — равноотстоящие.

В результате неудачных попыток доказательства пятого постулата у некоторых геометров, начиная с конца XVIII века, возникло сомнение относительно самой возможности доказательства пятого постулата. Полное решение этого вопроса принадлежит великому русскому геометру Ни­ колаю Ивановичу Лобачевскому (1793—1856).

Один из эквивалентов пятого постулата состоит в ут­ верждении, что через точку вне данной прямой проходит не более одной прямой, параллельной данной. Н. И. Лоба­ чевский заменил пятый постулат следующим: Через точку вне прямой на плоскости проходят две прямые, не пересе­ кающие данную. Подобно предшественникам, Н. И. Лоба­ чевский имел надежду обнаружить противоречие в систе­ ме следствий, вытекающих из этого нового постулата. Одна­ ко, развив систему следствий до объема «Начал» Евклида, Н. И. Лобачевский не обнаружил в ней противоречий и на

что если в геометрии Евклида нет противоречий, то их не может быть и в геометрии Лобачевского. Таким образом, в отношении логической непротиворечивости эти две геоме­ трии находятся в равном положении. Вопрос о том, какая из этих геометрий лучше описывает окружающий нас мир, может быть решен только опытом. В настоящее время установлено, что геометрия окружающего нас мира в больших, космических масштабах, имеет более сложное

207.