Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершима в центре шара, а основанием служит основание сегмента. Если же сегмент

больше полусферы, то указанный конус из него удаляется (рис. 227).- Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов

О соответствующего сегмента н ко­ нуса. Для объема шарового секто­ ра получается следующая формула:

где R — радиус шара, а Н — высо­ та соответствующего шарового сег­ мента.

Докажем теперь, что сферу мож­ но заключить в простое тело сколь угодно малого объема. Пусть R —

радиус сферы. Построим два концентричных ей шара Г, и

диагональю, меньшей е. Построим теперь два простых тела

общую точку. Тело Т\ получается из шара Т г вырезанием тех кубов, которые содержат точки шара и точки вне

При достаточно малом в объем этого тела как угодно мал* что и требовалось доказать.

200

§ 29. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Понятие площади выпуклой поверхности. Полной вы­ пуклой поверхностью называется граница выпуклого тела,

отрезок. Примеры выпуклых тел: выпуклый многогранник, цилиндр, конус, шар.

Для фигур, расположенных на полной выпуклой по­ верхности, можно ввести понятие внутренней и граничной точки, подобно тому как это было сделано для фигур на плоскости в § 24. Именно, точка X фигуры G на полной выпуклой поверхности F называется внутренней, если все достаточно близкие к ней точки поверхности F тоже при­ надлежат фигуре G. Точка Y называется граничной точкой для фигуры G, если есть как угодно близкие к ней точки фи­ гуры G и точки, не принадлежащие фигуре G.

Например, если полную выпуклую поверхность рас­ сечь плоскостью, то у фигуры, которая состоит из всех то­ чек поверхности, лежащих по одну сторону плоскости, все точки внутренние, кроме точек, лежащих в секущей пло­ скости. Точки, лежащие в секущей плоскости, — граничные.

Фигура на полной выпуклой поверхности называется областью, если все ее точки внутренние и она не распада­ ется на две фигуры, обладающие этим свойством. Если к области присоединить ее границу, то мы получим замкну­ тую область. Она называется просто выпуклой поверхностью. Например, боковая поверхность цилиндра, конуса, сферичес­ кий сегмент представляют собой выпуклые поверхности.

Для того чтобы данное ниже определение площади по­ верхности было естественным, рассмотрим одну практи­ ческую задачу. Представим себе купол здания и плоский лист железа в форме квадрата со стороной 1 м. Пусть купол здания и лист железа окрашиваются. Если на покраску купола пошло vx литров краски, а на покраску листа же­ леза о,, литров краски, то естественно считать, что площадь купола здания в v jv а больше площади листа железа. Величина vJVi характеризует величину площади поверхно­ сти купола в сравнении с единицей площади в 1 м2 . Коли­ чество краски,, необходимое для покраски листа железа, примерно равно объему параллелепипеда с квадратом 1 м X X 1 м в основании и высотой h, равной толщине красочного покрытия. Поэтому для оценки площади поверхности ку­ пола получается величина v-Jh.

201.

Перейдем теперь к геометрическому определению пло­ щади поверхности. Пусть F — данная поверхность. По­ строим тело Fh, состоящее из тех точек пространства, для каждой из которых найдется точка поверхности F на рас­ стоянии,, не большем ft. Наглядно тело Fh можно предста­ вить себе как тело, заполненное краской при окрашивании поверхности F с обеих сторон слоем краски толщиной Л.

Пусть Vh— объем тела Fh. Площадью поверхности F

мы будем называть предел отношения V,j2h при Л->•(), т. е.

5== И т Й -

Можно доказать, что для таких простых выпуклых по­ верхностей, как боковая поверхность призмы и пирамиды, данное определение дает прежнее значение площади по­

Тело Fh, о котором идет речь в определении площади по­ верхности, представляет собой слой между двумя концен­ трическими сферами радиусов R+ h и R — h (рис. 228). Объем этого тела равен разности объемов шаров радиуса

R+ h и R — h, т. е. УА= -|- я [(/? + Л) 3 —(R —Л)3]. Имеем

итребовалось доказать.

Вслучае сферы определение объема Vh тела Fh просто.

Вдругих случаях это может оказаться довольно трудной

задачей. Но так как нас интересует площадь поверхности, следова­

тельно, lim то вместо тела Fh ft- о т

можно взять любое другое тело, дающее тот же предел отношения Vfj2h. Сейчас мы покажем, как можно изменить тело Fh, не меняя интересующего нас предела Vh/2h.

Пусть рассматриваемая поверх­ ность ограничена отрезками прямых и дугами окружностей. Возьмем любое фиксированное

число й> 1 и обозначим через F'ait тело, которое состоит из

202

точек пространства, удаленных от границы поверхности на расстояние, не большее чем ah.

Т е о р е м а 29.2. Если тело Fh любым образом изме­ нить вблизи границы рассматриваемой поверхности, внутри

тела Fh не больше объема V'ahтела F'ah. Поэтому достаточно доказать, что при /г- * - 0 отношение V'ahl2h—^0 .

По условию, граница рассматриваемой поверхности состоит из прямолинейных отрезков и дуг окружностей. Если мы построим для каждого такого куска границы свое тело F'ah, то эти тела покроют тело Рф, относящееся ко всей границе. Поэтому достаточно доказать, что Vrah/2h—^ 0 в том случае, когда тело Fah строится для прямолинейного отрезка или дуги окружности.

В случае прямолинейного отрезка длины I тело Fah можно заключить внутрь цилиндра радиуса ah и длины l+2ah. Объем этого цилиндра na2h2(l+2ah). При Л-»-0 от-

В случае дуги окружности радиуса R тело F’ah можно заключить внутрь кольца, которое получается из цилиндра радиуса R+ah и высоты 2ah после удаления из него ци­ линдра радиуса R — ah с высотой 2ah. Объем кольца равен разности объемов цилиндров: л [(R+ah)2— (R—ah)2] 2ah=

= 8 na2h2R. Так как 8ла^ ^ —>- 0 при h -» 0, то и для

случая дуги окружности У^/2Л—►(). Теорема доказана. Площадь сферического сегмента. Т е о р е м а 29.3. Пло­ щадь сферического сегмента радиуса R и высоты Н равна

S= 2nRH.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть F — сегмент, отсекае­ мый от сферы радиуса R. Построим для него тело Fh, о ко­

между касательной плоскостью у края сегмента и плоско­

203

стью основания сегмента. Изменение тела состоит в том, что оно заменяется телом, ограниченным концентрически­

сегмента радиуса R-\-h и высоты H-\-h и сегмента радиуса R — Ли высоты Н — Л. Следовательно,

V'h = я Ш + Л)2 [(Я + Л) — -

—я (Я —Л) 2 J\/?—Л )——у —j = 4 л RHh + Y nh3•

При Л-*-0 отношение V'hl2h—*2nRH. Теорема доказана.

объемов цилиндров V'h= л (R -J-Л) 2 Я —я (R —h) 2 Я = 4яRHh. При h-+0 отношение VJ,/2h —*■2яRH, что и требовалось до­ казать.

Боковая поверхность конуса. Т е о р е м а 29.5. Боковая поверхность усеченного конуса с радиусами оснований Ri и R i и образующей длины I определяется по формуле

S = я (Ri -f- R-t) l.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F — данная кониче­ ская поверхность. Построим для нее тело Fh. Тогда пло­ щадь конической поверхности будет равна пределу отно­ шения УЛ/2Лпри Л-»-0. По теореме 29.2 этот предел останется

204