Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

школы. Эта система исходных положений, позже названных аксиомами, выделена в результате тщательного анализа содержания школьного курса геометрии с учетом элементов традиционных доказательств.

Изложение начинается типичным для школьного пре­ подавания повторением пройденного. Во всяком случае это так будет восприниматься учащимся. Однако истинная цель у нас другая и более серьезная. Речь идет о введении основных понятий и исходных положений, т. е. аксиом. Аксиомы сформулированы в форме основных свойств про­ стейших геометрических фигур, составленных из точек и прямых. Эти аксиомы просты и естественны. В ряде случаев аксиомы формулируются сильнее, чем это требуется су­ ществом дела, с тем чтобы не вызвать вопросов и недоуме­ ний. Например, мы говорим, что существуют точки, ле­ жащие на данной прямой, и точки, не лежащие на этой прямой. В действительности нам достаточно существования двух точек на прямой и одной точки вне прямой.

Отличительной особенностью нашей аксиоматики яв­ ляются аксиомы измерения отрезков и углов. Эти аксиомы дают нам существенные методические преимущества. Вопервых, мы обходим трудный вопрос введения меры для отрезков и углов. Как известно, решение этого вопроса при аксиоматическом построении геометрии совсем не просто и требует применения серьезных средств, недоступных учащемуся. Во-вторых, через аксиомы измерения у нас подключается арифметика, которая к тому времени уже пройдена. А это значительно расширяет арсенал средств, применяемых в геометрическом доказательстве.

Аксиомы меры для отрезков и углов, естественно, тре­ буют соответствующего определения понятий равенства отрезков и углов. Мы называем отрезки равными-, если их длины одинаковы. Как ни странно, но большинство людей считают отрезки равными именно в этом случае, хотя в школе равенство отрезков определяется через наложи­ мость. Поэтому наше определение равенства отрезков и с этой точки зрения естественно. Наложимость и движение вообще в нашем изложении являются производными, поня­ тиями и вводятся только в середине курса.

Второй параграф начинается четким определением по­ нятий: аксиома, теорема и доказательство. Эти понятия определены настолько четко, что мы всегда можем дать ясный ответ на вопрос «почему» в каждом пункте проводи­ мых нами доказательств. С другой стороны, мы имеем

8

моральное право поставить такой вопрос учащемуся и требовать ответ. Понятие доказательства иллюстрируется на простых примерах с обстоятельным разбором.

Мы сохраняем традиционный порядок расположения материала, поэтому § 3 посвящен углам. Доказательства теорем в этом параграфе просты и естественны. Они осно­ ваны на аксиомах меры и откладывания углов.

Следующий параграф посвящен равенству треугольни­ ков. Содержание параграфа обычное, доказательства просты

ибезупречны. Вообще говоря, в идейном отношении все применяемые нами доказательства не содержат ничего нового. Они хорошо известны. Однако благодаря четкой формулировке исходных положений нам удается несколь­ кими штрихами эти доказательства сделать совершенно безупречными. Эти «штрихи» чаще всего относятся к свой­ ствам взаимного расположения точек на прямой и лучей в пучке. В математике вообще, в современной математике в особенности, отношение порядка играет не меньшую роль, чем отношение эквивалентности. Поэтому развивать это понятие на простых геометрических объектах целесообразно

ис этой точки зрения.

В§§ 5 и 6 освещаются традиционные вопросы: свойство внешнего угла треугольника, соотношение между сторонами треугольника и противолежащими углами, неравенство треугольника, перпендикуляр и наклонная. Каждый пара­ граф мы заканчиваем многочисленными вопросами для повторения и упражнениями. В вопросы для повторения

вынесены определения понятий, доказательства теорем, а также вытекающих из них следствий. Сюда же включены некоторые не принципиальные вопросы курса. Вопросы для повторения четко определяют объем необходимых зна­ ний учащегося и являются средством самоконтроля.

Следующий параграф посвящен геометрическим постро­ ениям. Здесь рассмотрены основные задачи на построения с помощью циркуля и линейки и объясняется метод геоме­ трических мест. Надо сказать, что теме геометрических по­ строений в современном школьном курсе геометрии не при­ дают такого значения, как это было в прошлом. И это ес­ тественно: геометрические построения интересны главным образом для развития поисков решения и тренировки в до­ казательствах. Но геометрические построения не являются единственным средством для решения этой задачи.

Содержание первых семи параграфов этой книги можно назвать абсолютной геометрией. Здесь аксиома параллель-

9

ных не используется. Надо сказать, что привлечение акси­ омы параллельных не дает реальных преимуществ в изло­ жении этой части. Если считать, что планиметрия рассчи­ тана на три года обучения, то эту часть курса можно рекомендовать для первого года. На второй год обучения мы относим теорию параллельных и непосредственно при­ мыкающие к ней вопросы (§§ 8—12).

Параграф восьмой книги посвящен теории параллель­ ных. Изложение начинается доказательством признаков параллельности. Нарушая традицию, мы ограничиваемся двумя парами углов параллельных с секущей: внутренними односторонними и внутренними накрестлежащими. Дело в том,-что этих двух пар углов вполне достаточно для изло­ жения теории параллельных и ее приложений. Другие пары углов, как-то внешние односторонние, внешние накрестлежащие и другие практически не используются. Зато внутренние односторонние и накрестлежащие углы опре­ делены нами строго, не только с помощью рисунка, как это часто делается, а их использование в доказательствах строго аргументируется. Следующий, §9 содержит традиционный материал о четырехугольниках.

В§ 10 мы вводим понятие движения. В нашем изложе­ нии это понятие является производным. Оно определяется как отображение, сохраняющее расстояния. Доказываются основные свойства движения. Рассматриваются частные случаи движения: симметрия относительно прямой, сим­ метрия относительно точки, параллельный перенос и вра­ щение. Следует заметить, что понятие геометрического дви­ жения естественно ассоциируется с процессом. При суще­ ствующем изложении геометрии в школе, где понятие движения используется в самом начале, это приводит к пу­ танице и недоразумениям. В нашем изложении четко сфор­ мулированные свойства движения доказываются и затем применяются.

Вследующем параграфе рассматривается окружность.

Главной темой этого параграфа является вопрос об углах в окружности. Здесь четко определяется понятие дуги окружности, соответствующего ей центрального угла и мера центрального угла. Вводится понятие вписанного угла и доказываются соответствующие теоремы о впи­ санных углах.

Содержание § 12 является заключительной темой второго года обучения. Здесь излагается прежде всего Еопрос о подобии треугольников. Этот вопрос, как известно, в дей-

10

ствующем школьном изложении никогда не доводится до конца. Дело в том, что его полное решение требует приме­ нения аксиомы непрерывности. Поэтому доказательство подобия треугольников в основном случае обычно останав­ ливается на полпути. В нашем изложении вопроса аксиома непрерывности действует через аксиомы измерения. Из­ вестное доказательство основного признака подобия за­ вершается нами простым замечанием, вытекающим из ак­ сиомы измерения.

В школьном курсе геометрии обычно остается открытым вопрос о пересечении прямой с окружностью и двух окруж­ ностей. Причина здесь та же: вопрос упирается в аксиому непрерывности. В нашем изложении вопрос о пересечении прямой с окружностью и двух окружностей решается просто и исчерпывающе. Это достигается в конечном счете также благодаря аксиомам измерения.

Третья часть курса начинается теоремой Пифагора и следствиями, вытекающими из этой теоремы: метрические соотношения в косоугольном треугольнике, соотношение между диагоналями и сторонами параллелограмма и др. Кроме этих традиционных вопросов, здесь дается простое доказательство важной теоремы о существовании треуголь­ ника с данными сторонами при выполнении известных не­ обходимых условий. Эта теорема и дает исчерпывающее ре­ шение вопроса о взаимном расположении двух окружно­ стей в зависимости от их радиусов и расстояния между центрами.

В § 14 вводятся тригонометрические функции углов. Мы ограничиваемся тремя функциями: синуса, косинуса и тангенса. Как известно, остальные три функции: секанс, косеканс и котангенс практически не используются. Мате­ риал этого параграфа обычен: формулы приведения, соотно­ шения между сторонами и углами в прямоугольном тре­ угольнике, теорема косинусов и теорема синусов. Следу­ ющий параграф посвящен выпуклым многоугольникам с традиционными вопросами о сумме внутренних и внешних углов, соотношении между длиной выпуклой ломаной и объемлющей и, наконец, правильным многоугольникам.

Известные трудности представляет изложение вопроса о площади фигур в школьном курсе. Мы эту проблему ре­ шаем следующим образом. Сначала понятие площади вво­ дится при рассмотрении конкретной практической задачи и убедительно аргументируются ее свойства. Затем выясня­ ется, что эти свойства однозначно определяют площадь.

11

Наконец, доказывается корректность определения пло­ щади этими свойствами. Изложение этого последнего во­ проса в школьном преподавании можно считать факуль­ тативным.

Наконец, последняя тема планиметрии — длина окруж­ ности и площадь круга. В любом варианте изложения этого вопроса мы встречаем серьезные трудности. Трудность со­ ставляет проблема существования. Однако эта трудность легко преодолевается в старших классах. Мы унифициро­ вали определения основных понятий, связанных с измере­ нием дуг и площадей для окружности и круга, что должно упростить изложение. Кроме вопросов существования, ко­ торые остались открытыми, другие вопросы решены с до­ статочной полнотой и строгостью.

Вторая часть книги, стереометрия, начинается формули­ ровкой трех пространственных аксиом и выводом непосред­ ственно вытекающих из них следствий (§ 18). Принятые нами аксиомы представляют собой некоторую модификацию ак­ сиом традиционного изложения и хорошо согласуются с ак­ сиомами на плоскости. Следующий параграф посвящен вопросам параллельности прямых и плоскостей в простран­ стве с традиционными теоремами и доказательствами.

Пространный § 20 посвящен различным вопросам пер­ пендикулярности прямых и плоскостей. Параграфы 18, 19 и 20 составляют основу второй части курса. Специальный параграф (§21) посвящен вопросам, связанным с понятием угла между прямыми и плоскостями. Эти понятия четко определяются и доказываются соответствующие теоремы ' об углах.

Параграф 22 о двугранных, трехгранных и многогранных углах, кроме традиционных вопросов школьного курса, со­ держит доказательство теоремы косинусов и теоремы синусов для трехгранного углаГМы полагаем, что эти важные и весь­ ма употребительные теоремы должны быть даны в школьном курсе. Общеизвестно, что решение задач на взаимное рас­ положение прямых и плоскостей в пространстве, в част­ ности, решение задач на призмы и пирамиды сводятся в своей существенной части к доказательству этих общих теорем в различных частных случаях.

Следующий параграф (§ 23) посвящен преобразованиям в пространстве (движение, симметрия, подобие и др.). Изложение в этом параграфе подчеркнуто повторяет, в ряде случаев текстуально, параграф о преобразованиях на плоскости. Этот параграф для успевающего учащегося будет

12

приятным повторением известных ему фактов из планиме­ трии.

Тема о многогранниках (§ 24) начинается с определения понятия геометрического тела. Это понятие вводится строго и вместе с тем вполне доступно. Строгое введение понятия геометрического тела позволяет дальше навести строгость в изложении вопроса об объеме и поверхности геометриче­ ского тела. Теоремы о призмах и пирамидах, данные в этом параграфе, традиционны. Более обстоятельно, чем это принято делать в школьном курсе, излагается вопрос о правильных многогранниках.

Четвертый год изучения геометрии заканчивается у нас параграфом 25 об основах проекционного черчения. Этот параграф содержит все основные задачи на взаимное рас­ положение точек, прямых и плоскостей при изображении их на эпюре.

В§ 26, отправляясь от практической задачи о сравнении емкости двух сосудов, вводится понятие объема тела и вы­ ясняются его основные свойства. Обычным приемом, опи­ раясь на эти свойства, находятся объемы простейших тел: призмы и пирамиды. Наконец, доказывается корректность формального определения объема многогранника как суммы объемов составляющих его пирамид. Этот последний вопрос может быть рекомендован для факультативных занятий. Изложение вопроса об объеме тел подчеркнуто близко изложению вопроса о площади плоских фигур и для успе­ вающего учащегося будет приятным повторением.

Традиционные вопросы для тел вращения — цилиндра, конуса и шара изложены в § 27. Измерение объемов и по­ верхностей этих тел сюда не включены. Им посвящаются специальные параграфы.

В§ 28 дано общее определение объема для любого тела. Отправляясь от объемов простых тел (тел, допускающих разбиение на конечное число треугольных пирамид), объем любого тела, по существу, определяется как точная нижняя грань объемов содержащих его простых тел. Исходя из этого общего определения, находятся объемы всех рассма­ триваемых в школьном курсе тел вращения: цилиндра, конуса, шара и их частей. Доказывается аддитивность объе­ ма для тел, ограниченных простыми поверхностями (плоско­ стью, цилиндрической, конической и шаровой поверхно­ стью).

Параграф 29 посвящен изложению вопроса о площа­ ди поверхности. Отправляясь от практической задачи

13